التكامل بالكسور الجزئية

تعلمت سابقاً أن الاقتران النسبي على الصورة ، $u\left(x\right) = \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ حيث أن كلاً من g , f كثيرات حدود . $g\left(x\right) \ne 0$.

وقد نواجه في ايجاد التكامل مثل تلك الحالة ومن الأمثلة على ذلك:  $\int \frac{x+3}{x^2-1}dx, \int \frac{x^2+1}{x^2-3x}dx,...$

و من الجدير بالذكر وجوب الانتباه إلى تلك الحالة التي يكون فيها البسط يساوي مشتقة المقام أو أحد مضاعفاته .

و هنا لا حاجة لاستخدام الكسور الجزئية بل الحل بالقانون:  $\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx = ln \left|f\right(x\left)\right| + C$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{x^2-1}dx \\ Solution: \\ \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-1}dx= \frac{1}{2} \ln (x^2-1)+c \\ because: \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx = ln \left|f\right(x\left)\right| + C \end{gathered}$$

والان كيف نستخدم الكسور الجزئية كطريقة في حل التكامل؟ 

تعلمنا سابقاً أنه يمكن تجزئة الاقتران النسبي إلى ناتج جمع اقترانين نسبيين أو أكثر.

و مثال ذلك:$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}$

حيث إن تحليل المقام  : $x^2-4=(x+2)(x-2)$

ولايجاد قيمة كل من   a , bسنقوم بتوحيد المقام ليصبح الكسر كما يلي: 

$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a(x+2)+b(x-2)}{x^2-4}$

ومنه فإن:  $3=a(x+2)+b(x-2)$

وعندما : $x+2=0 \Rightarrow x=-2$  وبتعويض  $x = -2$ سنجد أن:   $3 = -4b \Rightarrow b= -\frac{3}{4}$

وعندما : $x-2=0 \Rightarrow x=2$ وبتعويض $x = 2$ سنجد أن: $3=4a \Rightarrow a = \frac{3}{4}$

ليصبح الكسر :

$$\begin{gathered} \frac{3}{x^2-4}= \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2} \\ \frac{3}{x^2-4}= \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{x-2}-\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{x+2} \end{gathered}$$

ويمكننا الان إجراء التكامل على النحو التالي: 

$\int \frac{3}{x^2-4}dx = \frac{3}{4}\int \frac{1}{x-2}dx - \frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}$

و المقام خطي و مشتقته موجودة في البسط

$$\begin{gathered} \int \frac{3}{x^2-4}dx = \frac{3}{4}\int \frac{1}{x-2}dx - \frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2} \\ \int \frac{3}{x^2-4}dx =\frac{3}{4}\ln |x-2| - \frac{3}{4}\ln \hspace{0.17em}|x+2| + c \\ =\frac{3}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right| + c \\ because: lnx-lny=ln\left|\frac{x}{y}\right| \end{gathered}$$

ومن الحالات التي سنناقشها في هذا الدرس تجزئة الكسور كما يلي:

أولاً :عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة .

كما في المثال السابق.و من الامثلة عليها:

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{x^2-2x}= \frac{1}{x(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2} \\ 2)\frac{1}{ x^2-3x+2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} \\ 3) \frac{1}{x^3-4x}=\frac{1}{ x(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2} \end{gathered}$$

لاحظ أن كافة العوامل كثيرات حدود خطية مختلفة.

ثانياً: عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر:

مثال ذلك:

$\frac{1}{x{(x+1)}^2}=\frac{1}{x(x+1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{(x+1)}^2}$

لاحظ تكرار العامل $\left(x+1\right)$

ثالثاً: عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) و غير مكرر.

ومثال ذلك: 

 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

لاحظ العامل  $\left(x^2+1\right)$  ( مميزه سالب) غير قابل للتحليل و غير مكرر.

وسنعرض الان مجموعة من الامثلة التوضيحية لكل من الحالات السابقة. 

أولاً :عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة .

 

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x+2}{x^2-3x}dx$

لاحظ بداية أن البسط ليس مشتقة المقام و المقام عبارة تربيعية قابلة للتحليل فيكون كتابة الكسر على النحو التالي: 

 $$\begin{gathered} \int \frac{x+2}{x^2-3x}dx \\ Solution: \\ \frac{x+2}{x^2-3x}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x-3} \\ \frac{x+2}{x^2-3x}= \frac{a(x-3) + bx}{x^2-3x} \\ x +2 = a(x-3) + bx \\ now to solve a and b: \\ when x= 0 : 2 = -3a \Rightarrow a = -\frac{2}{3} \\ when x= 3 : 5 = 3b \Rightarrow b = \frac{5}{3} \\ \therefore \int \frac{x+2}{x^2-3x}dx = \frac{-2}{3}\int \frac{1}{x}dx + \frac{5}{3}\int \frac{1}{x-3 } \\ = \frac{-2}{3}\ln \left|x\right| + \frac{5}{3}\ln |x-3| + c \end{gathered}$$

 

 

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx$

لاحظ أن درجة البسط تساوي درجة المقام فلا يمكن تجزئة الكسر حتى تصبح درجة المقام أقل من درجة البسط .

و لحل هذه الإشكالية سنلجأ إلى واحدة مما يلي:

1) الإضافة و الطرح

2) القسمة الطويلة

$\frac{x^2+1}{x^2+3x-4} = \frac{x^2+3x-4}{x^2+3x-4}+ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

ولتحقق من ذلك يمكن جمع البسط ليصبح  $x^2+1$

$= 1 + \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

الان يمكن القيام بالتجزئة:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx \\ Solution: \\ \int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx=\int 1 dx+ \int \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}dx \\ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}= \frac{a}{x+4}+ \frac{b}{x-1} \\ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}= \frac{a(x-1) + b(x+4)}{x^2+3x-4} \\ -3x+5 = a(x-1) +b(x+4) \\ now to solve a and b: \\ when x= -4 :17 = -5 a \Rightarrow a= \frac{-17}{5} \\ when x= 1 : 2 = 5b \Rightarrow b =\frac{2}{5} \\ \int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx = \int 1dx - \frac{17}{5}\int \frac{1}{x+4}dx + \frac{2}{5}\int \frac{1}{x-1}dx \\ = x -\frac{17}{5}\ln |x+4| +\frac{2}{5}\ln |x-1| +c \end{gathered}$$

 

ثانياً: عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر:

 

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx \\ Solution: \\ \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{(x+2)}+\frac{c}{{(x+2)}^2} \\ To solve a , b and c \\ \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx}{x{(x+2)}^2} \\ {x}^2+1=a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx \\ to solve a ,band c: \\ when x=-2 : 5=-2c \Rightarrow c=\frac{-5}{2} \\ when x=0 :1=4a \Rightarrow a=\frac{1}{4} \\ let x=-1: 2=\frac{1}{4}\left(1\right)+-b+\frac{5}{2} \Rightarrow b=\frac{3}{4} \\ \int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}dx-\frac{5}{2}\int \frac{1}{{(x+2)}^2}dx \\ =\frac{1}{4}\ln \left|x\right|+\frac{3}{4}\ln |x+2|+\frac{5}{2(x+2)}+c \end{gathered}$$

 

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int \frac{x-1}{3x^3+6x^2+3x}dx \\ Solution: \\ \frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}=\frac{1}{3}\frac{x-1}{x{(x+1)}^2} \\ =\frac{1}{3}(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{{(x+1)}^2}) \\ x-1=a{(x+1)}^2+bx(x+1)+c\left(x\right) \\ to solve a ,b and c: \\ when x=-1: -2=-c \Rightarrow c=2 \\ when x=0 :-1=a \Rightarrow a=-1 \\ let x=1: 0=-4+2b+2 \Rightarrow b=1 \\ \int \frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{1}{x}dx+\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}dx+\frac{2}{3}\int \frac{1}{{(x+1)}^2}dx \\ =\frac{-1}{3}\ln \left|x\right|+\frac{1}{3}\ln |x+1|-\frac{2}{3(x+1)}+c \end{gathered}$$

ثالثاً: عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) و غير مكرر.

 

جد قيمة التكامل الآتي:

 $$\begin{gathered} \int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx \\ Solution: \\ \frac{4x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1} \\ \frac{4x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{a(x^2+1)+x(bx+c)}{x(x^2+1)} \\ 4x^2+1=a(x^2+1)+x(bx+c) \\ to solve a ,b and c: \\ when x=0: 1=a \Rightarrow a=1 \\ let x=-1: 5=2+b-c \Rightarrow 3=b-c ...\left(1\right) \\ let x=1: 5=2+b+c \Rightarrow 3=b+c ...\left(2\right) \\ From \left(1\right) and \left(2\right) : \\ 6=2b \Rightarrow b=3 \\ 3=3-c \Rightarrow c=0 \\ \int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx=\int \frac{1}{x}dx+3\int \frac{x}{x^2+1}dx \\ =\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx \\ =\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\ln |x^2+1|+c \end{gathered}$$

 

جد قيمة التكامل الآتي:

 $$\begin{gathered} {\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1} dx \\ Solution: \\ \frac{4x^2+x+1}{x^3-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1} \\ 4x^2+x+1=a(x^2+x+1)+(x-1)(bx+c) \\ to solve a ,b and c: \\ when x=1: 6=3a \Rightarrow a=2 \\ let x=-1: 4=2+2b-2c \Rightarrow 1=b-c ...\left(1\right) \\ let x=0: 1=2-c \Rightarrow c=1 \\ From \left(1\right) and \left(2\right) : \\ 1=b-1 ...\left(1\right) \Rightarrow b=2 \\ {\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1}dx =2{\int }_2^3\frac{1}{x-1}dx +{\int }_2^3\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx \\ =2\ln |x-1|{|}_2^3 +\ln |x^2+x+1|{|}_2^3 \\ =2\left(\ln \right|2|-\ln |1\left|\right)+\ln \left|13\right|-\ln \left|7\right| \\ =\ln 4+\ln 13-\ln 7 =\ln \frac{52}{7} \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx$

لاحظ أنه لا يمكن أن نفكِّر بتجزئة الكسر كون محتوياته ليست كثيرات حدود لذلك سنفكر في حل آخر هو التعويض

$$\begin{gathered} \int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx \\ Solution: \\ let u=sin x \Rightarrow dx=\frac{du}{\cos x} \\ \int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+\sin x}dx=\int \frac{\cancel{\cos x}}{u^2+u}\times \frac{du}{\cancel{\cos x}} \\ =\int \frac{1}{u^2+u}du \\ \frac{1}{u^2+u}=\frac{a}{u}+\frac{b}{u+1} \\ 1=a\left(u+1\right)+bu \\ to solve a ,and b: \\ when u=0: 1=a \Rightarrow a=1 \\ when u=-1: 1=-b \Rightarrow b=-1 \\ \int \frac{1}{u^2+u}du=\int \frac{1}{u}du -\int \frac{1}{u+1}du \\ =\ln \left|u\right|-\ln |u+1|+c \\ =\ln \left|\frac{u}{u+1}\right|+c \\ \int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx=ln\left|\frac{sin x}{sin x+1}\right|+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} {\int }_2^4\frac{1}{x{\left(lnx\right)}^2-x}dx \\ Solution: \\ let u=\ln x \\ dx=\frac{du}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}\Rightarrow dx=xdu \\ \int \frac{1}{x({\left(\ln x\right)}^2-1)}dx=\int \frac{1}{x(u^2-1)}xdu \\ \int \frac{1}{u^2-1}du=\int \frac{a}{u-1}du +\int \frac{b}{u+1}du \\ 1=a(u+1)+b(u-1) \\ when u=1: 1=2a \Rightarrow a=\frac{1}{2} \\ when u=-1: 1=-2b \Rightarrow b=-\frac{1}{2} \\ \int \frac{1}{u^2-1}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u-1}du -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}du \\ =\frac{1}{2}\ln |u-1|-\frac{1}{2}\ln |u+1| \\ {\int }_2^4\frac{1}{x{\left(lnx\right)}^2-x}dx=\frac{1}{2}ln\left|lnx-1\right|{|}_2^4 -\frac{1}{2}ln\left|lnx+1\right|{|}_2^4 \\ =\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 4\right) -1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 2\right) -1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(4\right) +1\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(2\right)+1\right| \\ =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 4-1}{\ln 4+1}\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 2+1}{\ln 2-1}\right| \end{gathered}$$