رياضيات فصل ثاني

الأقتران الأسي: وهو اقتران يكتب في صورة:  $f\left(x\right)=b^x$ حيثُ $b>0 و b\ne 1$ ومن الأمثلة عليه $f\left(x\right)=7^x , f\left(x\right)=(0.32{)}^x$

- يمكن استعمال تعريف الأسس وخصائصها لايجاد قيمة الاقتران الأسي عند أي قيمة معطاة.

تذكر أن: أقترانات القوة مثل: $f\left(x\right)=x^4$ ، ليست أقترانات أسية ، لأن المتغير موجود في الأساس ، لا في الأس.

مثال (1) : جد قيمة كل اقتران مما يأتي عند قيمة x المعطاة:

التمثيل البياني للاقتران الأسي ، خصائصه :

يمكن تمثيل الأقتران الأسي الذي في صورة : $f\left(x\right)=b^x$ حيثُ $b>1$  

بانشاء جدول قيم ، ثم تعيين الأزواج المرتبة الناتجة من الجدول في المستوى الاحداثي ، ثم توصيل النقاط بعضها ببعض عن طريق منحنى متصل .

ويمكن ايضاً استعمال التمثيل البياني لاستكشاف خصائص الاقتران الأسي .

تذكر أن :

المجال هو مجموعة القيم التي توجد على المحور x ، ويكون الأقتران معرفاً عندها .

المدى هو مجموعة القيم التي توجد على المحور y ، وتكون صوراً لقيم x الواقعة ضمن مجال الاقتران.

خط التقارب هو خط مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران .

وتذكر أن :

يطلق على الاقتران الذي يرتبط كل عنصر في مداه بعنصر واحد فقط في مجاله اسم اقتران واحد لواحد ، ويمكن التحقق من ذلك عن طريق اختبار الخط الأفقي ، اذ لا يوجد خط أفقي يمكنه قطع منحنى الاقتران في أكثر من نقطة واحدة .

مثال (2) : اذا كان: $f\left(x\right)=2^x$ فأجب عن الأسئلة الأتية:

1. مثل الاقتران بيانياً، ثم جد مجاله ومداه وخطوط التقارب.

2. جد المقطعين من المحورين الاحداثيين.

3. هل الاقتران$f\left(x\right)$ متزايد ام متناقص؟

4. هل الاقتران $f\left(x\right)$  واحد لواحد؟

الحل: 

ننشىء جدول قيم

مجال هذه الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية

المدى هو الفترة $(0,\infty )$  وله خط تقارب أفقي هو المحور $x$

وبما ان الاقتران موجب دائماً ، فأنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور $x$  لأن $y>0$ دائماً. المقطع $y$ للاقتران هو 1 عندما $x=0$.

الأقتران متزايد (كلما زادت قيم x زادت قيم y) ، ونعم الأقتران واحد لواحد.

خصائص الأقتران الأسي :

تمثيل البياني للاقتران الأسي في صورة :$f\left(x\right)=b^x$، حيث : b عدد حقيقي ، و $b>0 ، b\ne 1$ له الخصائص الآتية :

مجال الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية  $R$ .

مدى الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة ، أي الفترة $(0,\infty )$ .

الاقتران متزايد اذا كان $b>1$

الاقتران متناقص اذا كان $0<b<1$

للاقتران خط تقارب أفقي هو المحور $x$ .

الاقتران الأسي يقطع المحور y في نقطة واحدة هي $(0,1)$  ، ولا يقطع المحور x.

---

خصائص الأقتران الأسي في صورة $f\left(x\right)=a{b}^{(x-h)}+k$

اذا كان الاقتران $f\left(x\right)=a{b}^{(x-h)}+k$ ، حيثُ $a,b,k,h$ أعداد حقيقية $b\ne 1,b>0,a>0$

فإنّ

مجال الاقتران $f\left(x\right)$ هو مجموعة الاعداد الحقيقية $R$ .

مدى الاقتران $f\left(x\right)$ هو الفترة $(k,\infty )$ .

الاقتران متزايد اذا كان $b>1$

الاقتران متناقص اذا كان $0<b<1$

للاقتران $f\left(x\right)$ خط تقارب أفقياً هو المستقيم $y=k$

مثال (4): جد خط التقارب الأفقي لكل اقتران مما يأتي ، ثم حدد مجاله ومداه ، مبيناً اذا كان متناقصاً ام متزايداً : $f\left(x\right)=5(3{)}^{(x+1)}-2$

الإجابة

$a=5,b=3,h=-1,k=-2$

خط التقارب الأفقي للاقتران هو $y=-2$

مجال الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية

مدى الاقتران هو الفترة $(-2,\infty )$

بما أن $b=3>1$ فإن الاقتران متزايد

---

يستفاد من الأقترانات الأسية في كثير من التطبيقات الحياتية ، مثل حساب عدد الكائنات الحية التي تتكاثر سريعاً

مثال (5) : يمثل الاقتران $f\left(x\right)=500(2{)}^x$ عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية ، حيث x الزمن بالساعات :

الإجابة

a) $f\left(5\right)=500(2{)}^5=500\left(32\right)=16000$

b) $4000=500(2{)}^x$

$8=(2{)}^x \to (2{)}^3=(2{)}^x \to x=3$

 

 

   

تعلم وتذكر أن: اذا كانت قيمة a سالبة ، كما في المثال السابق ، فأن مدى الأقتران الأسي $f\left(x\right)=a{b}^{{}^{(}x-h)}+k$ هو الفترة $(-\infty ,k)$