الكميات الفيزيائية القياسية والمتجهة

 الكميات الفيزيائية  Physicl Quantity

   تقسم الكميات الفيزيائية  (وهي الكميات  القابلة للقياس ) إلى كميات فيزيائية اساسية وكميات أخرى مشتقة،

    وبعض  هذه  الكميات  يمكن  وصفها بشكل كامل  عن طريق تحديد  مقدارها فقط واخرى  عن طريق تحد

   المقدار  والاتجاه معاً.   وبوجه عام تقسم  الكميات الفيزيائية إلى قسمين رئيسين هما:

   الكميات القياسية: هي كميات تحدد بمقدار فقط وليس لها اتجاه.فمثلا نقول  درجة الحرارة في عمان   ^$\circ$9   

              نهارا دون الحاجة  لتحديد اتجاه ، ومن الأمثلة الأخرى على الكميات القياسية   : الكتلة، والزمن، والطاقة .

   الكميات المتجهة: كميات تحدد بمقدار واتجاه معا. فمثلا  لا نكتفي بأن نقول أن  سرعة الرياح في عمان

                نهارا 14Km\h وإنما يجب  تحديد اتجاهها شرقا.  ومن الأمثلة على الكميات المتجهة:  الإزاحة

                   والتسارع والقوة.

 مثال 2:

 أُجيبُ  بـ  (نعمْ)  أوْ (لا)، مُعزِّزًا إجابتي بمثالٍ على كلٍّ ممّا يأتي:
1- تشيرُ الإشارةُ السالبةُ أوِ الإشارةُ الموجبةُ إلى اتجاهِ الكميةِ المُتَّجِهةِ .

  هلْ يُمكِنُ أنْ تكونَ   الكميةُ القياسيةُ سالبةً؟

2- قدْ يكونُ للكميةِ المُتَّجِهةِ والكميةِ القياسيةِ الوحدةُ نفسُها.

3-قدْ تتساوى كميتانِ مُتَّجِهتانِ في المقدارِ، وتختلفانِ في الاتجاهِ.

الحلُّ:
1-نعمْ، فدرجةُ الحرارةِ قدْ تكونُ سالبةً، وهيَ كميةٌ قياسيةٌ.

           والإشارةُ السالبةُ هنا لا تعني اتجاهًا.

 
2- نعمْ، فطولُ المسارِ الفعليِّ بينَ نقطتَيِ البدايةِ والنهايةِ كميَّةٌ قياسيةٌ، لكنَّ( الإزاحةَ )

       الخطُّ المستقيمُ منْ نقطةِ البدايةِ إلى نقطةِ النهايةِ( كميةٌ مُتَّجِهةٌ، ووحدةُ قياسِ

          كلٍّ منْ هاتيْنِ الكميتيْنِ هيَ نفسُها (المترُ في النظامِ الدوليِّ).

3- نعمْ، فالكمياتُ المُتَّجِهةُ قدْ تتساوى في المقدارِ وتختلفُ في الاتجاهِ. فمثلًا، تُؤثِّرُ

        في الجسمِ قُوَّتانِ متساويتانِ في المقدارِ؛ إحداهُما باتجاهِ الشرقِ، والأُخرى

        باتجاهِ الشمالِ. وقدْ تكونُ هذهِ الكمياتُ مختلفةً

 تمرين صفحة ( 12).

 في أثناءِ جلوسي في غرفةِ الصفِّ سقطَ قلمٌ باتجاهِ سطحِ الأرضِ. أُحدِّدُ كميتيْنِ قياسيتيْنِ

  وكميتيْنِ مُتَّجِهتيْنِ لها  صلةٌ بذلكَ.

 الجواب:

 كميتان قياسيتان:   كتلة  القلم ، الزمن اللازم لوصول القلم إلى سطح الأرض.

كميتان متجهتان: سرعته المتجهة ، وزن القلم   (تسارع السقوط الحر ).

    تمثيل المتجهات بيانيا:

         لتمثيل الكمية المتجهة بيانيا نتبع التالي:

       - نرسم مستوى احداثيا  (x-y)، ونقطة إسناد مثل نقطة الأصل (0-0)

       - نرسم سهما يقع ذيله( نقطة البداية) عند نقطة الأصل  بحيث يمثل  طول السهم  مقدار المتجه.

       - يحدد اتجاه السهم  إما باستخدام الاتجاهات الجغرافية ( شمال ، جنوب، شرق، غرب) ، وإما باستخدام الزاوية

        المرجعية  وهي الزاوية  التي يصنعها المتجه مع محور (x+)  بعكس دوران عقارب الساعة .

         في  الشكل  المقابل الزاوية (  $\theta$  ) والتي تساوي  60^o    تسمى  الزاوية المرجعية، ويعبر  عن المتجه ( A )

        بصيغة رياضية كما يلي:

                                                         $\mathit{A} = \left|\mathit{A}\right| , \theta$                                     

       مثال :3

    مثل  الكمية المتجهة  في  الشكل  المقابل بالصيغة الرياضية 

     الجواب: بتطبيق الصورة  العامة للمتجه:

                                                                                           $\mathbf{ }\overrightarrow{A}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\left|}\mathbf{A}\mathbf{\right|}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{\theta }$ 

                 مقدار  المتجه:      $\left|\mathit{A}\right| = 6 m$

                الزاوية  المرجعية:  $\theta = {310}^o$   

                    إذا التمثيل  الرياضي  المتجه كما يلي:      $\overrightarrow{A}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }6m , {310}^{\mathbf{o}}$                              

مثال4:

                اكتسب جسم  متجه سرعة (  $\left|v\right| = 3 m/s , {270}^o$    ⁾  . مثل متجه السرعة بيانيا.

 الحل:

• نختار مقياس رسم مناسب مثلا (1cm : 1m/s)      فيكون طول السهم  (   3cm = 3×1 )
• نرسم سهما طوله 3cm نقطة بدايته عند نقطة الأصل( 0,0 )  ويصنع زاوية  270⁰   مع المحور (+x)

          عكس عقارب الساعة( الجنوب)

 تمرين صفحة 14

  تسيرُ سيارةٌ بسرعةٍ v مقدارُها 80 km/h ، في اتجاهٍ يَصنعُ زاويةً مقدارُها 37^o جنوبَ الشرقِ.

 أُمثِّلُ مُتَّجِهَ السرعةِ بيانيًّا.

  الحل: 

 نستخدم مقياس رسم مناسب،ليكن: 1cm  يمثل 20N، لذلك

  طول السهم  4cm، ثم نرسم سهم طول 4cm `ذيله عند 

  نقطة الأصل ويصنع زاوية ( 37^o ) جنوب الشرق ( في الربع الرابع ) 

  أي يصنع زاوية ( 307^o )  مع محور السينات ( +x  )  بعكس

  دوران الساعة. كما في الرسم البياني  التالي:

خصائص المتجهات:

 1- تساوي المتجهان

يتساوى المتجهان عندما يكونان من نفس النوع  ولهما نفس المقدار  والاتجاه.

 كما في الشكل ( أ )المقابل:

    ويعبر  عنهما كما يلي:    $\overrightarrow{A }= \overrightarrow{B}$

     بينما  إذا  اختلف المتجهان في المقدار أو الاتجاه أو كليهما معاً فإنهما غير  متساويان

       فالمتجهان ( A ) , (B ) الشكل ( ب ) المقابل،  متساويان  في المقدار  ومختلفان في الاتجاه، لذلك  يعتبران

        متجهان غير متساويان، ويعبر عن ذلك كما يلي: $\overrightarrow{A } \ne \overrightarrow{B}$  

          الشكل ( أ ): متجهان متساويان

     الشكل ب: متجهان غير متساويان( متساويان مقداراً ومختلفان في الاتجاه.

2- سالب( معكوس) المتجه

هو متجه له مقدار المتجه الأصلي نفسه ولكنه يعاكسه بالاتجاه بحيث تكون الزاوية بين المتجه ومعكوسه 180^o.

3-ضرب المتجه في كمية قياسية

عند ضرب متجه مثل ($\overrightarrow{C}$)   بكمية قياسية  (عدد حقيقي(n)  نحصل على متجه جديد  ( $\overrightarrow{C}$ n)    يعتمد اتجاهه على اشارة n

• اذا كانت اشارة العدد الصحيح n    موجبة  فان المتجه  $\overrightarrow{C}$n يكون بنفس اتجاه المتجه $\overrightarrow{C}$
• اذا كانت اشارة العدد الصحيح n   سالبة فان المتجه nc يكون عكس اتجاه المتجه c

 حسب قانون نيوتن الثاني ،  يكون متجه القوة المحصلة (  $\sum _{ }\overrightarrow{F}$ )  ناتج حاصل ضرب  الكتلة ( m )  في متجه التسارع ( $\overrightarrow{a}$ )

          أي أن:                        $\underset{ }{\sum \overrightarrow{F }= m \overrightarrow{a}}$   

   وبما أن الكتلة ( m )  دائما موجبة فان  القوة المحصلة $\sum _{ }\overrightarrow{F }$   والتسارع  $\overrightarrow{a}$  يكونان  في الاتجاه نفسه .

  مثال 5:

  
تتحرَّكُ عربةٌ بسرعةٍ مُتَّجِهةٍ v مقدارُها 40m/sفي اتجاهِ الشرقِ. أُمثِّلُ بيانيًّا:
أ . مُتَّجِهَ السرعةِ v
ب . المتُجَّهِ 2v
ج . المُتَّجِهَ  0.5v -
د . سالبَ المُتَّجِهِ v
الحلُّ:
أ . أختارُ مقياسَ الرسمِ ( 1cm:10 m/s )، ثمَّ أرسمُ سهمًا طولُهُ 4cmليُمثِّلَ المُتَّجِهَ ( v) باتجاهِ الشرقِ،

 كما في الشكلِ  المقابل  .
ب . أرسمُ سهمًا طولُهُ 8cm ليُمثِّلَ المُتَّجِهَ ( 2v )، ومقدارُهُ 80m/s باتجاهِ الشرقِ.
ج  . أرسمُ سهمًا طولُهُ 2cm ليُمثِّلَ المُتَّجِهَ ( -0.5v )، ومقدارُهُ 20m/sباتجاهِ الغربِ.
د . أرسمُ سهمًا طولُهُ4cm ليُمثِّلَ المُتَّجِهَ ( v-)، ومقدارُهُ 40m/s باتجاهِ الغربِ.

مثال 6  

    تُؤثِّرُ قُوَّةٌ F مقدارُها  250N   في جسمٍ باتجاهٍ يَصنعُ زاويةً مقدارُها 53^o غربَ الجنوبِ. أُمثِّلُ بيانيًّا:

    أ . مُتَّجِهَ القُوَّةِ .F

   ب . المُتَّجِهَ ( 1.5 F –).

 الحلُّ:
 أ . أختارُ مقياسَ الرسمِ ( 1cm : 50 N )، ثمَّ أرسمُ سهمًا طولُهُ 5 cm ليُمثِّلَ المُتَّجِهَ F، كما في الشكلِ المقابل  .
ب . أرسمُ سهمًا طولُهُ 7.5cm ليُمثِّلَ المُتَّجِهَ ( 1.5F -)، ومقدارُهُ 375N ، واتجاهُهُ معاكسٌ لاتجاهِ F؛ أيْ بزاويةٍ
     مقدارُها 53^o شرقَ الشمالِ )أوْ بزاويةٍ مقدارُها 37^o شمالَ الشرقِ ، كما في الشكلِ.

 تمرين صفحة  16

 تسيرُ سيارةٌ بتسارعٍ ثابتٍ a = 3 m/s² في اتجاهٍ يَصنعُ زاويةً مقدارُها 30^o شرقَ الشمالِ. أُمثِّلُ بيانيًّا      

   أ. سالبَ المُتَّجِهِ a .     ب. ضربَ المُتَّجِهِ a في العددِ ( 2).

     (  مقياس الرسم ( 1cm : 1 m/s² )، إذن، طول السهم الذي يُمثِّل المتجه a هو  3cm كما في الشكل. 

     وطول  المتجه ( 2a )  هو  6cm.)

   أ- سالب المتجه هو  ( a - )  ويصنع زاوية 180⁰ معه، أي أن ${}^{\circ }210=180+30=\theta$ . مع

      محور السينات الموجب بعكس دوران الساعة  أو ( 30^o ) غرب الجنوب 

    ب- 2a  هو متجه طوله     ${}^{2}s/m6={}^2{}^{}s/m3\times 2$ وبنفس اتجاه a  أي ( 30^o )  شرق الشمال

قارن بين A.Bو B.A

مثال7:

أثرت قوة F مقدارها ( 120N) في جسم فحركته ازاحة d=5m في اتجاه الشرق ، اذا علمت أن الشغل يعطى بالعلاقة $W=\mathit{F}\mathbf{.}\mathit{d}$

وان الزاوية بين القوة والازاحة $\left({53}^{\circ }\right)$،

فاجيب عما يأتي:

أ- أمثل المتجهي)F  و d بيانيا.

ب- هل يعد الشغل كمية متجهة ؟ اوضح ذلك

ج- أجد مقدار الشغل الذي انجزته القوة.

الحل:

ب- لا . لايعد الشغل كمية متجهة بل قياسية لانه ناتج عن الضرب القياسي لمتجهي القوة والازاحة

ج-                                               

                                          $W=F.d=Fd\cos$                               

                                             $W=20\times 5\cos 53$                  

                                                $W=361J$

ويعطى الضرب المتجهي  بالعلاقة:

                                          $\left|A\times B\right|=ABsin\theta$

حيث Aمقدار المتجه الأول                B: مقدار المتجه الثاني                                                                 

$\theta$:الزاوية الصغرى بين المتجهين

لتحديد اتجاه ناتج الضرب المتجهي نستخدم قاعدة اليد اليمني حيث يشير الابهام  الى اتجاه المتجه الأول (A) ،

وتشير الأصابع الى متجه الثاني(B) فيكون الناتج (AxB)  متجه  عمودي وخارج من الكف.

المثال 8:

   في الشكل (14) اذاكان F=250N , r= 0.4m .  فأجيب عما يأتي:                                                                     

        أ- أجد مقدار عزم القوة (rxF) واتجاهه.

       ب- اذا تغيرت الزاوية بين r و لتصبح 135⁰  ، فما مقدار (rxF) واتجاهه.

الحل:

            أ . مقدارُ عزمِ القُوَّةِ   :  r × F
                                              $\left|\mathit{r}\times \mathit{F}\right| =r F \sin \theta = 0.4\times 250 \times \sin {90}^o=100N.m , \sin {90}^o=1$ 
                                                                        
 
          بحسبِ قاعدةِ كفِّ اليدِ اليمنى، يشيرُ الإبهامُ إلى اتجاهِ r، وتشيرُ الأصابعُ إلى اتجاهِ F ؛

          لذا يكونُ اتجاهُ عزمِ القُوَّةِ خارجًا  منَ الورقةِ (باتجاهِ محورِ . +z )
             ب . مقدارُ :r × F
                            $\left|r \times F\right| = r F\sin \theta =0.4 \times 250\times \sin {135}^o=0.7 , \sin {135}^o=0.7N.m$
 
            اتجاهُ r × F يكونُ خارجًا منَ الورقةِ (باتجاهِ محورِ z+)، كما في الفرعِ   الاسبق ( أ )