الحركة في بعد واحد

للحركة عدة أشكال  تصنف ضمن  مجالات : الحركة في بعد واحد  والحركة في بعدين والحركة في ثلاثة أبعاد،

 كما ألاحظ في اأشكال المقابلة 

     الشكلين المقابلين  يمثلان الحرة  في  بعديين، ففي  حركة الأرجوحة هناك حركة بالاتجاه الأفقي ( x )  وحركة بالاتجاه  ( y )

    وبنفس  الكيفية يتحرك  الجسم  المقذوف بزاوية ($\alpha$ )، حيث للمقذوف  عند أي  نقطة  على  مساره أثناء  التحليق إزاحة

 أفقية  وإزاحة رأسية و مركبةسرعة أفقية و ومركبة أخري رأسية

   الشكل  المقابل مثال  على  الحرة في  ثلاثة أبعاد، حيث تتحرك الطائرة الورقية، بالاتجاه الأفقي  ( يمين ثم ويسار وبالعكس) وأيضاً

 بالاتجاه الرأسي ( نحو الأعلى ثم الأسفل ) وأيضاً تتحرك للأمام والخلف كبعد ثالث.

عند تحديد موقع جسم  فإننا نحدد اطار مرجعي للحركة وهو نقطة اسناد  ننسب إليها موقع الجسم مثل

 نقطة الاصل  في نظام احداثيات 

يوضح الشكل  حركة كرة في بعد واحد على محور X .

نعتبر نقطة الاسناد (x=0). ونعتبر  الموقع على يمين نقطة الاسناد موجبا وعلى يساره سالبا.

فمثلا نصف موقع الكرة الابتدائي (x₁=+2 cm) ، والموقع عند (x₂=+5cm) , وعند (x₃ =-4cm).

ولوصف حركة الجسم   فاننا نستخدم مفهوم الازاحة $(∆x)$وهي الفرق بين متجه

 الموقع النهائي (x₂) ، ومتجه  الموقع الابتدائي (x₁). ففي  المشهد المتحرك  

 المقابل،ألاحظ حركة  من  الموقع : $X_1=0$  إلى  الموقع : $X_2 =6m$

 والإزاحة: $∆X =X_2 -X_2 =6-0=6m$   باتجاه اليمين

فمثلا  ازاحة الكرة  في المرحلة الاولى عندما تحركت من  الموقع الأول الى  الموقع الثاني: 

                                         $∆x=x_2-x_1=5-2= 3m$

ومنها نلاحظ أن اشارة الازاحة موجبة لأن الكرة تحركت في اتجاه محور (x) الموجب.

أما في المرحلة  الثانية تحركت الكرة من الموقع x₂   الى الموقع x_{3، والإزاحة:} 

                                                        _{$∆x=x_3- x_{2_{}}== -4- (+2)=-9m$}

والاشارة السالبة  تعني أن الكرة تحركت في اتجاه محور  (X) السالب. 

أفكر صفحة 43؛ هل يستطيع جسم متحركاً أن يغير موقعه أكثر من مرة بحيث تكون إزاحته صفرا ؟ 

نعم ، عندما يبدأ الجسم الحركة من موقعه الابتدائي وينتقل لموقع آخر ثم يعود لموقعه الابتدائي.

 في  الشكل  المتحرك  المقابل،  هناك حركة  من الموقع $X_1 =0$  إلى  الموقع $X_2 = 6m$  ثم العودة إلى 

$X_3=2m$  الموقع النهائي، وتكون الإزاحة الكلية: 

                      $∆X=X_3 -X_1 = 2 -0 =2m$    نحو اليمين

فمثلا عداد السيارة الموضح بالشكل يشير أن سرعنها  القياسية اللحظية 80Km/h

واذا كان اتجاه حركتها شمالا تكون سرعة السيارة المتجهة اللحظية هي 80Km/h  شمالا.                      

مثال 2:

وضعت لعبة سيارة على محور (x) على بعد 2m من نقطة الأصل في الاتجاه الموجب .

ثم حركت في الاتجاه الموجب فأصبحت بعد ( 6.8m ) على المحور نفسه ثم حركت في

الاتجاه السالب فأصبحت على بعد (5.6m) كما في الشكل إذا علمت أن الزمن الكلي

(15s)، فأجد :

أ - المسافة الكلية التي قطعتها لعبه السيارة

ب -الإزاحة الكلية للعبة السيارة 

جـ - السرعة القياسية المتوسطة لعبه السيارة  

د - السرعة المتجهة المتوسطة لعبه السيارة

 الحل:

 أ- المسافة الكلية التي قطعتها لعبة السيارة تساوي مجموع المسافتين  اللتين قطعتهما

  السيارة المسافة الأولى  عندما تحرك الجسم من الموقع الأول P₁ الى الموقع الثاني  P₂    

                                                              s₁ = 6.8 - 2.0 = 4.8 m

   المسافة الثانية عندما تحرك الجسم من الموقع الثاني  P₂ الى الموقع الثالث P₃

                                                                           s₂ = |5.6 - 6.8| = 1.2 m

    المسافة الكلية :                              s = s₁ + s₂ = 4.8 + 1.2 = 6.0 m

ب- الازاحة الكلية للعبة السيارة تساوي الفرق بين متجهي الموقعين : الابتدائي والنهائي

                                               Δx = x₃ - x₁ = 5.6 - 2.0 = 3.6 m

وبما أن اشارة الازاحة موجبة  فهذا يعني أن الازاحة باتجاه محور (x)  الموجب.

جـ -  السرعة القياسية المتوسطة:    $v_s=\frac{s}{∆t}={\frac{6}{15}}_{}=0.4m/s$     

                                          وهي كمية قياسية ليس لها اتجاه  

 د-  السرعة المتجهة المتوسطة:

                                                          $\overline{v_s}=\frac{∆x}{∆t}=\frac{3.6}{15}=0.24m/s$                      

   بما أن السرعة المتجهة موجبة فهذا يعني أن في اتجاه محور (x) الموجب.

 التسارع الثابت Constant Acceleration

 تأمل الجدول  الذي يوضح سرعات متجهة لحظية (v) لسيارتين تتحركان في

اتجاه محور (x)  الموجب .

نلاحظ من الجدول المقابل  أن سرعة السيارة الأولى ثابتة عند القيمة (4m/s) 

 ( تقطع  مسافات متساوية في فترات زمنية متساوية)فنقول أنها لا تتسارع ، 

أما السيارة الثانية فسرعتها متغيرة المقدار  تزداد بسرعة (2m/s) في كل ثانية 

 مما يعني أنها تتسارع.

    التسارُعَ المتوسطَ : هو كميةٌ مُتَّجِهةٌ تُعطى بناتجِ قسمةِ التغيُّرِ في السرعةِ

 اللحظيةِ ( Δv ) على المدَّةِ الزمنيةِ اللازمةِ لإحداثِ التغيُّرِفي السرعةِ:

 وأحسب التسارع المتوسط  من  خلال المعادلة التالية:

                     $\overline{\mathbf{a}} = \frac{∆\mathit{v}}{∆t} =\frac{{\mathit{v}}_2-{\mathit{v}}_1}{t_2-t_1}$  

     يكون اتجاه التسارع المتوسط دائما في نفس اتجاه التغير في السرعه ويقاس التسارع بوحده m/s² أما التسارع اللحظي فهو التسارع عند لحظة زمنية محددة.                  

  تكون الاجسام متسارعة عندما تتشابه اشارة التسارع مع اشارة السرعة ، فتكون الاشارتان   

 موجبتين (+،+)،إذا تحرك الجسم  بسرعة وتسارع باتجاه +X ، أو سالبتين (-،-)  اي أن كل من

 السرعة والتسارع باتجاه المحور -X .

تكون الأجسام متباطئة عندما تختلف اشارة التسارع  عن اشارة السرعة،فتكون أحدهما موجبة

 والاخرى سالبة(-،+)

 مثال:

بناء على القيم في الجدول جد التسارع المتوسط لكل من السيارتين المدة

  الزمنية  من (t₁=1s)   الى ( t₂= 2s)

     الحل: التسارع المتوسط للسيارة الأولى        

                               $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{4-4}{2-1}=0$ 

 ألاحظ أن سرعة السيارة الأولى ثابتة  لم تتغير وبالتالي يكون التسارع لها

  يساوي صفر

التسارع المتوسط للسيارة الثانية:

                        $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{4-2}{2-1}=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

  وتعني أن السيارة تتسارع بمقدار ثابت  (2m/s) والاشارة الموجبة

  للتسارع تعني  انه باتجاه x الموجب أي باتجاه السرعة المتجهة.

اتحقق صفحة 48:  جد التسارع المتوسط  لكل من السيارتين في الفترة الزمنية من   (t₁=1s)   الى ( t₂= 2s)

الحل: التسارع المتوسط للسيارة الأولى

                                                       ^{$\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{4-4}{2-1}=0$}

الحل: التسارع المتوسط للسيارة الثانية

                                      $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{4-2}{2-1}= 2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

باتجاه محور X الموجب.

المثال 4: تحرك  قطار نحو الشرق  في اتجاه  محور  X+   بسرعة متغيرة المقدار ، وقد رصدت سرعتها

 الابتدائيةعند اللحظة (t= 2s) . فكانت ( 12m/s) ،  ثم رصدت سرعته  النهائية عند اللحظة (t= 38s) 

 فكانت (30m/s) .أجد مقدار التسارع المتوسط الذي تحرك به القطار خلال المدة من (t= 2s) الى  (t= 38s) ،

 ثم حدد اتجاه هذا التسارع.

    المعطيات :  t ₂ = 38 s ، t ₁ = 2 s ، v₂ = 30 m/s ، v₁ = 12 m/s

الحل: 

                           $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{30-12}{38-2}=\frac{18}{36} =0.5 m/s^2$

 وبما أن التغير في السرعة  المتجهة موجب اي في اتجاه الشرق (+x ) ،  وبما أن التسارع موجب اذاً يكون

  بنفس لذا يكون اتجاه السرعة أي  نحو الشرق(+x ) .

المثال 5: 

انطلق سامر بزلاجته  بسرعة ابتدائية (2.4m/s)  باتجاه الشرق، وبعد مدة زمنية مقدارها (3s) توقفت الزلاجة عن الحركة .

 أجد مقدار التسارع المتوسط للزلاجة ، محددا اتجاهه.

 المعطيات: t = 3.0 s ، v₂ = 0 m/s ، v₁ = 2.4 m/s :

                                       $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{0-2.4}{3}=\frac{-2.4}{3} =-0.8 m/s^2$

وبما أن اشارة التسارع سالبة فهذا يعني ان اتجاهه بعكس اتجاه السرعة ، أي نحو الغرب   مما يسبب تباطؤ  الزلاجة. 

المثال 6:

تحركت كرة تنس أرضي في اتجاه  الشرق مع محور (+X) بسرعة (40m/s) . وفي أثناء مدة زمنية مقدارها  $\left(∆t=0.05 s\right)$ 

ارتدت الكرة نحو الغرب مع محور ( X-)   بسرعة (40m/s) ، كما في الشكل .جد مقدار تسارع الكرة في أثناء هذه المدة ،

  محددا اتجاهه.

الحل:

نعوض السرعة الابتدائية موجبة لانها بالاتجاه الموجب ، والنهائية سالبة لانها باتجاه الغرب

(Δt = 0.8 s) ، (v₂ = -40 m/s) ،(v₁ = + 40 m/s

                                                            $\overline{a }=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{-40-40}{0.05}=-100m/s^2$

    والاشارة السالبة تدل أن التسارع باتجاه الغرب (X-)

يتبين من الشكل ان الجسم يقع بعد(15m) من نقطه الاسناد عند اللحظه (t=1s).

وانه قد غير موقعه فاصبح على بعد (30 m) عند اللحظه (t=4s) وبالتالي تكون ازاحته

في اثناء المده الزمنيه $∆t$

$∆x=x_2-x_1=30-15=15m$

حيث: $∆t =t_2 - t_1 = 4-1 =3s$

وبتطبيق قانون ميل الخط المستقيم

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 

على الخط المستقيم الذي يصل بين الموقع الابتدائي للجسم (x₁=15m) عند الزمن(t₁=1s) وموقعه النهائي( x₂=30m)  عند الزمن(t₂=4s) ( حيث الموقع على المحور y والزمن على المحور x) كما يأتي:

$m={\displaystyle \frac{∆x}{∆t}}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}={\displaystyle \frac{30-15}{4-1}}=5m/s$

نلاحظ أن الميل يمثل $\frac{∆x}{∆t}$ ووحدة قياسه m/s .وهي السرعه المتجهه المتوسطه، أي أن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي ميل الخط المستقيم في حالة السرعة الثابتة وميل المماس في الحالة السرعة

 المتغيرة (حيث لا يكون الشكل خط مستقيم )

$\overline{v } = \mathrm{الميل}$ 

  منحنى الموقع الزمن يكون خطا  مستقيما عند الحركه بسرعه

ثابته حيث التسارع يساوي صفرا (كمنحنى حركة السيارتين في الشكل)

ولا يكون المنحنى مستقيما في حالة السرعة المتغيره حيث التسارع لا

يساوي صفر. والسرعة اللحظية عند أي نقطة على المنحنى تساوي ميل المماس

 لهذه النقطة:

                           $\mathrm{الميل} =\frac{∆x}{∆t} =\overline{v}$                                

عند تمثيل الحركة بيانيا بحيث يحدد محور(x) لتدريج الزمن ومحور(y) لتدريج السرعة ثم تمثيل العلاقة بين السرعة والزمن بيانيا فان هذه العلاقة تصف التغير في سرعة الجسم بالنسبه الي الزمن وتمكننا من معرفة سرعة الجسم عند أي لحظه زمنية

بناء على تعريف التسارع المتوسط فان$\overline{a} =\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

بالرجوع الى مفهوم الميل في الرياضيات نجد ان مقدار التسارع يساوي ميل منحنى الموقع -الزمن

نلاحظ من الشكل ان الميل موجب لذا فان التسارع موجب ايضا وبما ان اشارتي  السرعه والتسارع موجبتين(+،+) هذا يعني ان الجسم يتسارع في  الاتجاه الموجب.

حسب الشكل نلاحظ من منحنى السرعه -الزمن يكون الميل ثابتا اي ان التسارع ثابت ويساوي التسارع المتوسط$\left(\overline{a } =a \right)$

ان الاجسام الموجودة في مجال الجاذبية الارضية تتاثر بقوة لها (الوزن) ، عند رفع جسم مثلا ثم تركه ليتحرك بحرية فانه يسقط الى الاسفل نحو مركز الارض و عند رمي جسم الى الاعلى فان سرعته تتناقص حتى  يتوقف عن الحركة ارتفاع معين، ثم يعود الى الاسفل

يبين الشكل كرة في حالة سقوط حر عندما تلتقط لها مجموعة متتالية من الصور و يفصل بين كل صورتين

متتاليتين مدد زمنية متساوية  نلاحظ ان الكره تقطع ازاحات متساوية في أزمان متساوية أثناء  تسارعها نحو

الاسفل

    يعد السقوط الحر اهم التطبيقات الحركة في بعد واحد بتسارع ثابت ويرمز اليه بالرمز(g) . غير ان الاجسام التي نراها تسقط يوميا قد يختلف تسارعها قليلا بسبب تاثير مقاومة الهواء وهذا التاثير يختلف باختلاف شكل الجسم وحجمه ووسرعته فيزداد زمن سقوطها نتيجه ذلك