رياضيات أدبي فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 61

كُتِبت أحرف كلمة (تباديل) على 6 بطاقات مُتماثِلة ، ثم رُتِّبت البطاقات عشوائيًّا في صف واحد. ما احتمال أنْ يظهر الحرفان (ت) و(ي) متجاورين؟

الحل : 

الخطوة 1 : أفترض أنَّ الحادث A يعني ظهور الحرفين ت وَ ي متجاورين.

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق ترتيب 6 عناصر في صف واحد.

$n ( \Omega ) = 6! = \mathbf{720}$                             

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A

أُظهِر الحرفين ت وَ ي متجاورين في إحدى صورتين: ي ت ، أو ت ي ، وأُعامِل كلًّ منهما كأنَّها عنصر واحد، ثم أجد عدد طرائق ترتيب 5 عناصر

$n\left(A\right) = 2\times 5! = \mathbf{240}$                                             

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$                                       

---

أتحقق من فهمي صفحة 62

فؤاد ومصطفى اثنان من 10 طلبة مشاركين في مسابقة الحساب الذهني. إذا كانت لجنة التحكيم تستدعي عشوائيًّا الطلبة المشاركين الواحد تلو الآخر لخوض المسابقة، فما احتمال استدعاء فؤاد أولًا ومصطفى ثانيًا؟

الحل : 

الخطوة 1 : أفترض أنَّ A يعني اختيار فؤاد أولًا ، ومصطفى ثانيًا.

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω

الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لذا أستخدم التباديل لإيجاد عدد عناصر Ω :

عدد طرائق اختيار عنصرين (ترتيبهما مهم) من بين 10 عناصر

$n\left(\Omega \right) ={}_{10 }P_2= \frac{10!}{(10-2)!}=\mathbf{ }\mathbf{90}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A

فؤاد عنصر ومصطفى عنصر آخر   ؛ لذا فإنَّ : $\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathit{n}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{2}{90}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{45}}$

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 63

صندوق فيه 16 كرة مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من بين الأعداد 0 إلى 15 ، إذا اختيرت ثلاث كرات عشوائيًّا دفعةً واحدةً، فما احتمال أنْ تحمل الكرات المختارة أعدادًا زوجيةً؟

الحل : 

الخطوة 1 : أفترض أنَّ A يعني اختيار ثلاث كرات تحمل أعدادًا زوجية 

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω

عدد طرائق اختيار ثلاثة عناصر (ترتيبهم غير مهم) من بين 16 عنصر  

 $n\left(\Omega \right) ={}_{16 }C_3= \frac{16!}{3! (16-3)!}= \mathbf{560}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A

عدد طرائق اختيار ثلاثة عناصر (ترتيبهم غير مهم) من بين 8 عناصر  (الأعداد الزوجية : 0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14)

$n\left(A\right) ={}_{8 }C_3= \frac{8!}{3! (8-3)!}= \mathbf{56}\mathbf{ }$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{56}{560} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 65

عائلة تضم 6 أولاد و 3 بنات، أرادت الأم اختيار 4 منهم لتحضير وجبة العشاء. أجد احتمال كلٍّ ممّا يأتي:
a) اختيار 2 من الأولاد ، و 2 من البنات.
b) اختيار ولد لإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام، وبنتين لتجهيز المائدة.

الحل : 

a) اختيار 2 من الأولاد ، و 2 من البنات.

الخطوة 1 : أفترض أنَّ A يعني اختيار 2 من الأولاد ، و 2 من البنات. 

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω

الترتيب في هذه الحالة غير مهم ؛ لذا أستخدم التوافيق لحساب عدد طرائق اختيار 4 (2 من الأولاد ، و 2 من البنات) من عددهم الكلي 9   
 $n\left(\Omega \right) ={}_{9 }C_4= \frac{9!}{4! (9-4)!}= \mathbf{126}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A 

أجد عدد طرائق اختيار 2 من الأولاد من بين 6 أولاد مضروبًا في عدد طرائق اختيار 2 من البنات من بين 3 بنات
والترتيب غير مهم في كلتا الحالتين. وبحسب مبدأ العَدِّ ، فإنَّ : 

$n\left(A\right) ={}_{6 }C_2 \times {}_{ 3 }C_2 = 15 \times 3 = \mathbf{45}\mathbf{ }$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{45}{126} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{14}}$

---

b) اختيار ولد لإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام ، وبنتين لتجهيز المائدة.

الخطوة 1 : أفترض أنَّ B يعني اختيار 2 من الأولاد (ولد لإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام ) ، و 2 من البنات لتجهيز المائدة. 

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω

الترتيب في هذه الحالة غير مهم ؛ لذا أستخدم التوافيق لحساب عدد طرائق اختيار 4 (2 من الأولاد ، و 2 من البنات) من عددهم الكلي 9 

$n\left(\Omega \right) ={}_{9 }C_4= \frac{9!}{4! (9-4)!}= \mathbf{126}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث B

الترتيب في اختيار الأولاد مهم لذا استخدم التباديل في إيجاد عدد طرائق اختيار ولدين من بين 6 أولاد ، والترتيب في اختيار البنات غير مهم ؛ لذا أستخدم التوافيق لحساب عدد طرائق اختيار بنتين من بين 3 بنات ، إذن عدد عناصر B وبحسب مبدأ العد :  

$n\left(B\right) ={}_{6 }P_2 \times {}_{ 3 }C_2= 30 \times 3 = \mathbf{90}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(B\right) = \frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{90}{126} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{7}}$

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

1) مسرح : أرادت منار وحليمة حضور مسرحية، فاختارت كلٌّ منهما مقعدًا في الصف الأمامي الذي يحوي 12 مقعدًا. ما احتمال أنْ تجلسا على مقعدين

متجاورين؟

الحل : 

الخطوة 1 : أفترض أنَّ الحادث A يعني جلوس منار وحليمة على مقعدين متجاورين . 

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق ترتيب 12 من العناصر في صف واحد.

     $n\left(\Omega \right) = \mathbf{12}\mathbf{!}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A

 منار وحليمة متجاورتين في حالتين : منار حليمة ، أو حليمة منار ، ثم أجد عدد طرائق ترتيب 10 عناصر 

إذن عدد عناصر الحادث A = العدد 2 مضروبا قي عدد طرائق ترتيب 10 عناصر في صف واحد $\Leftarrow$ $n\left(A\right) =\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{!}\mathbf{ }$

 الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{2\times 10!}{12!} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{66}}$

---

 

2) لوحة مركبة : تتألَّف لوحة المركبة في الأردن من رمز خاص بإدارة ترخيص المركبات، مُكوَّن من رقمين يُكتَبان أعلى اللوحة، ويُمثِّلان رمزًا مشتركًا لمركبات عِدَّة، ومن 5 أرقام من بين الأرقام 0 إلى 9 خاصة بكل مركبة. إذا اختيرت مركبة عشوائيًّا رمزها المشترك 24 ، فما احتمال أنْ يكون رقمها 45779 ؟ (إرشاد: لا يجوز أنْ تكون خانات اللوحة كلها أصفارًا).

 

 

 

 

 

 

الحل : 

الخطوة 1 : أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار المركبة التي تحمل الرقم 45779 . 

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق تكوين عدد من 5 منازل من 10 أرقام (الأرقام من 0 إلى9) مع السماح بالتكرار ، وحسب مبدأ العد فإنّ 

عدد الطرائق :   $10\times 10\times 10\times 10\times 10 = {10}^5$

وجود شرط أن لا تكون خانات اللوحة كلها أصفارًا إذن نستثني من عناصر Ω العنصر الذي يحتوي 5 أصفار  (0 0 0 0 0)

 $\Leftarrow$ $n ( \Omega ) =\mathbf{ }{\mathbf{\left(}\mathbf{10}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{1}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A 

هناك حالة واحدة لظهور الرقم 45779  $\Leftarrow$  $n\left(ِA\right) = \mathbf{1}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال. 

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{1}{ {\left(10\right)}^5-1} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{99999}}$

---

 

3) هندسة : في الشكل المجاور، إذا اختيرت ثلاث نقاط عشوائيًّا، فما احتمال أنْ تكون هذه النقاط على استقامة واحدة؟

 

  

 

 

 

الحل : 

الخطوة 1 : أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار ثلاث نقاط تكون على استقامة واحدة

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد اختيار 3 نقاط من بين 6 نقاط مع عدم أهمية الترتيب ؛ لذا استخدم التوافيق :

  $n\left(\Omega \right) ={}_{6}C_3 \mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{20}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A 

هناك ثلاث حالات تكون النقاط على استقامة واحدة ؛ لذا : $n\left(ِA\right) = \mathbf{3}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال. 

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{20}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

4) علبة أقلام فيها 6 أقلام حبر أزرق، و 4 أقلام حبر أحمر. إذا اختير من العلبة 4 أقلام الواحد تلو الآخر عشوائيًّا، فما احتمال اختيار قلمي حبر أزرق وقلمي حبر أحمر؟

الحل :

الخطوة 1 : أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار قلمي حبر أزرق وقلمي حبر أحمر

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق اختيار 4 أقلام من 10 أقلام ، والترتيب غير مهم ؛ إذن أستخدم التوافيق   

  $n\left(\Omega \right) ={}_{10}C_4 \mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{210}$

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A 

عدد طراىق اختيار قلمي حبر أزرق من 6 أقلام ، وعدد طرائق قلمي حبر أحمر من 4 أقلام مع عدم أهمية الترتيب : 

 $n\left(A\right) ={}_{6}C_2 \times {}_{4}C_2 \mathbf{ }=\mathbf{ }15 \times 6 =\mathbf{ }\mathbf{90}$ 

الخطوة 4 : أجد الاحتمال. 

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{90}{210}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

 

---

5) ألعاب رياضية: وُزِّعت عشوائيًّا 6 جوائز على المشاركين في مسابقة رياضية. إذا شارك في المسابقة 10 ذ كور و 10 إناث، فما احتمال اختيار المشارك

طلال ليحصل على الجائزة الأولى، والمشارك مهند ليحصل على الجائزة الثانية، وأنْ تكون بقية الجوائز من نصيب الإناث؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني حصول طلال على الجائزة الأول ومهند على الجائزة الثانية وأنْ تكون بقية الجوائز من نصيب الإناث

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق اختيار 6 متسابقين من بين 20 متسابق ، والترتيب غير مهم :   

$n( \Omega ) = {}_{20}C_6 = \mathbf{38760}$

• أجد عدد عناصر الحادث A 

 عدد طرائق اختيار 2 من المتسابقين الذكور وترتيبهما مهم و 4 من المتسابقات الإناث ، والترتيب غير مهم : 

$n\left(A\right) = {}_{10}P_2 \times {}_{10}C_4 \mathbf{ }=\mathbf{ }90\times 210 = \mathbf{18900}$

• أجد الاحتمال. 

 $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{18900 }{38760}\mathbf{ }= \frac{\mathbf{315}}{\mathbf{646}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

6) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم :  أراد خالد التقاط صورة لعائلته، فوقف الأب والأم والابن والابنة في صف واحد أمام الكاميرا. ما احتمال وقوف الابن والابنة بين الأبوين؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني وقوف الابن والابنة بين الأبوين ، وهنا يوجد حالتين لترتيب وقوفهما (ابن ابنة أو ابنة ابن) $\Leftarrow$ $n\left(A\right) =\mathbf{ }\mathbf{2}$   

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق ترتيب 4 عناصر في صف واحد $\Leftarrow$ $n\left(\Omega \right) = 4! = \mathbf{24}$  

 • أجد الاحتمال  $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{2 }{24}\mathbf{ }= \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

ورد : أرادت وفاء تزيين حديقة بيتها، فاختارت عشوائيًّا 4 شتلات ورد الواحدة تلو الأُخرى من بين 10 شتلات ورد جوري، و 7 شتلات ورد قرنفل، و 13 شتلة ورد فُلٍّ. ما احتمال أنْ تكون وفاء قد اختارت :

 

 

 

 

 

 7) شتلات ورد جوري فقط؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار  4 شتلات جوري والترتيب غير مهم ، إذن : $n\left(A\right) =\mathbf{ }{}_{10}C_4 =\mathbf{ }\mathbf{210}$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق اختيار  4 شتلات من بين 30 شتلة مع عدم أهمية الترتيب ، إذن :  $n\left(\Omega \right) = {}_{30}C_4\mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{27405}$

 • أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{210 }{27405}\mathbf{ }= \frac{\mathbf{14}}{\mathbf{1827}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

8) شتلات ليس من بينها ورد جوري؟ 

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث B يعني اختيار  4 شتلات ليس من بينها ورد جوري ، إذن الحادث B هو الحادث المُتمم للحادث A   

لذا  : 

    $$\begin{gathered} P\left(B\right) = 1 -P\left(A\right) \mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }= 1- \frac{14}{1827} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1813}}{\mathbf{1827}}\mathbf{ } \end{gathered}$$ 

---

 

9) شتلة واحدة على الأقل من كل نوع؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث K يعني اختيار  شتلة واحدة على الأقل من كل نوع  والترتيب غير مهم ، إذن : 

 $$\begin{gathered} n\left(K\right) =\mathbf{ }\mathbf{(}{}_{10}C_2 \times {}_{7}C_1\times {}_{13}C_1)+\mathbf{ }({}_{10}C_1 \times {}_{7}C_2\times {}_{13}C_1)+ ({}_{10}C_1 \times {}_{7}C_1\times {}_{13}C_2) \\ = (45\times 7\times 13)+(10\times 21\times 13)+(10\times 7\times 78) \\ = 4095 + 2730 + 5460 \\ =\mathbf{ }\mathbf{12285} \end{gathered}$$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق اختيار  4 شتلات من بين 30 شتلة مع عدم أهمية الترتيب ، إذن : $n\left(\Omega \right) = {}_{30}C_4\mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{27405}$

 • أجد الاحتمال $P\left(K\right) = \frac{n\left(K\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{12285}\mathbf{ }}{\mathbf{27405}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

قُبَّعات ملونة: في محلٍّ 6 قُبَّعات مُتماثِلة، منها 4 سود، وواحدة خضراء، وواحدة زرقاء، رتَّبها صاحب المحل عشوائيًّا في صف واحد على أحد الرفوف. ما

احتمال كلٍّ ممّا يأتي :

10) أنْ تكون القُبَّعات السود بجانب بعضها؟

الحل :  

• أفرض أنَّ الحادث A يعني ترتيب القُبَّعات السود بجانب بعضها  ، إذن : الترتيبات الممكنة هي 3 ترتيبات : (الترتيب الاول : القبعات السود بجانب بعضها على الطرف الأيمن) ، (التريب الثاني : القبعات السود بجانب بعضها على الطرف الأيسر) ، (الترتيب الثالث : القبعات السود بجانب بعضها في الوسط )  $\therefore$ $n\left(A\right) =\mathbf{ }\mathbf{3}$

 

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق ترتيب 6 عناصر في صف واحد   $n( \Omega ) = 6! = \mathbf{720}$

 • أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{3}{720} =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{240}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

11) ألّا تكون القُبَّعة الخضراء والقُبَّعة الزرقاء متجاورتين؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني أن تكون القُبَّعة الخضراء والقُبَّعة الزرقاء متجاورتين وهناك 10 عناصر تحقق ذلك ، إذن  : $n\left(A\right) =\mathbf{ }\mathbf{10}$   

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق ترتيب 6 عناصر في صف واحد  $n( \Omega ) = 6! = \mathbf{720}$

• أجد الاحتمال 

احتمال ألّا تكون القُبَّعة الخضراء والقُبَّعة الزرقاء متجاورتين هو الاحتمال المُتمم للاحتمال$P\left(A\right)$ ، إذن :

$$\begin{gathered} P\left(\overline{A}\right) = 1 - P\left(ِِA\right) =\mathbf{ }1 -\frac{10}{720}\mathbf{ }\mathbf{ }=\frac{\mathbf{71}}{\mathbf{72}\mathbf{ }} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

---

 

12) أنْ تكون القُبَّعتان على طرفي الصف سوداوين؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني أن تكون القُبَّعتان على طرفي الصف سوداوين ، إذن كل قبعة على أحد الطرفين لها طريقة واحدة ويبقى لدينا ترتيب 4

  قبعات في الوسط ، أي عدد طرق ترتيب 4 عناصر في صف واحد $\Leftarrow$   $n( A) = 1 \times 4! \times 1 = \mathbf{24}$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق ترتيب 6 عناصر في صف واحد $n( \Omega ) = 6! = \mathbf{720}$

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{24}{720} =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{30}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

13) أنْ تتوزَّع القُبَّعات السود بالتساوي على طرفي الصف؟

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني أن تتوزَّع القُبَّعات السود بالتساوي على طرفي الصف وهناك حالتين لهذا الحادث (أسود أسود أخضر أزرق أسود أسود) (أسود أسود أزرق أخضر أسود أسود) $\Leftarrow$  $n( A)= \mathbf{2}\mathbf{ }$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق ترتيب 6 عناصر في صف واحد $n( \Omega ) = 6! = \mathbf{720}$

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{2}{720} =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{360}}\mathbf{ }\mathbf{ }$

---

 

14) مسألة مفتوحة : أكتب سؤالًا لتجربة عشوائية يكون فيه الاحتمال $\frac{1}{{}_{5}C_2}$

الحل :

صتدوق يحتوي خمس كرات متماثلة مُرقمة بالأرقام : (1 إلى 5) سُحبت كرتان من الصندوق عشوائيا دفعة واحدة ، ما احتمال أن يكون ترقيم الكرتان أعدادًا زوجية . 

• أفرض أنَّ الحادث A يعني أن يكون ترقيم الكرتان أعدادًا زوجية ، ويوجد هنا حالة واحدة ، إذن   $n( A)= \mathbf{1}\mathbf{ }$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ عدد طرائق اختيار عنصرين من بين 5 عناصر مع عدم أهمية الترتيب ، إذن :  $n( \Omega ) = {}_{\mathbf{5}}\mathit{C}_{\mathbf{2}} \mathbf{ }$

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{1}{{}_{5}C_2}$

---

 

15) أكتشف الخطأ : بلال وصالح لاعبان في فريق كرة القدم للصف الحادي عشر الذي يضم 14 لاعبًا. أراد معلِّم التربية الرياضية أنْ يُوزِّع عشوائيًّا على كل لاعب قميصًا رياضيًّا من القمصان المُرقَّمة من 1 إلى 14 ، وقد حسب بلال احتمال حصوله على القميص رقم 9، وحسب صالح احتمال حصوله على القميص رقم 10 كما يأتي:

أيُّهما حَلُّه صحيح؟ أُبرِّر إجابتي.

الحل الصحيح في طريقة صالح ؛ لأنّ الترتيب مهم  فيجب استخدام التباديل . 

 

 

---

أسئلة كتاب التمارين

1) رُتِّبت 4 بطاقات مُتماثِلة عشوائيًّا في صف واحد، وحملت كلٌّ منها أحد الأرقام من 1 إلى 4، ما احتمال أنْ يظهر الرقمان 2 و 4 متجاورين؟

الحل :

• أفرض أنّ الحادث  A  يعني أن يظهر الرقمان 2 و 4 متجاورين ، أُظهِر الرقمين 3 و 4 متجاورين في إحدى صورتين : 43 ، أو 34 ، وأُعامِل كلًّ منهما كأنَّها عنصر واحد، ثم أجد عدد طرائق ترتيب 3 عناصر.

إذن : عدد طرائق ترتيب 3 عناصر  = !3  ، ويوجد ترتيبين ، إذن أضرب !3 في العدد 2  ، لذا : $n\left(A\right) = 2 \times 3! = \mathbf{12}$

• أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق ترتيب 4 عناصر في صف واحد : $n\left(\Omega \right) = 4! = \mathbf{24}$   

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{12}{24} =\frac{1}{2}$

---

2) يتكوَّن مجلس الطلبة في إحدى المدارس من 5 أعضاء، بينهم خليل ومجدي. ما احتمال اختيار خليل رئيسًا للمجلس ، واختيار مجدي مُقرِّرًا له إذا

كانت عملية الاختيار عشوائية؟

الحل :

• أفرض أنَّ A يعني اختيار خليل رئيسًا، ومجدي مُقررًا له ، يوجد حالة واحدة ليكون خليل رئيسًا ومجدي مُقررًا له $\Leftarrow$$n\left(A\right) = \mathbf{1}$

• أجد عدد عناصر Ω ،  الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لذا فإنَّ : $n\left(\Omega \right) = {}_{5}P_2 = \mathbf{20}$

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{1}{20}$ 

---

3) صندوق فيه كرات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل أحد الأرقام من 1 إلى 9، إذا اختيرت عشوائيًّا 3 كرات دفعة واحدة، فما احتمال أنْ تحمل الكرات المختارة

أعدادًا فردية؟

الحل :

• أفرض أنَّ A يعني اختيار 3 كرات تحمل أعدادًا فردية ، إذن أجد عدد طرق اختيار 3 عناصر من 5 عناصر (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9)دون أهمية للترتيب :    

$n\left(A\right) = {}_{5}C_3 = \mathbf{10}$

• أجد عدد عناصر Ω ،  الترتيب غير مهم ؛ لذا فإنَّ : $n\left(\Omega \right) = {}_{9}C_3 = \mathbf{84}$

• أجد الاحتمال $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{10}{84} =\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{42}}$

---

يعمل في شركة 6 موظفين و 6 موظفات، ويريد مدير الشركة تكوين فريق يضم 4 منهم عشوائيًّا؛ لحضور ندوة عن تسويق
المُنتَجات. أجد احتمال اختيار المدير :

4) فريقًا يضم 2 من الموظفين و 2 من الموظفات.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار فريقًا يضم 2 من الموظفين و 2 من الموظفات. 

إذن :    $n\left(A\right) = {}_{6}C_2 \times {}_{6}C_2= 15\times 15 =\mathbf{ }\mathbf{225}$

• أجد عدد عناصر Ω :       $n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_4 = \mathbf{495}$  

• أجد الاحتمال    $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{225}{495} =\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{11}}$

 

---

5) الموظفة مريم رئيسًا للفريق، والموظفة لبنى نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث  B يعني اختيار الموظفة مريم رئيسًا للفريق ، والموظفة لبنى نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور. 

إذن :             $n\left(B\right) = {}_{6}P_2 \times {}_{6}C_2= 30 \times 15 =\mathbf{ }\mathbf{450}$

• أجد عدد عناصر Ω  :  $n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_4 = \mathbf{495}$

• أجد الاحتمال : $P\left(B\right) = \frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{450}{495} =\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{11}}$

 

---

 

6) فريقًا ليس فيه إناث.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث Q يعني اختيار فريقًا ليس فيه إناث، إذن الفريق كله ذكور والترتيب غير مهم $\Leftarrow$ $n\left(Q\right) = {}_{6}C_4=\mathbf{ }\mathbf{15}$

• أجد عدد عناصر Ω : $n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_4 = \mathbf{495}$

• أجد الاحتمال $P\left(Q\right) = \frac{n\left(Q\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{15}{495} =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{33}}$

---

7) فريقًا يضم 3 موظفات على الأقل.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث K يعني اختيار فريقًا يضم 3 موظفات على الأقل ، إذن الفريق قد يحتوي على 3 موظفات أو الفريق يحتوي على 4 موظفات  

                        $$\begin{gathered} n\left(K\right) =( {}_{6}C_3\times {}_{6}C_1)+\left({}_{6}C_4\right) \\ = (20 \times 6)+\left(15\right) \\ =\mathbf{ }\mathbf{135} \end{gathered}$$

• أجد عدد عناصر Ω   :    $n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_4 = \mathbf{495}$

• أجد الاحتمال : $P\left(K\right) = \frac{n\left(K\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{135}{495} =\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{11}}$

---

 

في كيسٍ 10 حبّات حلوى مُغلَّفة بورق أزرق، و 10 أُخرى مُغلَّفة بورق أحمر، اختارت هدى 5 حبّات عشوائيًّا من الكيس، الواحدة تلو الأُخرى، ثم أكلتها. أجد

احتمال كلٍّ ممّا يأتي:

8) أكْل هدى حبَّتين مُغلَّفتين بورق أزرق، و 3 حبّات مُغلَّفة بورق أحمر.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث A يعني أكْل هدى حبَّتين مُغلَّفتين بورق أزرق، و 3 حبّات مُغلَّفة بورق أحمر ، إذن :  $n\left(A\right) = {}_{10}C_2\times {}_{10}C_3=\mathbf{ }45\times 120 =\mathbf{ }\mathbf{5400}$

• أجد عدد عناصر Ω  :  $n\left(\Omega \right) = {}_{20}C_5 = \mathbf{15504}$

• أجد الاحتمال :  $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{5400}{15504} =\frac{\mathbf{225}}{\mathbf{646}}$

 

---

9) عدم أكْل هدى أيَّ حبَّة حلوى مُغلَّفة بورق أحمر.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث B يعني عدم أكْل هدى أيَّ حبَّة حلوى مُغلَّفة بورق أحمر ، إذن الحادث B أكْل هدى 5 حبات مغلفة بورق أزرق

$\Leftarrow$  $n\left(B\right) = {}_{10}C_5 =\mathbf{ }\mathbf{252}$

• أجد عدد عناصر Ω :  $n\left(\Omega \right) = {}_{20}C_5 = \mathbf{15504}$

• أجد الاحتمال : $P\left(B\right) = \frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{252}{15504} =\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{1292}}$ 

 

---

10) أكْل هدى 3 حبّات على الأقل مُغلَّفة بورق أحمر.

الحل :

• أفرض أنَّ الحادث E يعني أكْل هدى 3 حبّات على الأقل مُغلَّفة بورق أحمر.

$n\left(E\right) = {}_{10}C_3\times {}_{10}C_2 + {}_{10}C_4\times {}_{10}C_1+ {}_{10}C_5\times {}_{10}C_0=\mathbf{ }\mathbf{7752}$

• أجد عدد عناصر Ω : $n\left(\Omega \right) = {}_{20}C_5 = \mathbf{15504}$

• أجد الاحتمال : $P\left(E\right) = \frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{7752}{15504} =\frac{\mathbf{646}}{\mathbf{1292}}$

---