الرياضيات فصل أول

 

الاشتقاق الضمني والمُعدَلات المرتبطة

أتحقق من فهمي (صفحة 119)

a) إذا كان: $x^2 + y^2=2$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^2 + y^2=2$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(2\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}{y}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0$
إضافة $-2x$ لطرفي المعادلة	$2y\frac{dy}{dx}=-2x$
بقسمة طرفي المعادلة على $2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$

 

b) إذا كان: $5y^2 - 2e^x=4y$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$5y^2 - 2e^x=4y$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(5y^2 - 2e^x\right)=\frac{d}{dx}\left(4y\right)$
باستعمال قاعدة مشتقة الفرق	$\frac{d}{dx}5y^2-\frac{d}{dx} 2e^x=\frac{d}{dx}4y$
باستعمال قواعد مشتقة القوة ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة المضاعفات	$10y\frac{dy}{dx} - 2e^x=4\frac{dy}{dx}$
بإعادة الترتيب	$10y\frac{dy}{dx} - 4\frac{dy}{dx}=2e^x$
إخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(10y - 4\right)=2e^x$
بقسمة طرفي المعادلة على $10y - 4$	$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^x}{10y - 4}$

 

c) إذا كان: $x y + y^2=4 \cos x$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$x y + y^2=4 \cos x$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة $x$	$\frac{d}{dx}\left(xy + y^2\right)=\frac{d}{dx}4 \cos x$
اشتق باستعمال مشتقة المجموع ومشتقة المضاعفات ومشتقة جيب تمام	$\frac{d}{dx}xy + \frac{d}{dx}{y}^2=-4 \sin x$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة القوة	$\left(x\frac{d}{dx}y + y\frac{d}{dx}x\right) + 2y\frac{dy}{dx}=-4 \sin x$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة المضاعفات	$x\frac{dy}{dx} + y\left(1\right) + 2y\frac{dy}{dx}=-4 \cos x$
بإعادة الترتيب	$x\frac{dy}{dx} +2y\frac{dy}{dx}=-y-4 \cos x$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(x + 2y\right)=-y - 4 \cos x$
بقسمة طرفي المعادلة على $x + 2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-y - 4 \cos x}{x + 2y}$

 

أتحقق من فهمي ( صفحة 120)

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^3 + 2y^3=6$ عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

العلاقة المعطى	$x^3 + 2y^3=6$
بإشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 2y^3\right)=\frac{d}{dx}\left(6\right)$
باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^3 + \frac{d}{dx}2y^3=0$
باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$3x^2 + 6y^2\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$6y^2\frac{dy}{dx}=-3x^2$
بقسمة طرفي العلاقة على $6y^2$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2}{6y^2}$
بتعويض $x=2 , y=-1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-3{\left(2\right)}^2}{6{\left(-1\right)}^2}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{-12}{6}=-2$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هو: $m=\frac{dy}{dx}=-2$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

معادلة المماس	$y - y_1=m\left(x - x_1\right)$
بتعويض $x_1=2 ,y_1=-1 ,m=-2$	$y -\left(-1\right)=-2\left(x - 2\right)$
بالتبسيط: ضرب القوس ب$-2$     وإضافة $-1$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y +1=-2x + 4 \\ y=-2x + 3 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هي: $y=-2x + 3$.

 

أتحقق من فهمي (صفحة 121)

بالونات: نفخت هديل بالونًا على شكل كرة، فازداد نصف قُطره بمُعدل $3 cm/s$. أجد مُعدل تغير حجم البالون عندما يكون نصف قُطره $4 cm$، علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم البالون $\left(V\right)$ ونصف قُطره $\left(r\right)$ هي: $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$.

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب.

المعادلة: $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$

مُعدل التغير المعطى: $\frac{dr}{dt}=3$

المطلوب: $\frac{dV}{dt} \overline{)r=4}$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$، ثم أُعوض.

المعادلة المعطى	$V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$
بإشتقاق طرإلى في المعادلة بالنسبة  $t$	$\frac{dV}{dt}=4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}$
بتعويض $r=4 , \frac{dr}{dt}=3$	$\frac{dV}{dt}=4\mathrm{\pi }{\left(4\right)}^2\left(3\right)$
بالتبسيط	$\frac{dV}{dt}=192\mathrm{\pi }$

إذًا، يزداد حجم البالون بمعدل $192\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3/\mathrm{s}$عندما يكون طول نصف قطره $4 cm$.

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل

1) إذا كان: $x^2 - 2y^2=4$. أجد $\frac{dy}{dx}$. 

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^2 - 2y^2=4$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 -2y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(4\right)$
باستعمال قاعدتا مشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 - \frac{d}{dx}2y^2=0$
باستعمال مشتقة قاعدة القوة	$2x -4y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$4y\frac{dy}{dx}=2x$
بقسمة طرفي المعادلة على $4y$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{4y} \\ =\frac{x}{2y} \end{gathered}$$

 

2) إذا كان: $x^2 + y^3=2$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$x^2 + y^3=2$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 + y^3\right)=\frac{d}{dx}\left(2\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}{y}^3=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$2x + 3y^2\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$3y^2\frac{dy}{dx}=-2x$
بقسمة طرفي المعادلة على$3y^2$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{3y^2}$

 

3) إذا كان: $x^2 + 2y - y^2=5$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^2 + 2y - y^2=5$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 2y - y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(5\right)$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المجموع ومشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}2y - \frac{d}{dx}{y}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة المضاعفات	$2x + 2\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$2\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx}=-2x$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(2 - 2y\right)=-2x$
بقسمة طرفي المعادلة على $2 - 2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2 - 2y}$

 

4) إذا كان: $2xy - 3y=y^2 - 7x$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$2xy - 3y=y^2 - 7x$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx} \left(2xy - 3y\right)=\frac{d}{dx}\left(y^2 - 7x\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الفرق	$\frac{d}{dx}\left(2xy\right) - \frac{d}{dx}3y=\frac{d}{dx}{y}^2 - \frac{d}{dx}7x$
اشتق باستعمال مشتقة الضرب ومشتقة المضاعفات ومشتقة القوة	$$\begin{gathered} \left(2x\frac{d}{dx}y + y\frac{d}{dx}2x\right) -3\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx} - 7 \\ 2x\frac{dy}{dx} + y\left(2 \right) - 3\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx} - 7 \end{gathered}$$
بإعادة الترتيب	$2x\frac{dy}{dx}-3\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx}=-7 -2y$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(2x - 3 - 2y\right)=-7 - 2y$
بقسمة طرفي المعادلة على$\left(2x - 3 - 2y\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-7 - 2y}{2x - 3 - 2y}$

 

5) إذا كان: $y^5=x^3$.   أجد $\frac{dy}{dx}$ 

الحل:

المعادلة المعطاة	$y^5=x^3$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx} y^5 = \frac{d}{dx} x^3$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$5y^4 \frac{dy}{dx} = 3x^2$
بقسمة طرفي المعادلة على $5y^4$	$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{5y^4}$

 

6) إذا كان:$x^2 y^3 + y=11$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^2 y^3 + y=11$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^{2 }{y}^3 + y\right)=\frac{d}{dx}\left(11\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 y^3 + \frac{d}{dx}y=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة المضاعفات	$\left(x^2\frac{d}{dx}{y}^3 + y^3\frac{d}{dx}{x}^2\right) +\frac{dy}{dx}=0$
اشتق باستعمال مشتقة القوة	$x^2 \left(3y^2\frac{dy}{dx}\right) + y^3 \left(2x\right) + \frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$$\begin{gathered} 3x^2{y}^2\frac{dy}{dx} + 2x{y}^3 +\frac{dy}{dx}=0 \\ 3x^2{y}^2\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx}=-2x{y}^3 \end{gathered}$$
إخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(3x^2{y}^2 + 1\right)=-2x{y}^3$
بقسمة طرفي المعادلة على$\left(3x^2{y}^2 + 1\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x{y}^3}{3x^2{y}^2 + 1}$

 

7) إذا كان: $\sqrt{x} +\sin y=16$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$\sqrt{x} + \sin y=16$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x} + \sin y\right)=\frac{d}{dx}\left(16\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\sqrt{x} + \frac{d}{dx}\sin y=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الجذر التربيعي ومشتقة الجيب	$\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \cos y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$\cos y\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
بقسمة طرفي المعادلة على $\cos y$	$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos y }$

 

8) إذا كان: $e^{x}y=x{e}^y$.   أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$e^{x}y=x{e}^y$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}{e}^{x}y=\frac{d}{dx}x{e}^y$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$e^x\frac{d}{dx}y + y\frac{d}{dx}{e}^x=x\frac{d}{dx}{e}^y + e^y\frac{d}{dx}x$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة المضاعفات	$e^x\frac{dy}{dx} + y{e}^x=x{e}^y\frac{dy}{dx} + e^y\left(1\right)$
بإعادة الترتيب	$e^x\frac{dy}{dx} - x{e}^y\frac{dy}{dx}=e^y - y{e}^x$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(e^x - x{e}^y\right)=e^y - y{e}^x$
بقسمة طرفي المعادلة على $\left(e^x - x{e}^y\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{e^y - y{e}^x}{e^x - x{e}^y}$

 

9) إذا كان: $\cos x + \ln y=3$. أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$\cos x + \ln y=3$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(\cos x + \ln y\right)=\frac{d}{dx}\left(3\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\cos x + \frac{d}{dx}\ln y=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة اقتران جيب التمام ومشتقة اقتران اللوغاريتم الطبيعي	$-\sin x + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\sin x$
بضرب طرفي المعادلة ب $y$	$\frac{dy}{dx}=y \sin x$

 

10) إذا كان:  $16y^2 - x^2=16$.  أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل: 

المعادلة المعطاة	$16y^2 - x^2=16$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(16y^2 - x^2\right)=\frac{d}{dx}\left(16\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}16y^2 - \frac{d}{dx}{x}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$32y\frac{dy}{dx} - 2x=0$
بإعادة الترتيب	$32y\frac{dy}{dx}=2x$
بقسمة طرفي المعادلة على $32y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{32y}$

 

11) إذا كان:  $x^2 + y^2 - 4x + 6y=9$.   أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^2 + y^2 - 4x + 6y=9$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2 - 4x + 6y\right)=\frac{d}{dx}\left(9\right)$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المجموع ومشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}{y}^2 - \frac{d}{dx}4x + \frac{d}{dx}6y=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة المضاعفات	$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 4 + 6\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$2y\frac{dy}{dx} + 6\frac{dy}{dx}=4 - 2x$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(2y + 6\right)=4 - 2x$
بقسمة طرفي المعادلة على $\left(2y + 6\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{4 - 2x}{2y + 6}$

 

12) إذا كانت: $3x^3 - y^2=8$. أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,4\right)$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$3x^3 - y^2=8$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(3x^3 - y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(8\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}3x^3 - \frac{d}{dx}{y}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$9x^2 - 2y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$2y\frac{dy}{dx}=9x^2$
بقسمة طرفي المعادلة على $2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{9x^2}{2y}$
بتعويض $x=2 , y=4$	$\frac{dy}{dx}=\frac{9{\left(2\right)}^2}{2\left(4\right)}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{9}{2}$

 

13) إذا كان: $2x^2 - 3y^3=5$. أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(-2,1\right)$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$2x^2 - 3y^3=5$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(2x^2 - 3y^3\right)=\frac{d}{dx}\left(5\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الفرق ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}2x^2 - \frac{d}{dx}3y^3=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$4x - 9y^2\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$9y^2\frac{dy}{dx}=4x$
بقسمة طرفي المعادلة على $9y^2$	$\frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y^2}$
بتعويض  $x=-2 , y=1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{4\left(-2\right)}{9{\left(1\right)}^2}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{-8}{9}$

 

14) إذا كان: $y^2=\ln x$. أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(e,1\right)$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$y^2=\ln x$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}{y}^2=\frac{d}{dx}\ln x$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة الاقتران اللوغاريتمي	$2y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$
بقسمة طرفي المعادلة على $2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2xy}$
بتعويض $x=e , y=1$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2e\left(1\right)} \\ =\frac{1}{2e} \end{gathered}$$

 

15) إذا كان: ${\left(y - 3\right)}^2=4x - 20$. أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(6,1\right)$.

الحل:

المعادلة المعطاة	${\left(y - 3\right)}^2=4x - 20$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}{\left(y - 3\right)}^2=\frac{d}{dx}\left(4x - 20\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة سلسلة القوة ومشتقة الفرق	$2\left(y - 3\right)\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}4x - \frac{d}{dx}\left(20\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$2\left(y - 3\right)\frac{dy}{dx}=4$
بقسمة طرفي المعادلة على$2\left(y - 3\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2\left(y - 3\right)}$
بتعويض$x=6 , y=1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2\left(1 - 3\right)}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{4}{2\left(-2\right)}=\frac{4}{-4} \\ =-1 \end{gathered}$$

 

إذا كان: $2x^2 + y^2=34$، فأجد كُلاً مما يأتي:

16) ميل المماس عند النثطة $\left(3,4\right)$.                      

17) معادلة المماس عند النقطة $\left(3,4\right)$.

16) الحل:

أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,4\right)$.

المعادلة المعطاة	$2x^2 + y^2=34$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(2x^2 + y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(34\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}2x^2 + \frac{d}{dx}{y}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$4x +2y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$2y\frac{dy}{dx}=-4x$
بقسمة طرفي المعادلة على $2y$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-4x}{2y}$
بتعويض$x=3 , y=4$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-4\left(3\right)}{2\left(4\right)}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,4\right)$ هو: $m=\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2}$.

 

17) الحل:

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,4\right)$.

معادلة المماس	$y - y_1=m\left(x - x_1\right)$
بتعويض $x_1=3 , y_1=4 , m=\frac{-3}{2}$	$y-4=\frac{-3}{2}\left(x - 3\right)$
بالتبسيط من خلال ضرب القوس ب$\frac{-3}{2}$ وإضافة $4$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 4=\frac{-3}{2}x + \frac{9}{2} \\ y=\frac{-3}{2}x + \frac{17}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,4\right)$ هي: $y=\frac{-3}{2}x + \frac{17}{2}$.

 

إذا كان:  $y^2 + xy + x^2=7$، فأجد كُلاً مما يأتي:

18) ميل المماس عند النقطة $\left(3,-2\right)$.

19) معادلة المماس عند النقطة $\left(3,-2\right)$,.

20) معادلة العمودي على المماس عند النقطة$\left(3,-2\right)$. 

18) الحل:

أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,-2\right)$.

المعادلة المعطاة	$y^2 + xy + x^2=7$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(y^2 + xy + x^2\right)=\frac{d}{dx}\left(7\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{y}^2 + \frac{d}{dx}xy + \frac{d}{dx}{x}^2=0$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة الضرب	$2y\frac{dy}{dx} + \left(x\frac{d}{dx}y + y\frac{d}{dx}x\right) +2x=0$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة المضاعفات	$2y\frac{dy}{dx} + x\frac{dy}{dx} + y\left(1\right) + 2x=0$
بإعادة الترتيب	$2y\frac{dy}{dx} +x\frac{dy}{dx}=-2x-y$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$ عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(2y + x\right)=-2x-y$
بقسمة طرفي المعادلة على $\left(2y + x\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x - y}{2y + x}$
بتعويض $x=3 , y=-2$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(3\right) - \left(-2\right)}{2\left(-2\right) + 3}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-6 + 2}{-4 + 3}=\frac{-4}{-1} \\ =4 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,-2\right)$ هو: $m=\frac{dy}{dx}=4$.

19) الحل:

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة$\left(3,-2\right)$. 

معادلة المماس	$y - y_1=m\left(x - x_1\right)$
بتعويض $x_1=3 , y_1=-2 , m=4$	$y - \left(-2\right)=4\left(x - 3\right)$
بالتبسيط من خلال ضرب القوس ب $4$ وإضافة $-2$لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y + 2=4x -12 \\ y=4x - 14 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,-2\right)$ هي: $y=4x - 14$.

20) الحل:

أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة$\left(3,-2\right)$. 

معادلة العمودي على المماس	$y - y_1=\frac{-1}{m}\left(x - x_1\right)$
بتعويض  $x_1=3 , y_1=-2 , m=4$	$y - \left(-2\right)=\frac{-1}{4}\left(x - 3\right)$
بالتبسيط من خلال ضرب القوس ب$\frac{-1}{4}$ وإضافة $-2$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y + 2=\frac{-1}{4}x + \frac{3}{4} \\ y=\frac{-1}{4}x - \frac{5}{4} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,-2\right)$ هي: $y=\frac{-1}{4}x - \frac{5}{4}$.

 

21) هندسة: تتناقص أطوال أضلاع مُكعب بمُعدل $6 cm/s$. أجد مُعدل تغير حجم المُكعب عندما يكون طول ضلعه $30 cm$، علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم المُكعب $\left(V\right)$ وطول ضلعه $\left(x\right)$ هي: $V=x^3$.

 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب.

    المعادلة: $V=x^3$ 

معدل التغير المعطى: $\frac{dx}{dt}=-6$

المطلوب:    $\frac{dV}{dt}{|}_{x=30}$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$، ثم أُعوض.

المعادلة المعطاة	$V=x^3$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$	$\frac{dV}{dt}=3x^2\frac{dx}{dt}$
بتعويض $x=30 , \frac{dx}{dt}=-6$	$\frac{dV}{dx}=3{\left(30\right)}^2\left(-6\right)$
بالتبسيط	$\frac{dV}{dt}=-16200$

إذًن يتناقص حجم المُكعب بمقدار   $-16200 c{m}^3/s$ عندما يكون طول ضلعه $30 cm$ .

 

22) فقاقيع: يزداد نصف قُطر فُقّاعة صابون كروية الشكل بمُعدل $0.5 cm/s$. أجد سرعة زيادة مساحة سطح الفُقّاعة عندما يكون طول نصف قُطرها $3 cm$، علمًا بأن العلاقة التي تربط بين مساحة سطح الفُقّاعة $\left(A\right)$ ونصف قطرها $\left(r\right)$ هي: $A=4{\mathrm{\pi r}}^2$.

الحل: 

سرعة زيادة مساحة سطح الفُقّاعة هي: معدل التغير في مساحة سطح  الفُقّاعة.

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب.

المعادلة: $A=4{\mathrm{\pi r}}^2$

مُعدل التغير المعطى: $\frac{dr}{dt}=0.5$

المطلوب: $\frac{dA}{dt}{|}_{r=3}$ 

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$، ثم أُعوض.

المعادلة المعطاة	$A=4{\mathrm{\pi r}}^2$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$	$\frac{dA}{dt}=8\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}$
أٌعوض $\frac{dr}{dt}=0.5 , r=3$	$\frac{dA}{dt}=8\mathrm{\pi }\left(3\right)\left(0.5\right)$
بالتبسيط	$\frac{dA}{dt}=12\mathrm{\pi }$

إذًا، تزداد مساحة سطح الفُقّاعة بمقدار $12 cm/s$ عندما يكون طول نصف قُطرها $3 cm$ 

 

23) أورام: اتخذ ورم شكلاً كرويًا تقريبًا، وقد ازداد نصف قُطره بمُعدل $0.13 cm$ لكل شهر. أجد مُعدل تغير حجم الورم عندما يكون طول نصف قُطره $0.45 cm$، علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم الورم $\left(V\right)$ ونصف قُطره $\left(r\right)$هي:  $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$.

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب.

المعادلة:  $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$

المعطيات: $\frac{dr}{dt}=0.13$

المطلوب:  $\frac{dV}{dt}{|}_{r=0.45}$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$، ثم أُعوض.

المعادلة المعطاة	$V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$	$\frac{dV}{dt}=4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}$
بتعويض $\frac{dr}{dt}=0.13 , r=0.45$	$\frac{dV}{dt}=4\mathrm{\pi }{\left(0.45\right)}^2\left(0.13\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dV}{dt}=0.1053 \\ =0.12 \end{gathered}$$

إذًا، يزداد حجم الورم بمقدار $0.12 c{m}^3/s$  عندما يكون طول نصف قُطره $0.45 cm$ 

 

مهارات التفكير العليا ( صفحة 122)

24) تبرير: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^2 + 6y^2=10$ عندما $x=2$، مُبررًا إجابتي.

الحل: 

الخطوة 1: أجد إحداثي$y$  عندما $x=2$.

المعادلة المعطاة	$x^2 + 6y^2=10$
بتعويض $x=2$	${\left(2\right)}^2 + 6y^2=10$
بالتبسيط: إضافة $-4$ لطرفي المعادلة بقسمة طرفي المعادلة على $6$ بحل المعادلة	$$\begin{gathered} 4 + 6y^2=10 \\ 6y^2=10-4 \\ 6y^2=6 \\ {y}^2=1 \\ y=\pm 1 \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=2$ ، فإن $y=1 , y=-1$، ونقطتي التماس هما: $\left(2,1\right) , \left(2,-1\right)$.

الخطوة 2: أجد ميل المماس.

المعادلة المعطاة	$x^2 + 6y^2=10$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 6y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(10\right)$
أشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}6y^2=0$
أشتق باستعمال قاعدة مشتقة القوة	$2x +12y\frac{dy}{dx}=0$
بإعادة الترتيب	$12y\frac{dy}{dx}=-2x$
بقسمة طرفي المعادلة على$12y$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{12y} \\ =\frac{-x}{6y} \end{gathered}$$
بتعويض $x=2 , y=1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2}{6\left(1\right)}=\frac{-1}{3}$
بتعويض $x=2 , y=-1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2}{6\left(-1\right)}=\frac{1}{3}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,1\right)$ هو: $m=\frac{-1}{3}$.

ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هو: $m=\frac{1}{3}$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.  

• أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(2,1\right)$.

معادلة المماس	$y - y_1=m\left(x - x_1\right)$
بتعويض $x_1=2 , y_1=1 , m=\frac{-1}{3}$	$y - 1=\frac{-1}{3}\left(x - 2\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - 1=\frac{-1}{3}x + \frac{2}{3} \\ y=\frac{-1}{3}x + \frac{5}{3} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,1\right)$هي: $y=\frac{-1}{3}x + \frac{5}{3}$.

• أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$. 

معادلة المماس	$y - y_1=m\left(x - x_1\right)$
بتعويض $x_1=2 , y_1=-1 , m=\frac{1}{3}$	$y - \left(-1\right)=\frac{1}{3}\left(x - 2\right)$
بالتبسيط: ضرب $\frac{1}{3}$ في القوس  إضافة $-1$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y + 1=\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\ y=\frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هي:  $y=\frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.

 

25) تحدٍّ: إذا كان: $\ln \left(xy\right)=x^2 + y^2$، فأٌثبت أن $\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}y - y}{x-2x{y}^2}$.

البرهان:

المعادلة المعطاة	$\ln \left(xy\right)=x^2 + y^2$
باستعمال قوانين اللوغاريتمات $\ln \left(xy\right)=\ln x + \ln y$	$\ln x + \ln y=x^2 + y^2$
بإشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{d}{dx}\left(\ln x + \ln y\right)=\frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right)$
أشتق باستعمال قاعدة مشتقة المجموع	$\frac{d}{dx}\ln x + \frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}{x}^2 + \frac{d}{dx}{y}^2$
أشتق باستعمال مشتقة القوة	$\frac{1}{x } + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2x + 2y\frac{dy}{dx}$
بإعادة الترتيب	$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx}=2x-\frac{1}{x}$
بإخراج $\frac{dy}{dx}$عامل مشترك	$\frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y} - 2y\right)=2x - \frac{1}{x}$
بقسمة طرفي المعادلة على $\left(\frac{1}{y} - 2y\right)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{2x -\frac{1}{x}}{\frac{1}{y} - 2y}$
بالتبسيط من خلال توحيد المقامات	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2x^2}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{1}{y} - \frac{2y^2}{y}}=\frac{\frac{2x^2 - 1}{x}}{\frac{1 - 2y^2}{y}} \\ =\frac{y\left(2x^2 - 1\right)}{x\left(1 - 2y^2\right)} \\ =\frac{2x^{2}y -y}{x - 2x{y}^2} \end{gathered}$$

إذًا،  إذا كان: $\ln \left(xy\right)=x^2 + y^2$، فإن $\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{2}y - y}{x - 2x{y}^2}$

 

26)تبرير: إذا كان المُتغيِّران $u$ و $w$ مرتبطين بالعلاقة: $u=150 \sqrt[3]{w^2}$، وكانت قيمة المُتغيِّر $w$ تزداد بمرور الزمن $t$، وفقًا للعلاقة: $w=0.05t + 8$، فأجد مُعدَّل تغيُّر $u$ بالنسبة إلى الزمن عندما $w=64$، مبررًا إجابتي.

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

 المعطيات: العلاقة: $u=150 \sqrt[3]{w^2}$  ، العلاقة: $w=0.05t + 8$

المطلوب: $\frac{du}{dt}\overline{)w=64}$

الخطوة 2: أجد $\frac{dw}{dt}$ من العلاقة $w=0.05t + 8$.

العلاقة المعطاة	$w=0.05t + 8$
بإشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن $t$	$\frac{d}{dt}w=\frac{d}{dt}\left(0.05t + 8\right)$
أشتق باستعمال قواعد مشتقة المجموع	$\frac{dw}{dt}=\frac{d}{dt}0.05t + \frac{d}{dt}\left(8\right)$
أشتق باستعمال مشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$\frac{dw}{dt}=0.05$

إذًا،  $\frac{dw}{dt}=0.05$

 الخطوة 3: أجد مشتقة العلاقة: $u=150 \sqrt[3]{w^2}$ بالنسبة للزمن $t$.   

العلاقة المعطاة	$u=150 \sqrt[3]{w^2}$
بإعادة كتابة العلاقة بالصورة الأُسية	$u=150 w^{\frac{2}{3}}$
بإشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن $t$	$\frac{du}{dt}=150 \left(\frac{2}{3}\right) w^{\frac{-1}{3}}\frac{dw}{dt}$
بالتبسيط  وإعادة كتابة العلاقة بالصورة الجذرية	$$\begin{gathered} \frac{du}{dt}=\frac{100}{w^{\frac{1}{3}}}\frac{dw}{dt} \\ \frac{du}{dt}=\frac{100}{\sqrt[3]{w}}\frac{dw}{dt} \end{gathered}$$
بتعويض $w=64 , \frac{dw}{dt}=0.05$	$\frac{du}{dt}=\frac{100}{\sqrt[3]{64}}\left(0.05\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{du}{dt}=\frac{100}{4}\left(0.05\right) \\ =25\left(0.05\right)=1.25 \end{gathered}$$

   إذًا، عندما $w=64 , \frac{dw}{dt}=0.05$، فإن $\frac{du}{dt}=1.25$.   

كتاب التمارين (صفحة 24) 

1) إذا كان: $x^2+5y^2=14$، أجد $\frac{dy}{dx}$.   

الحل:      

المعادلة المعطاة	$x^2+5y^2=14$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$2x+10y\frac{dy}{dx}=0$
بإضافة $-2x$ لطرفي المعادلة	$2y\frac{dy}{dx}=-2x$
بقسمة طرفي المعادلة على	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y} \\ =\frac{-x}{y} \end{gathered}$$

   إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$     

2) إذا كان: $x^2+2x y=3y^2$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$x^2+2x y=3y^2$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$2x+\left(2x\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(y\right)\left(2\right)=6y\frac{dy}{dx}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2x+2x\frac{dy}{dx}+2y=6y\frac{dy}{dx} \\ x+x\frac{dy}{dx}+y=3y\frac{dy}{dx} \\ x\frac{dy}{dx}-3y\frac{dy}{dx}=-x-y \\ \frac{dy}{dx}\left(x-3y\right)=-x-y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-x-y}{x-3y} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{-x-y}{x-3y}$

3) إذا كان: $y \ln x=1+x$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$y \ln x=1+x$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\left(y\right)\left(\frac{1}{x}\right)+\left(\ln x\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)=1$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{y}{x}+\ln x \frac{dy}{dx}=1 \\ \ln x \frac{dy}{dx}=1-\frac{y}{x} \Rightarrow \ln x \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x \ln x} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x \ln x}$.

4) إذا كان: $y+y^3=\sin x-x^2$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الجل:

المعادلة المعطاة	$y+y^3=\sin x-x^2$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\frac{dy}{dx}+3y^2\frac{dy}{dx}=\cos x-2x$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}\left(1+3y^2\right)=\cos x-2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\cos x-2x}{1+3y^2} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x-2x}{1+3y^2}$.

5) إذا كان: $x e^y-3x=15$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل

المعادلة المعطاة	$x e^y-3x=15$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\left(x\right)\left(e^y\frac{dy}{dx}\right)+\left(e^y\right)\left(1\right)-3=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} x e^y\frac{dy}{dx}+e^y-3=0 \\ x e^y\frac{dy}{dx}=3-e^y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{3-e^y}{x e^y} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^y}{x e^y}$,

6) إذا كان: $x^3+x y^2=5x$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$x^3+x y^2=5x$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$3x^2+\left(x\right)\left(2y\frac{dy}{dx}\right)+\left(y^2\right)\left(1\right)=5$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 3x^2+2x y\frac{dy}{dx}+y^2=5 \\ 2x y\frac{dy}{dx}=5-3x^2-y^{2 } \\ \frac{dy}{dx}=\frac{5-3x^2-y^2}{2x y} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{5-3x^2-y^2}{2x y}$.

7) إذا كانت: $x^{2 }y-2x^3-y^3+1=0$، أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,-3\right)$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$x^{2}y-2x^3-y^3+1=0$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$\left(x^2\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(y\right)\left(2x\right)-6x^2-3y^2\frac{dy}{dx}=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} x^2\frac{dy}{dx}+2xy-6x^2-3y^2\frac{dy}{dx}=0 \\ {x}^2\frac{dy}{dx}-3y^2\frac{dy}{dx}=6x^2-2xy \\ \frac{dy}{dx}\left(x^2-3y^2\right)=6x^2-2xy \\ \frac{dy}{dx}=\frac{6x^2-2xy}{x^2-3y^2} \end{gathered}$$
بتعويض $x=2 , y=-3$	$\frac{dy}{dx}=\frac{6{\left(2\right)}^2-2\left(2\right)\left(-3\right)}{{\left(2\right)}^2-3{\left(-3\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{24+12}{4-3\left(9\right)} \\ =\frac{36}{-23} =-\frac{36}{23} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}{\overline{)}}_{\left(2,-3\right)}=-\frac{36}{23}$.

8) إذا كانت: $y^3-x^2=4$، أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,2\right)$.

الحل:

المعادلة المعطاة	$y^3-x^2=4$
اشتق طرفي المعادلة  بالنسبة إلى $x$	$3y^2\frac{dy}{dx}-2x=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 3y^2\frac{dy}{dx}=2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=2 , y=2$	$\frac{dy}{dx}=\frac{2\left(2\right)}{3{\left(2\right)}^2}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

إذًا، $\frac{dy}{dx}\overline{){}_{\left(2,2\right)}=\frac{1}{3}}$.

إذا كان: $y^2-x^2=16$، فأجد كُلاً مما يأتي:

9) ميل المماس عند النقطة $\left(3,5\right)$.

10) معادلة المماس عند النقطة $\left(3,5\right)$. 

الحل:

9) أجد ميل المماس عند النقطة $\left(3,5\right)$

المعادلة المعطاة	$y^2-x^2=16$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$2y\frac{dy}{dx}-2x=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2y\frac{dy}{dx}=2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2y} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} \end{gathered}$$
بتعويض $x=3 , y=5$	$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(3,5\right)$ هو: $m=\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}$.

10) أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(3,5\right)$.

الحل:

معادلة المماس	$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$
بتعويض  $x_1=3 , y_1=5 , m=\frac{3}{5}$	$y-5=\frac{3}{5}\left(x-3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-5=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5} \\ y=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}+5 \\ y=\frac{3}{5}x+\frac{16}{5} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عتد النقطة $\left(3,5\right)$ هي: $y=\frac{3}{5}x+\frac{16}{5}$.

إذا كان: $x^2 y=8-4y$، فأجد كُلاً مما يأتي:

11) ميل المماس عند النقطة $\left(2,1\right)$.

12) معادلة المماس عند النقطة $\left(2,1\right)$.

الحل: 

11) أجد ميل المماس عند النقطة $\left(2,1\right)$

المعادلة المعطاة	$x^2 y=8-4y$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى$x$	$\left(x^2\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(y\right)\left(2x\right)=-4\frac{dy}{dx}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} x^2\frac{dy}{dx}+2xy=-4\frac{dy}{dx} \\ {x}^2\frac{dy}{dx}+4\frac{dy}{dx}=-2xy \\ \frac{dy}{dx}\left(x^2+4\right)=-2xy \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{x^2+4} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=2 , y=1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(2\right)\left(1\right)}{{\left(2\right)}^2+4}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{-4}{8}=\frac{-1}{2}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,1\right)$  هو: $m=\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{2}$.

12) أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(2,1\right)$.

الحل:

معادلة المماس	$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$
بتعويض $x_1=2 , y_1=1 , m=\frac{-1}{2}$	$y-1=\frac{-1}{2}\left(x-2\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-1=\frac{-1}{2}x+1 \\ y=\frac{-1}{2}x+1+1 \\ y=\frac{-1}{2}x+2 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,1\right)$ هي: $y=\frac{-1}{2}x+2$.

إذا كان: $x^2+4x y+y^2=25$، فأجد كُلاً مما يأتي:

13) ميل المماس عند النقطة $\left(0,5\right)$.

14) معادلة المماس عند النقطة $\left(0,5\right)$.

الحل:

13) أجد ميل المماس عند النقطة $\left(0,5\right)$.

المعادلة المعطاة	$x^2+4x y+y^2=25$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$	$2x+\left(4x\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+y\left(4\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2x+4x\frac{dy}{dx}+4y+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ 4x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=-2x-4y \\ \frac{dy}{dx}\left(4x+2y\right)=-2x-4y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-4y}{4x+2y} \end{gathered}$$
بتعويض $x=0 , y=5$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(0\right)-4\left(5\right)}{4\left(0\right)+2\left(5\right)}=\frac{-20}{10} \\ =-2 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(0,5\right)$ هو: $m=\frac{dy}{dx}=-2$.

14) أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(0,5\right)$.

معادلة المماس	$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$
بتعويض  $x_1=0 , y_1=5 , m=-2$	$y-5=-2\left(x-0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-5=-2x \\ y=-2x+5 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(0,5\right)$ هي: $y=-2x+5$.

15) مناطيد: يخرج الهواء من منطاد كروي الشكل بمُعدَّل ثابت مقداره $0.6 c{m}^3/s$. أجد مُعدَّل تناقص نصف قُطر المنطاد عند اللحظة التي يكون فيها نصف القُطر  $2.5 m$، علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم المنطاد $\left(V\right)$ ونصف قُطره $\left(r\right)$ هي: $V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^3$.

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات: $\frac{dV}{dt}=-0.6$

المعادلة: $V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^3$

المطلوب: $\frac{dr}{dt}\overline{){}_{r=250}}$   لأن  $2.5 m =250 cm$ 

الخطوة 2: أجد مُعدَّل تناقص نصف قُطر المنطاد عند اللحظة التي يكون فيها نصف القُطر  $250 cm$

معادلة الحجم	$V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^3$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$	$\frac{dV}{dt}=4\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2\frac{dr}{dt}$
بتعويض  $\frac{dV}{dt}=-0.6 , r=250$	$-0.6=4\mathrm{\pi } {\left(250\right)}^2\frac{dr}{dt}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dr}{dt}=\frac{-0.6}{4\mathrm{\pi }\left(62500\right)} \\ =\frac{-0.6}{250000\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

إذًا، مُعدَّل تناقص نصف قُطر المنطاد عند اللحظة التي يكون فيها نصف القُطر  $2.5 cm$  هو: $\frac{0.6}{250000\mathrm{\pi }} cm/s$

   16) خزنات مياه: يُبين الشكل المجاور خزان ماء اسطواني الشكل،

إذا كانت كمية الماء في الخزان تزداد بمُعدل $0.4 m^3/s$،

فأجد مُعدَّل تغيُّر عمق الماء فيه $\left(h\right)$، علمًا بأن العلاقة التي تربط

بين حجم الخزان $\left(V\right)$ وارتفاعه $\left(h\right)$ هي: $V={\mathrm{\pi r}}^{2 }h$.

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد النعطيات والمطلوب

المعطيات: $\frac{dV}{dt}=0.4$ , $r=0.3$

المعادلة: 

 $V={\mathrm{\pi r}}^2 h\Rightarrow \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\left(0.3\right)}^2 h \Rightarrow \mathrm{V}=0.09\mathrm{\pi } h$                       

المطلوب: $\frac{dh}{dt}$

الخطوة 2: أجد مُعدَّل تغيُّر عمق الماء قي الخزان

المعادلة المعطاة	$V=0.09\mathrm{\pi } h$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $t$	$\frac{dV}{dt}=0.09\mathrm{\pi }\frac{dh}{dt}$
بتعويض $\frac{dV}{dt}=0.4$	$0.4=0.09\mathrm{\pi }\frac{dh}{dt}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dh}{dt}=\frac{0.4}{0.09\mathrm{\pi }} \\ =\frac{40}{9\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

إذًا، مُعدَّل تغيُّر عمق الماء في الخزان هو: $\frac{40}{9\mathrm{\pi }} m/s$.