القوة المركزية

القوة المركزية

              ما الفرق بين الحركة الدائرية والحركة الدورانية؟

          قد يختلط عليك التفريق بينهما ولكن لو اخذنا مثالأ ستتوضح الأمور  إن شاء الله، الأرض تدور حول نفسها

       حول محور الدوران فيها وهذه حركة دورانية و كذلك تدور حول الشمس  في مدار شبه دائري فهذه حركة دائرية.

         وفق قانون نيوتن الثاني، إذا أثرت محصلة قوى على جسم فإنها تكسبه تسارعا وهذا التسارع يعني تغير السرعة، إما تغير في  مقدارها 

             فقط  أو تغير في المقدار والاتجاه أو تغير في الاتجاه  فقط مع ثبات المقدار. 

       ونتذكر مايلي:

       محصلة القوى = صفر في الحالات التالية:       $\sum _{}F = 0$

1. الجسم ساكن
2. الجسم يتحرك بسرعة ثابتة مقداراً واتجاهاً ( أي أن التسارع يساوي صفر ).

         القوة المحصلة لا تساوي صفر في الحالات التالية:

1. تغير  مقدار السرعة زيادة أو نقصان مع ثبات أو تغير الاتجاه  ( تغير الحالة الحركية )
2. تغير  اتجاه السرعة  مع ثبات المقدار. 

 القوة المركزية ومنشؤها: 

   يمثل الشكل التالي كرة كتلتها ( m ) مربوطة بخيط  طوله ( l )   تتحرك في مسار  دائري أفقي وبسرعة ثابتة مماسية ( v )

                                         

                                                    الشكل:  القوة المركزية  في الحركة الدائرية.

    وحسب قانون نيوتن الأول  ( القصور الذاتي )  تحافظ الكرة على الحركة بسرعة مماسية مستقيمة، وللمحافظة  على حركتها في

 المسار الدائري المنتظم لتكون حركتها حركة دائرية منتظمة يلزم قوة التأثير عليها بقوة  محصلة باتجاه متعامد مع اتجاه السرعة المماسية (  $v$ ).

  تسمى القوة المركزية ( $F_c$ )  تسبب  تغير  في  اتجاه سرعتها المماسية  مع ثبات مقدارها ، أوتكسبها تسارعاً يسمى التسارع المركزي( $a_c$ ).

  لاحظ الشكل السابق ( أ ) أنه عند انتقال الكرة من النقطة ( 1 ) إلى النقطة (2 ) تغير اتجاه السرعة المماسية مع ثبات المقدار. ,,وبقاء اتجاه القوة

 المركزية  المؤثرة على جسم يتحرك حركة دائرية  منتظمة نحو مركز المسار  ومتعامدة مع  اتجاه السرعة المماسية لهذا الجسم.

 ماذا تتوقع يحدث إذا انقطع الخيط عند نقطة معينة؟ 

      في هذه الحالة تنعدم القوة مركزية،لذلك وحسب قانون نيوتن الأول ( القصور الذاتي )  ستميل الكرة لاتخاذ  مسار في خط مستقيم عند تلك النقطة.

     لاحظ الشكل السابق ( ب )

 منشأ القوة المركزية: 

 ذكرنا أن القوة المركزية هي القوة المحصلة التي  تؤثر باتجاه متعامد مع اتجاه السرعة الماسية لأي  جسم يتحرك حركة دائرية منتظمة،

وأصل هذه القوة هو النظام الذي تؤثر فيه هذه القوة، و الجدول التالي يبين أمثلة  على الحركة الدائرية ومنشأ القوة المركزية المؤثرة في كل منها.

   

أمثلة على الحركة الدائرية	منشأ القوة المركزية
حركة القمر  حول الارض	قوة الجذب الكتلي
مجففة الملابس	القوة العمودية  من تأثير جدران المجففة
حركة الالكترونات لسالبة حول النواةالموجبة	القوة الكهربائية
حركة كرة مرتبطة بخيط تدور حركة دائرية	قوة الشد
حركة سيارة السباق  على المنعطفات  الدائرية دون انزلاقها  خارج المنعطف.	قوة الاحتكاك السكوني بين العجلات وسطح المنعطف

          

                                                                                     

                                                                                                   حركة دائرية لقمر صناعي

         سؤال: ماذا يحدث لحركة سيارة  عندما تتحرك على منعطف  مغطى بالجليد أو الزيوت؟

               الجواب : لأن منشأ القوة المركزية  لحركة السيارة  على المنعطف  هو قوة الإحتكاك السكوني  العظمي على المنعطف الجاف،

                             ولكن إذا كان المنعطف مغطى بالجليد أو الزيوت تنعدم تقريباً قوة الاحتكاك السكوني العظمى بالتالي تنعدم القوة المركزية

                             بالتالي ستتخذ السيار ة  سرعة  ثابتة  مقداراً واتجاهاً  أي مسار مستقيم حسب قانون نيوتن الأول.

   

                حساب القوة المركزية  والتسارع المركزي.

                 القوة المركزية هي القوة المحصلة والمؤثرة على جسم  كتلته ( m )يتحرك حركة دائرية منتظمة  على مسار نصف قطره ( r )

                 وبسرع مماسية ثابتة مقداراً  ومتغيرة في الاتجاه، وبتسارع مركزي ( $a_c$ ). 

                              ويعبر ع ذلك بالعلاقة:                         $\sum _{}F = m{a}_c \Rightarrow F_c = m{a}_c$

                             والتسارع  المركزي يعطى بالعلاقة  التالية:       $a_{c }= \frac{v^2}{r}$

                              من العلاقتين السابقتين نجد أنه يمكن حساب  القوة المركزية من العلاقة التالية: 

                                                                                                     ${\mathit{F}}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\mathit{m}\frac{{\mathbf{v}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{r}}$

                                  مما سبق نجد أن  مقدار القوة المركزية ( $F_c$ ) الموثرة على جسم كتلته ( m  ) يتحرك حركة دائرية  منتظمة في مسار دائري

                                   نصف قطره ( r )  وبسرعة مماسية ( v )  تعتمد على العوامل التالية:

                               1-  نصف قطر المسار الدائري ( r ) مع ثبات السرعة المماسية:  تزداد القوة  المركزية بنقصان نصف قطر السمار للحفاظ على مقدار السرعة.

                                     أي أن القوة المركزية تتناسب عكسياً مع مقدار نصف قطر المسار الدائري عند ثبات السرعة.

                                2- مربع السرعة المماسية مع ثبات نصف قطر المسار،  والعلاقة  طردية بين القوة المركزية ومربع السرعة الماسية. اي زيادة السرعة 

                                       يزيد  من مقدار القوة المركزية مع ثبات نصف القطر.

  

       تذكر  إن السرعة ثابتة المقدار تساوي السرعة القياسية اللحظية  عند أي نقطة، وتساوي طول المسار (2πr)اي محيط الدائرة

                  مقسوما على الزمن اللازم  كي يكمل الجسم دورة كاملة حول مركز الدوران وهذا الزمن يسمى الزمن الدوري (T ) 

                    كما في العلاقتين  التاليتين:  

$v =\frac{\mathrm{الدائري} \mathrm{المسار} \mathrm{طول} }{\mathrm{الدوري} \mathrm{الزمن}}$                                                                       

                                                                                          $v=\frac{2\pi r}{T}$  

 

   المثال 1: كرة كتلتها 50 g مربوطة في نهاية خيط طوله 100 cm  تتحرك حركة دائرية منتظمة في مسار دائري افقي،

    فإذا علمت ان الزمن الدوري للكرة  0.5 s فاحسب مقدار:

            أ- سرعتها المماسية

            ب- تسارعها المركزي.

            جـ. القوة المركزية المؤثرة المؤثرة فيها.

             د. قوة الشد في الخيط.

          هـ اكبر سرعة مماسية يمكن ان تتحرك بها الكرة اذا كانت اكبر قوة شد يتحملها الخيط قبل ان ينقطع تساوي 10 N

                           

                                                                                 

                                                                                 الشكل: الحركة  الدائرية

         الحل:

      من نص السؤال نقرأ ما يلي:

• الحركة دائرية منتظمة : اي ان السرعة ثابتة مقدارا متغيرة اتجاها .
• الزمن اللازم كي تكمل الكرة دورة كاملة هو ( 0.5s $T =$ )
• منشأ القوة المركزية هي قوة الشد في الخيط ( $F_C = F_T$ )
•    طول الخيط = $100 cm\times \frac{1m}{100cm}=1m$
•      كتلة الكرة =$50 g\times \frac{1 kg}{1000g}=0.05 kg$

   أ-  السرعة المماسية :                 $v=\frac{2\mathrm{\pi r}}{T}=\frac{2\times 3.14\times 1}{0.5}=12.6 m/s$

ب-   التسارع المركزي  :                              $a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{{(12.6)}^2}{1}158.8 m/s^2$

           جـ- القوة المركزية  باتجاه المركز من العلاقة :   $F_c=m\frac{v^2}{r}=m{a}_c=0.05\times 158.8=7.9 N$

           د- قوة الشد هي القوة المركزية المؤثرة في الخيط  ( $7.9 N$  $F_c = F_T =$  ) باتجاه مركز المسار.

           هـ-  لحساب اكبر سرعة قبل ان ينقطع الخيط ، نستخدم العلاقة:

                $F_{c,max}= m\frac{v_{max}^2}{r} \Rightarrow 10 = 0.05\times \frac{v_{max}^2}{1}\Rightarrow v_{max}^2=\frac{10}{0.05}=200\Rightarrow v_{max}=14.1 m/s$

 

        المثال 2:

       تتحرك سيارة كتلتها $(1.5\times {10}^{3}kg)$  في مسار دائري نصف قطره    $50 m$  بسرعة ثابته مقدارها $15 m/s$، إذا كان معامل الاحتكاك السكوني

       بين اطارات السيارة وسطح الطريق$0.8$ ، وسطح الطريق افقي، احسب مقدار :

              أ- التسارع المركزي للسيارة

           ب- القوة المركزية المؤثرة في السيارة.

           جـ- أكبر سرعة يمكن ان تتحرك بها السيارة دون ان تنزلق.

            د- اذا اصبحت الطريق مبللة بالماء واصبح معامل الاحتكاك السكوني 0.5 فما مقدار اكبر سرعة يمكن ان تتحرك بها السيارة دون ان تنزلق.

                                                                

 

  

         الحل:

            لحل السؤال، تذكر مايلي:

           أ-  في الحركة دائرية منتظمة  تكون السرعة  المماسية ثابتة مقدارا متغيرة اتجاها في مستوى افقي.

          ب- منشأ القوة المركزية هي قوة الاحتكاك السكوني  العظمى. ( $F_c = f_{s, max}$  )

         ج- قوة الاحتكاك السكوني  العظمى تساوي معامل الاحتكاك السكوني مضروبا بالقوة العمودية بين السيارة وسطح الارض.

                                              (  $f_{s,max }={\mu }_s F_N$ )

         المؤثرة على السيارة هي :

             - قوة جذب الارض للسيارة = وزن السيارة = $1.5\times {10}^3\times 10=1.5\times {10}^{4 }N$  باتجاه      -y

             - القوة العمودية الى أعلى، وطالما أنه لا يوجد حركة للسيارة على المحور y فتكون القوة العمودية مساوية لوزن السيارة.

                                      $F_N=F_g=1.5\times {10}^{4}N$

               ومنها فإن قوة الاحتكاك السكوني العظمى تعطى بالعلاقة :

                    $f_{s,max}={\mu }_s{F}_N=0.8\times 1.5\times {10}^4=1.2\times {10}^{4}N$       باتجاه المركز

                    أ- التسارع المركزي للسيارة :

                                                         $a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{{\left(15\right)}^2}{50}=\frac{225}{50}=4.5 m/s^2$

                   ب- القوة المركزية المؤثرة تعطى بالعلاقة :

                                                                        باتجاه المركز    $F_c=m{a}_c=1.5\times {10}^3\times 4.5=6.75\times {10}^{3}N$

                  جـ- أكبر سرعة يمكن ان تتحرك بها السيارة دون ان تنزلق تقابل قوة الاحتكاك السكوني العظمى

                                     $F_{c }=f_{s,max}\Rightarrow 1.2\times {10}^4=m\frac{v_{max}^2}{r}=1.5\times {10}^{3 }\frac{v_{max}^2}{50}\Rightarrow v_{max}^2=\frac{50\times 1.2\times {10}^4}{1.5\times {10}^3}=400\Rightarrow v_{max}=20 m/s$

 

               د. اذا اصبحت الطريق مبللة وتغيرت قيمة معامل الاحتكاك السكوني العظمى 0.5

                   فستتغير قوة الاحتكاك السكوني العظمى

                                                                                                     $f_{s,max}={\mu }_s{F}_N=0.5\times 1.5\times {10}^4=7.5\times {10}^{3}N$

               $f_{s,max}=7.5\times {10}^3=m\frac{v_{max}^2}{r}=1.5\times {10}^3\frac{v_{max}^2}{50}\Rightarrow v_{max}^2=\frac{7.5\times {10}^3\times 50}{1.5\times {10}^3}=250\Rightarrow v_{max}=15.8 m/s$

 

          المثال 3: سيارة كتلتها $1.5\times {10}^3 kg$ تتحرك في مسار دائري نصف قطره $90 \mathrm{m}$بسرعة ثابتة مقدارها   $50 \mathrm{km}/\mathrm{h}$ ،

       اذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين اطارات السيارة وسطح الطريق  $0.6$ وسطح الطريق افقي ، احسب مقدار:

               أ- القوة المركزية المؤثرة في السيارة.

              ب.   أكبر سرعة يمكن ان تتحرك بها السيارة على هذا الطريق دون ان تنزلق.

      الحل :

                       أ-    نحول السرعة  من  وحدة $\mathrm{km}/\mathrm{hr}$  الى وحدة m/s

                                    $v = 50 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times \frac{1000}{\mathrm{k}}\times \frac{1\mathrm{h}}{3600\mathrm{s}}=13.9 \mathrm{m}/\mathrm{s}$  

                                    $F_c = m\frac{v^2}{r} =1.5\times {10}^3\times \frac{13,9^2}{90} = 3.22\times {10}^3\mathrm{N}$

                         ب-   نجد وزن السيارة لأنه يلزمنا لحساب القوة العمودية المؤثرة على السيارة من سطح  المسار الدائري.

                                  ونرسم  مخطط الجسم الحر للسيارة على المسار الدائري  الأفقي كما في الشكل التالي:

                                                                                   

                                                                                                            ${\mathrm{F}}_{\mathrm{g}}=\mathrm{mg}=1.5\times {10}^3\times 10=1.5\times {10}^4 \mathrm{N}$

                                     لا يوجد حركة عمودية للسيارة.                 $$\begin{gathered} \sum _{}F = m{a}_{y } \Rightarrow a_{y }=0 \\ F_N - F_g = 0 \Rightarrow F_N = 1.5\times {10}^{4}N \end{gathered}$$

                                                           

                               ولحساب اكبر سرعة ، يجب ايجاد قوة الاحتكاك السكوني العظمى والتي تنشئ القوة المركزية  ثم نطبيق

                            قانون نيوتن الثاني  بالاتجاه الأفقي:

                                                          ${\mathrm{f}}_{\mathrm{s},\max }={\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{N}}=0.6\times 1.5\times {10}^4=9.0\times {10}^3\mathrm{N}$

                                                                                                $f_{s, max}= m\frac{v^2}{r}$         

                            

      وهذه اقصى قوة مركزية قبل ان تنزلق السيارة ومنها نحسب اقصى سرعة:

                                                              $$\begin{gathered} {\mathrm{F}}_{\mathrm{c},\max }={\mathrm{f}}_{\mathrm{s},\max }=\mathrm{m}\frac{{\mathrm{v}}_{\max }^2}{\mathrm{r}}=9.0\times {10}^{3 }\mathrm{N} \\ {\mathrm{v}}_{\max }^2=\frac{(90\times 9.0\times {10}^3)}{1.5\times {10}^3}=540 \\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{s},\max }=23.2 \mathrm{m}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

          خطأ شائع

   قد يعتقد البعض خطأ أنه يجب على السائق زيادة مقدار سرعة السيارة فيالمنعطف لزيادة مقدار القوة المركزية المؤثرة فيها،

وبالتالي زيادة استقرارها؛ ولكن هذا خطأ حيث انه توفر قوة الاحتكاك السكوني الجانبية بين إطارات السيارة وسطح الطريق القوة المركزية

اللازمة لحركة السيارة في مسار منحن، وأنه بزيادة مقدار سرعة السيارة يزداد مقدار قوة الاحتكاك السكوني الجانبية اللازم تأثيرها في السيارة

لتوفير القوة المركزية المناسبة لضمان عدم انزلاقها، غير أنه عند سرعة معينة تصبح قوة الاحتكاك السكوني الجانبية غير قادرة على توفير

القوة  المركزية اللازمة لضمان استقرار السيارة في المنعطف، فتنزلق خارج المسار الدئري.