الكسور الجزئية

الكسور الجزئية

تعلمنا سابقا أن المقدار الجبري النسبي هو كسر بسطه ومقامه كثيرا حدود وأننا نستعمل المضاعف المشترك الأصغر لتوحيد مقامي مقدارين نسبيين مختلفي المقام عند جمعهما أو طرحهما.

سنتعلم اليوم تجزئة المقادير النسبية وهي عبارة عن عملية عكسية للعملية السابقة (عملية توحيد المقام) وينتج عنه كتابة المقدار النسبي على صورة مجموع مقادير نسبية نبسط كلا منها على صورة $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ حيث P و Q كثيرا حدود لا يوجد بينهما عوامل مشتركة ودرجة P أقل من درجة Q وكل من هذه المقادير النسبية يسمى كسرا جزئيا.

ملاحظة: تعتمد عملية تجزئة المقادير الجبرية النسبية على عوامل المقام.

حالات التجزئة حسب نوع عوامل المقام:

1) عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة.

2) عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدها مكرر.

3) عوامل المقام كثيرات حدود أحدها تربيعي غير قابل للتحليل.

سنتعرف على كل حالة على حدة.

تجزئة مقدار نسبي عوامل مقامه كثيرات حدود خطية مختلفة:

في هذه الحالة ينتج كسر جزئي بسطه ثابت ومقامه العامل الخطي على الصورة الآتية.

إذا كان Q(x) كثير حدود يمكن تحليله تحليلا كاملا من دون تكرار أي عامل على الصورة الآتية: $Q\left(x\right)=(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)(a_{3}x+b_3)...(a_{n}x+b_n)$ فإنه يمكن تجزئة المقدار الجبري النسبي $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ حيث درجة P أقل من درجة Q، على الصورة الآتية: $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{a_{2}x+b_2}+\frac{A_3}{a_{3}x+b_3}+...+\frac{A_n}{a_{n}x+b_n}$

مثال:

أجزئ $\frac{3x-2}{x^2-2x-3}$ إلى كسور جزئية.

1) نحلل المقام تحليلا كاملا

$\frac{3x-2}{x^2-2x-3}=\frac{3x-2}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}$

2) نكتب كسرين جزئيين مقامهما العاملان الخطيان في مقام الكسر النسبي الأصلي ثم نكتب رمزا في بسط كل كسر.

$\frac{3x-2}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}$

3) نضرب طرفي المعادلة في (م.م.أ) لمقامي  الكسرين الجزئيين وهو (x-3)(x+1)

$$\begin{gathered} \left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(\frac{3x-2}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\right)=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}\right) \\ \cancel{\left(x-3\right)}\cancel{\left(x+1\right)}\left(\frac{3x-2}{\cancel{\left(x-3\right)}\cancel{\left(x+1\right)}}\right)=\cancel{\left(x-3\right)}\left(x+1\right)\frac{A}{\cancel{x-3}}+(x-3)\cancel{(x+1)}\frac{B}{\cancel{x+1}} \\ 3x-2=(x+1)A+(x-3)B \end{gathered}$$

4) أجد قيم  كل من الثابتين B و A باستعمال التعويض.

أولا: بتعويض x=3 في المعادلة الناتجة.

$$\begin{gathered} 3\left(3\right)-2=\left(3+1\right)A+\left(3-3\right)B \\ 7=4A \\ A=\frac{7}{4} \end{gathered}$$

ثانيا: بتعويض x=-1 في المعادلة الناتجة

$$\begin{gathered} 3\left(-1\right)-2=\left(-1+1\right)A+\left(-1-3\right)B \\ -5=-4B \\ B=\frac{5}{4} \end{gathered}$$

إذن يمكن تجزئة المقدار النسبي على الصورة

$\frac{3x-2}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{7}{4}}}{\left(x-3\right)}+\frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}}{\left(x+1\right)}=\frac{7}{4\left(x-3\right)}+\frac{5}{4\left(x+1\right)}$

تجزئة مقدار نسبي عوامل مقامه كثيرات حدود خطية أحدها مكرر:

إذا كان $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ مقدارا نسبيا وكان التحليل الكامل لQ(x) يحتوي على عامل خطي مكرر n من المرات، ودرجة P أقل من درجة Q؛ فإنه يمكن تجزئة $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ على الصورة الآتية: $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{{(ax+b)}^2}+\frac{A_3}{{(ax+b)}^3}+...+\frac{A_n}{{(ax+b)}^n}$

مثال:

أجزئ $\frac{x^2-x+2}{x^3-6x^2+9x}$ إلى كسور جزئية

1) نحلل المقام تحليلا كاملا

$\frac{x^2-x+2}{x^3-6x^2+9x}=\frac{x^2-x+2}{x(x^2-6x+9)}=\frac{x^2-x+2}{x(x-3)(x-3)}=\frac{x^2-x+2}{x{(x-3)}^2}$

2) نكتب 3 كسور جزئية مقاماتها عوامل مقام الكسر النسبي الأصلي ونكتب رمزا في بسط كل كسر.

ملاحظة: بما أن العامل (x-3) مكرر مرتين يجب أن تحتوي التجزئة على ثلاثة كسور مقاماتها $x, \left(x-3\right), {\left(x-3\right)}^2$

$\frac{x^2-x+2}{x{(x-3)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-3)}+\frac{C}{{(x-3)}^2}$

3) نضرب طرفي المعادلة في (م.م.أ) لمقامات الكسور الجزئية وهو $x{\left(x-3\right)}^2$

$$\begin{gathered} x{\left(x-3\right)}^2 \frac{x^2-x+2}{x{\left(x-3\right)}^2}=x{\left(x-3\right)}^2 \left(\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-3)}+\frac{C}{{\left(x-3\right)}^2}\right) \\ {x}^2-x+2=A{(x-3)}^2+Bx(x-3)+Cx \end{gathered}$$

4) نجد قيمة الثوابت A,B,C باستعمال التعويض

أولا: تعويض x=0 في المعادلة الناتجة.

$$\begin{gathered} {\left(0\right)}^2-0+2=A{\left(0-3\right)}^2+B\left(0\right)\left(0-3\right)+C\left(0\right) \\ 2=9A \\ A=\frac{2}{9} \end{gathered}$$

ثانيا: نعوض x=3

$$\begin{gathered} 3^2-3+2=A{(3-3)}^2+B3(3-3)+C\left(3\right) \\ 8=3C \\ C=\frac{8}{3} \end{gathered}$$

ثالثا: نعوض أي قيمة أخرى مثلا x=1 في المعادلة الناتجة إضافة إلى تعويض قيمتي A و C الناتجتين

$$\begin{gathered} {\left(1\right)}^2-\left(1\right)+2=\frac{2}{9}{(1-3)}^2+B(1-3)+\frac{8}{3}\left(1\right) \\ 2=\frac{8}{9}-2B+\frac{8}{3} \\ B=\frac{13}{9} \end{gathered}$$

إذن يمكن تجزئة المقدار النسبي على الصورة الآتية:

$\frac{x^2-x+2}{x{(x-3)}^2}=\frac{2}{9x}+\frac{13}{9(x-3)}+\frac{8}{3{(x-3)}^2}$

تجزئة مقدار نسبي أحد عوامل مقامه كثير حدود تربيعي غير مكرر لا يمكن تحليله:

إذا كان $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ مقدار جبريا نسبيا وكان التحليل الكامل لQ(x) يحتوي على عامل تربيعي غير مكرر لا يمكن تحليله، ودرجة P أقل من درجة Q؛ فإنه يمكن تجزئة $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ على الصورة الآتية: $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{A_{1}x+B_1}{a_1{x}^2+b_{1}x+c_1}+\frac{A_{2}x+B_2}{a_2{x}^2+b_{2}x+c_2}+...+\frac{A_{n}x+B_n}{a_n{x}^2+b_{n}x+c_n}$

مثال:

أجزئ $\frac{x^2+8x+2}{(x-2)(x^2+4)}$ إلى كسور جزئية

ملاحظة: بما أن المقام يحتوي على مقدار تربيعي لا يمكن تحليله نضع في بسط أحد الكسور الجزئية ثابتا والآخر مقدار خطيا.

1) نجزئ الكسر بحيث نضع في بسط العامل الخطي ثابتا وفي بسط العامل التربيعي مقدارا خطيا

$\frac{x^2+8x+2}{(x-2)(x^2+4)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{Bx+C}{(x^2+4)}$

2) نضرب طرفي المعادلة في (م.م.أ) وهو $\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)$.

$$\begin{gathered} \left(x-2\right)\left(x^4+4\right)\left(\frac{x^2+8x+2}{\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)}\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)\left(\frac{A}{(x-2)}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+4\right)}\right) \\ {x}^2+8x+2=A\left(x^2+4\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-2\right) \end{gathered}$$

3) نجد قيمة الثوابت A و B و C باستعمال التعويض

أولا: تعويض x=2

$$\begin{gathered} {\left(2\right)}^2+8\left(2\right)+2=A\left(2^2+4\right)+\left(B\left(2\right)+C\right)\left(2-2\right) \\ 24=8A \\ A=3 \end{gathered}$$

ثانيا: نعوض قيمة A=3 وقيمة x=0 في المعادلة

$$\begin{gathered} {\left(0\right)}^2+8\left(0\right)+2=3\left({\left(0\right)}^2+4\right)+\left(B\left(0\right)+C\right)\left(0-2\right) \\ 2=12+-2C \\ C=5 \end{gathered}$$

ثالثا: نعوض قيمة A=3 وقيمة C=5 وأي قيمة أخرى للمتغير x مثلا x=1

$$\begin{gathered} {\left(1\right)}^2+8\left(1\right)+2=\left({\left(1\right)}^2+4\right)+\left(B\left(1\right)+5\right)\left(1-2\right) \\ 11=15-B-5 \\ B=-1 \end{gathered}$$

إذن يمكن تجزئة المقدار النسبي على الصورة

$\frac{x^2+8x+2}{\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)}=\frac{3}{\left(x-2\right)}+\frac{-x+5}{\left(x^2+4\right)}$

تجزئة مقدار نسبي درجة كثير الحدود في بسطه مساوية لدرجة كثير الحدود في مقامه أو أكبر منها:

في هذه الحالة نستعمل القسمة الطويلة بقسمة P على Q ثم نكمل تجزئة الكسور.

مثال:

أجزئ المقدار $\frac{x^2-4x+9}{x^2+3x-4}$ إلى كسور جزئية

ملاحظة: بما أن درجة البسط مساوية لدرجة المقام نقسم أولا البسط على المقام ثم نجزئ

1) نقسم البسط على المقام باستعمال القسمة الطويلة ثم نكتب الكسر الناتج على صورة مجموع ناتج القسمة إلى كسر يمثل باقي القسمة.

إذن ناتج القسمة هو (1) والباقي (7x+13-) وعليه

$\frac{x^2-4x+4}{x^2+3x-4}=1+\frac{-7x+13}{x^2+3x-4}$

2) نحلل مقام باقي القسمة ونكتب المقدار النسبي لصورة مجزأة

$\frac{-7x+13}{x^2+3x-4}=\frac{-7x+13}{\left(x+4\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{\left(x+4\right)}+\frac{B}{\left(x-1\right)}$

3) نضرب طرفي المعادلة ب(م.م.أ) وهو (x+4)(x-1) وينتج منه

$-7x+13=A(x-1)+B\left(x+4\right)$

4) نجد قيمة A و B بالتعويض

أولا: نعوض x=1

$$\begin{gathered} -7\left(1\right)+13=A(1-1)+B(1+4) \\ 6=5B \\ B=\frac{6}{5} \end{gathered}$$

ثانيا: نعوض x=-4

$$\begin{gathered} -7(-4)+13=A(-4-1)+B(-4+4) \\ 41=-5A \\ A=-\frac{41}{5} \end{gathered}$$

إذن يمكن تجزئة المقدار النسبي على الصورة

$\frac{x^2-4x+9}{x^2+3x-4}=1+\frac{-41}{5(x+4)}+\frac{6}{5(x-1)}$