حلول أسئلة اتحقق من فهمي

2) هل يعد 5:3 , 25:15  تناسباً

بتبسيط النسبتين

$\frac{25÷5}{15÷5}$                                       $\mathbf{\leftarrow }$  نقسم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر 5 لينتج $\frac{5}{3}$ 

$\frac{5}{3}$  في ابسط صورة  

لذلك يعد 5:3 , 25:15  تناسباً

 

3) هل يعد 1:4 , 3:16 تناسباً 

بإيجاد معدل الوحدة

$\frac{1÷4}{4÷4}$ = 0.25                 $\mathbf{\leftarrow }$  وبما ان 0.25 ≠ 0.1875  فان 3:16 , 1:4 ليس تناسباً

$\frac{3÷16}{16÷16}$  = 0.1875 

 

أحل كل من التناسبات التالية :

4) $\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{35}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{d}\times 35=5\times 1 \\ 35\mathrm{d}=5 \end{gathered}$$                        $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

 $\frac{35\mathrm{d}=5}{÷35 ÷35}$                     $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 35

   $\mathrm{d}=\frac{5 ÷5}{35 ÷5}$                        $\mathbf{\leftarrow }$ بتبسيط المعادلة بالقسمة على 5  

$\mathrm{d}=\frac{1}{7}$

 

5)$\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{3}}$

$$\begin{gathered} 7\times 3=\mathrm{b}\times 28 \\ 21=28\mathrm{b} \end{gathered}$$                       $\mathbf{\leftarrow }$  باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{ 21=28\mathrm{b}}{ ÷28 ÷28}$                 $\mathbf{\leftarrow }$   بقسمة الطرفين على 28

$\frac{21÷7}{28÷ 7} =\mathrm{b}$                         $\mathbf{\leftarrow }$ بتبسيط المعادلة بالقسمة على 7   

$b=\frac{3}{4}$

 

6) $\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{12}\mathbf{-}\mathbf{X}}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{30}}$

$30\times X=10\times (12-X)$       $\mathbf{\leftarrow }$  باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$30\mathrm{X} =120-10\mathrm{X}$              $\mathbf{\leftarrow }$   باستخدام التوزيع 

$$\begin{gathered} 30X =120-10X \\ +10X +10X \end{gathered}$$              $\mathbf{\leftarrow }$  جمع 10X الى الطرفين 

$$\begin{gathered} 40\mathrm{X}=120 \\ \frac{40\mathrm{X}=120}{÷40 ÷40 } \end{gathered}$$                 $\mathbf{\leftarrow }$  قسمة الطرفين على 40 

X=3

 

في أحد الصفوف الأساسية، كانت نسبة الطلاب إلى الطالبات 5:6 ، فإذا كان عدد الطالبات في الصف 18 فكم عدد الطلاب ؟

نكتب التناسب ونحله ونفرض ان عدد الطلاب يساوي x 

$\frac{5}{6}=\frac{x}{18}$ 

$$\begin{gathered} 18\times 5=6\times X \\ 90=6X \end{gathered}$$                    $\mathbf{\leftarrow }$  باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{ 90=6X}{ ÷6 ÷6}$                         $\mathbf{\leftarrow }$  بقسمة الطرفين على 6

X=15 عدد الطلاب في الصف يساوي 15 طالب 

---

---

حلول أسئلة اتدرب وأحل المسائل

هلْ تُمثلُ كلُّ نسبتَينِ ممّا يأتي تناسبًا؟ أبرّرُ إجابتي.

1)$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{35}}$

بتبسيط النسبتين

$\frac{3}{7}$ في أبسط صورة  ، $\frac{15 ÷5}{35÷5}$  نقسم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر 5 لينتج $\frac{3}{7}$

$\mathbf{\leftarrow }$ بما أنَّ النسبتَينِ متساويتانِ بعدَ التبسيطِ، إذنْ، فَهُما تشكّلانِ تناسُبًا.

 

2) $\frac{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{5}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{12}}$

بإيجاد معدل الوحدة

$\frac{30÷12}{12 ÷12}=2.5 ,\frac{7.5÷3}{3÷3}=2.5$ 

 $\mathbf{\leftarrow }$ بما أنَّ معدلي الوحدة متساويين ، إذنْ، فَهُما تشكّلانِ تناسُبًا.

 

3) $\frac{\mathbf{44}}{\mathbf{11}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{4}}$

بإيجاد معدل الوحدة

$\frac{18÷4}{4÷4}$ = 4.5  ، $\frac{44÷11}{11÷11}$= 4            

$\mathbf{\leftarrow }$ بما أنَّ معدلي الوحدة غير متساويين  فان $\frac{44}{11},\frac{18}{4}$  ليس تناسبا

 

4) دفع أشرف 2.4JD ثمناً لـ 3Kg من البرتقال ، ثم دفع 4JD  ثمناً لـ5Kg أخرى ، أتحقق من تناسب ما دفعه أشرف ثمناً لـ 3Kg من البرتقال مع ما دفعه ثمناً لـ5Kg من البرتقال وأبرر إجابتي 

نكتب تناسب يمثل ما دفعه للمرة الاولى والثانية $\frac{2.4}{3} , \frac{4}{5}$ 

بإيجاد معدل الوحدة

$\frac{4÷5}{5÷5}$=0.8 ،$\frac{2.4÷3}{3÷3}$ =0.8   $\mathbf{\leftarrow }$  تناسب لأن معدّل الوحدة في الحالتين = 0.8 

 

أحل كل من التناسبات التالية:

 5) $\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{84}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{12}}$ 

$$\begin{gathered} 21\times 12=84\times a \\ 252 =84a \end{gathered}$$                  $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{252=84a}{÷84 ÷84}$                      $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 84

a=3

 

6)  $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{y}}$

$$\begin{gathered} 5\times y=3\times 65 \\ 5y=195 \end{gathered}$$                     $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{5y=195}{÷5 ÷5}$                        $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 5

y=39

 

7)  $\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{18}}$ 

$$\begin{gathered} 1\times 3=\mathrm{d}\times 18 \\ 3=18\mathrm{d} \end{gathered}$$                      $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{3=18d}{÷18 ÷18}$                      $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 18

$\frac{1}{6}$= d

 

8)   $\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{3}}$

$$\begin{gathered} 4\times 3=24\times b \\ 12=24b \end{gathered}$$                   $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{12=24b}{÷24 ÷24}$                  $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 24

b=0.5

 

9)  $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{15}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{X}\mathbf{+}\mathbf{8}}$

$5\times (X+8)=15\times X$       $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$5X+40=15X$                $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام التوزيع 

$$\begin{gathered} 5X+40=15X \\ -5X -5X \end{gathered}$$                $\mathbf{\leftarrow }$طرح 5X من الطرفين 

$\frac{40=10X}{÷10 ÷10 }$                $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 10

X=4

 

10) $\frac{\mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{X}\mathbf{+}\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

$3\times (X-3)=1\times (X+7)$     $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$3X-9=X+7$                      $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام التوزيع 

$\frac{3X-9=X+7}{-X+9 -X+9}$             $\mathbf{\leftarrow }$ طرح X من الطرفين وزيادة 9

$\frac{2X=16}{÷2 ÷2}$                           $\mathbf{\leftarrow }$  بقسمة الطرفين على 2

X=8

 

11) علومٌ: نسبةُ المِلحِ إلى الماءِ في سائلٍ هِيَ 1:5 ،إذا احتوى السائلُ على 60g من الماء، فَكَمْ غرامًا مِنَ المِلحِ يحوي السائلُ؟

نكتب تناسب يمثل نسبة الملح الى الماء في السائل $\frac{1}{5}=\frac{X}{60g}$ ، ونحل التناسب لإيجاد قيمة الملح في السائل بالغرام 

$5X=60$      $\mathbf{\leftarrow }$ باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{5X=60}{÷5 ÷5}$$\mathbf{\leftarrow }$  بقسمة الطرفين على 5

X=12 ، يحتوي السائل على 12 غرام من الملح 

 

12) عملٌ منزليٌّ: تُعِدُّ سمرُ عصيرَ فاكهةٍ بِمزجِ 150mL مِنْ عصيرِ البرتقالِ معَ 100mLمِنْ عصيرِ الجزرِ. إذا استعملَتْ سمرُ 600mL مِنْ عصيرِ البرتقالِ، فما كمّيةُ عصيرِ الجزرِ الّذي استعملَتْهُ؟

نكتب تناسب يمثل نسبة  عصير البرتقال الى عصير الجزر  $\frac{150}{100}=\frac{600}{X}$ ونحل التناسب لايجاد كمية عصير الجزر المستعمل 

$$\begin{gathered} 600\times 100=150\times X \mathbf{\leftarrow } \\ 60000=X150 \end{gathered}$$باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{60000=X150}{÷150 ÷150} \mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 150

X=400mL ، كمية الجزر المستعمل 400mL

 

13) علومٌ:المرأةُ الّتي طولُها 164cm، يكونُ عَرضُ كَتِفَيْها 42cm تقريباً أَجِدُ طولَ امرأةٍ عَرضُ كَتِفَيْها 42.6cm 

نكتب تناسب يمثل نسبة عرض الكتف إلى طول الجسم $\frac{42}{164}=\frac{42.6}{X}$  ونحل التناسب لايجاد طول المرأة 

$$\begin{gathered} 6.42\times 164=42\times X \mathbf{\leftarrow } \\ 4.6986=X42 \end{gathered}$$باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{42X=6986.4}{÷42 ÷42}$          $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 42

X=166.3cm  طول المرأة 

 

14) محيطات: نسبةُ مساحةِ المحيطِ الهادي إلى مساحةِ سطحِ الأرضِ هِيَ 3:10 أجد مساحةَ المحيطِ الهادي إذا كانَتْ مساحةُ سطحِ الأرضِ 510072000km²

نكتب تناسب يمثل نسبة مساحة المحيط الهادي الى مساحة الارض $\frac{3}{10}=\frac{\mathrm{X}}{510072000}$ ونحل التناسب لإيجاد مساحة المحيط الهادي 

 $$\begin{gathered} 3\times 510072000=10\times \mathrm{X} \\ 1530216000=10\mathrm{X} \end{gathered}$$ $\mathbf{\leftarrow }$باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$\frac{1530216000=10X}{÷10 ÷10 }$       $\mathbf{\leftarrow }$ بقسمة الطرفين على 10

X=153021600Km²  وتمثل مساحة المحيط الهادي 

 

إذا كانت كتلة 5 بطاريات من نوع  AA تساوي 115g أجد كتلة :

15) بطارية واحد  

نكتب تناسب يمثل نسبة كتلة البطاريات $\frac{\mathbf{115}\mathbf{g}}{\mathbf{5}}$  ونجد كتلة البطارية الواحد وتساوي 23g 

16) 8 بطاريات 

نضرب كتلة البطارية الواحدة بعدد البطاريات $23\times 8=\mathrm{g}184$

 

---

---

حلول أسئلة مهارات التفكير العليا 

17)  أعودُ إلى فقرةِ  أستكشفُ بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ.

 نكتب تناسب يمثل نسبة ما يحتوي كوب الحليب من الكالسيوم بدلالة X $\frac{\mathbf{560}\mathbf{g}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{420}\mathbf{g}}{\mathbf{X}}$ ونحل التناسب لايجاد قيمة X 

$$\begin{gathered} 560X=840 \\ \frac{560X=840}{÷560 ÷560 } \end{gathered}$$  $\mathbf{\leftarrow }$باستخدام خاصية الضرب التبديلي

بقسمة الطرفين على 560 $\mathbf{\leftarrow }$X=1.5 وهذا يثبت صحة مقولة ديمة

 

18)  مزجَ أربعةُ طلبةٍ في حصةِ الفنِّ اللونَ الأحمرَ واللونَ الأزرقَ للحصولِ على اللونِ الأُرجوانيِّ، ويبيّنُ الجدولُ المجاورُ الكمّياتِ الّتي استخدمَها كلُّ طالبٍ. أيُّ الطلبةِ حصلَ على درجةٍ مختلفةٍ مِنَ اللونِ الأُرجُوانيِّ؟ أبرّرُ إجابتي.               

نجد نسبة مزج الالوان لكل طالب 

اللون الازرق (كوب)	اللون الأحمر (كوب)	اسم الطالب
$\frac{2}{3}$	$1\frac{1}{3}$	سامي
$1\frac{1}{4}$	$2\frac{1}{2}$	لين
2	$4\frac{1}{2}$	وليد
$2\frac{1}{2}$	5	سمر

ايجاد معدل الوحدة	النسبة بين اللونين	اللون الازرق	اللون الأحمر	اسم الطالب
1.33,0.66	$\frac{4}{3},\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3\times 1+1}{3}=\frac{4}{3}$	سامي
2.5,1.25	$\frac{5}{2},\frac{5}{4}$	$\frac{1\times 4+1}{4}=\frac{5}{4}$	$\frac{2\times 2+1}{2}=\frac{5}{2}$	لين
4.5,2	$\frac{9}{2},2$	2	$\frac{4\times 2+1}{2}=\frac{9}{2}$	وليد
5,2.5	$5,\frac{5}{2}$	$\frac{2\times 2+1}{2}=\frac{5}{2}$	5	سمر

 

 

 

 

 

 

 

 

  وليد ، لأن نسبة الأزرق إلى الأحمر عنده $\frac{4}{9}$  وباقي الطلاب $\frac{1}{2}$

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين 

 هلْ تُمثّلُ كلُّ نسبتَينِ ممّا يأتي تناسبًا أَمْ لا؟ أبرّرُ إجابتي.

1)$\frac{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{4}}{\mathbf{12}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{10}}$  الإجابة : تناسب لأن معدل الوحدة لنسبتين هو نفسه ويساوي $\frac{1}{5}$

2)$\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{10}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{1}}{\mathbf{13}}$ الإجابة : ليس تناسب لأن معدل الوحدة لنسبتين مختلف 

3) $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{17}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{51}}$  الإجابة :  تناسب لأن معدل الوحدة لنسبتين هو نفسه ويساوي $\frac{3}{17}$

أكتبُ العددَ المفقودَ في كلِّ تناسُبٍ مِنَ التناسُباتِ الآتيةِ:

4) $16:\mathbf{8}=2:1$

5) $\mathbf{21}:56=3:8$

6) $12:30=2:\mathbf{5}$

7) قطعَتْ لانا عَلى درّاجتِها الهوائيةِ مسافةَ 90Km في 4 أيامٍ، وَقطعَتْ مسافةَ 135Km في 6 أيام أُخرى. أتحقّقُ مِنْ تناسُبِ المسافةِ الّتي قطعَتْها لانا في 4 الأيامِ الأولى مَعَ المسافةِ الّتي قطعَتْها في 6 الأيامِ التاليةِ.

 الإجابة : يوجد تناسب لأن معدل الوحدة هو في الأيام الأولى والأيام التالية ويساوي 22.5Km لكل يوم 

8)  تقاضى عاملٌ 12JD مقابلَ 4 ساعاتٍ عملٍ، ثمَّ تقاضى 18JD مقابلَ 5 ساعاتِ عملٍ أُخرى. أتحقّقُ مِنْ تناسُبِ ما تقاضاهُ العاملُ مَعَ عددِ ساعاتِ العملِ. أبرّرُ إجابتي.

 الإجابة :لا يوجد تناسب لأن معدل الوحدة مختلف في ال 4 أيام عنه في ال 5 أيام

 

 أحلُّ كلًّ مِنَ التناسُباتِ الآتيةِ: 

9)$\frac{\mathbf{16}}{\mathbf{36}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{9}}$            الإجابة :4

10) $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{35}}{\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{1}}$     الإجابة :55

11) $\frac{\mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{5}}$     الإجابة : 1-

12) بناءٌ: نسبةُ الإسمَنتِ إلى الرملِ في خلطةٍ إسمَنتيةٍ $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{9}}$، إذا استعملَ عاملٌ 45 عبوّةً مِنَ الرملِ، أَجِدُ كَمْ عبوّةَ إسمَنتٍ استعملَ

 الإجابة : 10

13) حلوى: زَيّنَ عليٌّ قالَبَ كيكٍ بِلونَينِ مِنَ الحلوى: أحمرَ، وَأصفرَ بنسبةِ 4:1 إذا استعملَ عليٌّ 20 قِطعةَ حلوى حمراءَ لِتزيينِ القالَبِ، أَجِدُ عددَ قطعِ الحلوى الصفراءِ الّتي استعملَها.

 الإجابة : 5 

14) قياسٌ: الجالونُ البريطانيُّ وحدةٌ لِقياسِ حجمِ السائلِ وَيعادلُ 4.5L . أُكملُ الجدولَ الآتيَ، ثمَّ أختبرُ التناسُبَ بينَ النسبتَينِ.

الجالونُ البريطانيُّ	2	6
اللّتراتُ	9	27

  $\frac{2}{9}=\frac{6}{27}$ تناسب

 

15) فنٌّ: رسمَتْ عبيرُ شكلَينِ سداسيَّينِ منتظمَينِ، أحدُهُما طولُ ضلعِهِ 4cm وَالآخَرُ 9cm أَجِدُ محيطَ كلٍّ منهُما، ثمَّ أتحقّقُ مِنْ تناسُبِ محيطِ الشكلِ السداسيِّ المنتظمِ مَعَ طولِ ضلعِهِ.

 الإجابة : محيط الأول 24cm محيط الثاني 54cm تناسب    $\frac{54}{9}=\frac{24}{4}$