التناسب

مفاهيم أساسية 

التناسب : هو مساواة بين نسبتين، وفي هذه الحالة تُسمى النسبتان نسبتين متكافئتين.

ويمثل بالرموز : 

$\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{ }\mathbf{\ne }\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{ }\mathbf{\ne }\mathbf{ }\mathbf{0}$       أو   $\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{c}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{d}$

ويسمى العددان a,d  طرفي التناسب  والعددان b,c وسطي التناسب 

 

 

 

 

يُمكنُنا تحديدُ إنْ كانَتِ النسبتانِ متكافئتَينِ بإيجادِ معدَّلِ الوحدةِ لكلٍّ منهُما، أَوْ تبسيطِهِما، ثمَّ مقارنةِ الناتجَينِ.

 

مثال : هل تمثل كل نسبتين مما يلي تناسباً  6: 8 , 18:24

الطريقة الأولى : أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ للنّسبتَينِ: 

الخطوة الأولى : أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ للنّسبة الأولى 

$\frac{6}{8}=\frac{6÷8}{8÷8}=0.75$

الخطوة الثانية : أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ للنّسبة الثانية

$\frac{18}{24}=\frac{18÷24}{24÷24}=0.75$

الخطوة الثالثة: أقارن معدَّلَي الوحدةِ

0.75=0.75

بما أنَّ معدلَيِ الوحدةِ متساويانِ، إذنْ، النسبتانِ تمثّلانِ تناسُبًا، أيْ أنَّ 18:24=6:8

 

الطريقة الثانية : أَبسط النّسبتَينِ: 

 

   أقسمُ البَسْطَ والمَقامَ على العاملِ المشترَكِ الأكبرِ 2           

 

 

  أقسمُ البَسْطَ والمَقامَ على العاملِ المشترَكِ الأكبرِ 6

 

بما أنَّ النسبتَينِ متساويتانِ بعدَ التبسيطِ، إذنْ، فَهُما تشكّلانِ تناسُبًا.

 

في أي تناسب $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}\mathbf{ }}\mathbf{ }$    يكونُ حاصلُ ضربِ طرفَيِ التناسُبِ مساويًا لحاصلِ ضربِ وسطَيِ التناسُبِ a×d = b×c

وتُسمّى هذهِ الخاصّيةُ الضربَ التبادليَّ

 

 

 

إذا كانَ أحدُ أطرافِ التناسُبِ غيرَ معروفٍ فإنَّهُ يُمكنُنا استعمالُ خاصّيةِ الضربِ التبادليِّ لإيجادِهِ، وهذا ما يُسمّى حلَّ التناسُبِ

 

مثال : أحلُّ كلًّ مِنَ التناسباتِ الآتيةِ:

1) $\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{40}}$ 

باستخدام خاصية الضرب التبديلي 

 $$\begin{gathered} 8\times \mathrm{a}=7\times 40 \\ 8\mathrm{a}=280 \end{gathered}$$

أقسمُ طرفَِ المعادلةِ على 8       

     $$\begin{gathered} \frac{8\mathrm{a}}{8}=\frac{280}{8} \\ \mathrm{a}=35 \end{gathered}$$ 

 

2) $\frac{\mathbf{63}}{\mathbf{28}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{y}}$

باستخدام خاصية الضرب التبديلي 

$$\begin{gathered} 63\times \mathrm{y}=28\times 9 \\ 63\mathrm{y}=252 \end{gathered}$$

أقسمُ طرفَِ المعادلةِ على 63 

$$\begin{gathered} \frac{63\mathrm{y}}{63}=\frac{252}{63} \\ \mathrm{y}=4 \end{gathered}$$

 

3) $\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{32}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{8}}$

باستخدام خاصية الضرب التبديلي

$32 (\mathrm{x}-2) = 12(\mathrm{x}+8)$

باستخدام خاصية التوزيع 

$$\begin{gathered} 32\mathrm{x}-64=12\mathrm{x}+96 \\ -12\mathrm{x} -12\mathrm{x} \end{gathered}$$              نطرح 12x من الطرفين 

$$\begin{gathered} 20\mathrm{x}-64=96 \\ +64 +64 \\ 20\mathrm{x}=160 \\ ÷20 ÷20 \end{gathered}$$                        نجمع 64 للطرفين

  x = 8                                          نقسم الطرفين على 20 

 

مثال : شركاتٌ: في إحدى شركاتِ الحواسيبِ، كانَتْ نسبةُ العاملينَ في قسمِ البرمجةِ إلى العاملين في قسم التسويق 3:8، فإذا كانَ عددُ المبرمجينَ 27 ، فما عددُ العاملينَ في قسمِ التسويقِ؟

أكتبُ تناسبًا وأحُلُّهُ، وأفرضُ أنَّ عددَ العاملينَ في قسمِ التسويقِ X

          

          خاصّيةُ الضربِ التبادليِّ

            $$\begin{gathered} 3\times \mathrm{X}=27\times 8 \\ 3\mathrm{X}=216 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} \frac{3\mathrm{X}}{3}=\frac{216}{3} \\ \mathrm{X}=72 \end{gathered}$$          نقسم طرفي المعادلة على 3 ونبسطها

إذنْ، عددُ العاملينَ في قسمِ التسويقِ 72 عاملً.