رياضيات فصل ثاني

الاحتمالُ الهندسيُّ

أولًا : الاحتمالُ الهندسيُّ: الأطوالُ

يُبيِّنُ الشكلُ المجاورُ القطعةَ المستقيمةَ AB التي تحوي القطعةَ المستقيمةَ CD . إذا اختيرَتْ عشوائيًّا نقطةٌ منَ النقاطِ الواقعةِ على AB ، ولتكنْ K، فإنَّ احتمالَ وقوعِ K على CD يساوي نسبةَ طولِ CD إلى طولِ AB ؛ لأنَّ جميعَ النقاطِ الواقعةِ على AB تُمثِّلُ عناصرَ الفضاءِ العينيِّ للتجربةِ العشوائيةِ، وجميعَ النقاطِ الواقعةِ على CD تُمثِّلُ عناصرَ الحادثِ. $P(\overline{CD} \mathrm{على} K \mathrm{وقوع}) = \frac{CD}{AB}$

 

 

••أتعلَّمُ : يتساوى الاحتمالُ في تجربةِ اختيارِ النقطةِ ؛K لأنَّ فرصةَ الوقوعِ هيَ نفسُها لأيِّ نقطةٍ تقعُ على$\overline{AB}$

 

---

 

ثانيًا : الاحتمالُ الهندسيُّ: المساحاتُ

يُبيِّنُ الشكلُ المجاورُ المنطقةَ J التي تحوي المنطقةَ M. إذا اختيرَتْ عشوائيًّا نقطةٌ منَ النقاطِ الواقعةِ في المنطقةِ J ، ولتكنْ K، فإنَّ احتمالَ وقوعِ K في المنطقةِ M يساوي نسبةَ مساحةِ المنطقةِ M إلى مساحةِ المنطقةِ J ؛ لأنَّ جميعَ النقاطِ في المنطقةِ J تُمثِّلُ عناصرَ الفضاءِ العينيِّ للتجربةِ، وجميعَ النقاطِ في المنطقةِ M تُمثِّلُ عناصرَ الحادثِ. $P(M \mathrm{المنطقة} \mathrm{في} K \mathrm{وقوع}) = \frac{(M \mathrm{المنطقة} \mathrm{مساحة})}{(J \mathrm{المنطقة} \mathrm{مساحة})}$

 

 

•• أتعلَّمُ : يتساوى الاحتمالُ في تجربةِ اختيارِ النقطةِ  K ؛ لأنَّ فرصةَ الوقوعِ هيَ نفسُها لأيِّ نقطةٍ تقعُ في المنطقةِ

 

---

 

ثالثًا : الاحتمالُ الهندسيُّ: الزوايا

إذا دُوِّرَ المُؤشِّرُ في القرصِ المجاورِ عشوائيًّا، فإنَّ احتمالَ توقُّفِ المُؤشِّرِ عندَ القطاعِ الأخضرِ يساوي نسبةَ قياسِ زاويةِ القطاعِ الأخضرِ إلى مجموعِ الزوايا حولَ مركزِ الدائرةِ؛ لأنَّ جميعَ المواقعِ في الدائرةِ تُمثِّلُ عناصرَ الفضاءِ العينيِّ للتجربةِ، وجميعَ المواقعِ في القطاعِ الأخضرِ تُمثِّلُ عناصرَ الحادثِ. $P(\mathrm{الأخضر} \mathrm{القطاع} \mathrm{عند} \mathrm{المؤشر} \mathrm{توقف}) =\frac{(\mathrm{الأخضر} \mathrm{القطاع} \mathrm{زاوية})}{(\mathrm{الدائرة} \mathrm{مركز} \mathrm{حول} \mathrm{الزوايا} \mathrm{مجموع})}$

 

 

•• أتعلَّمُ : يتساوى الاحتمالُ في تجربةِ توقُّفِ المُؤشِّرِ عندَ أيِّ موقعٍ في الدائرةِ؛ لأنَّ فرصةَ الوقوعِ هيَ نفسُها لأيِّ موقعٍ يتوقَّفُ

عندَهُ المُؤشِّرُ.

 

 

ورقة عمل درس الاحتمال الهندسي 

1) مُعتمِدًا الشكلَ المجاورَ، إذا اختيرَتْ عشوائيًّا نقطةٌ تقعُ على JK ، فإنّ احتمال وقوعها على JM  أو NK ،  يساوي :

$a) \frac{6}{25} b) \frac{3}{5} c) \frac{13}{25} d) \frac{4}{25}$

الحل: 

$P\left(A\right) = \frac{NK + JM}{JK} = \frac{2+4}{25} = \frac{6}{25}$

---

 

2) إذا اختيرَتْ نقطةٌ عشوائيًّا منْ الشكلٍ التالي ، فإنّ احتمالَ وقوعِها في المنطقةِ المُظلَّلةِ باللونِ الأزرقِ ، هو : 

 

 

$a) \frac{1}{3} b) \frac{5}{6} c) \frac{2}{3} d) \frac{1}{2}$

الحل: 

$P\left(B\right) = \frac{12\times 10 - ({\displaystyle \frac{1}{2}}\times 8\times 7 + {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times 4)}{12\times 10} = \frac{120 -(28 +12)}{120} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$

---

 

3) مُعتمِدًا زوايا القطاعاتِ الظاهرةَ على القرصِ التالي ، ما احتمال عدم توقف مؤشر  القرصِ عندَ القطاعِ الأزرق :       
 

$a) \frac{2}{3} b) \frac{1}{2} c) \frac{5}{8} d) \frac{2}{5}$

 

الحل : 

أفرض حادث توقف مؤشر القرص عند القطاع الأزرق هو M :

$P\left(M\right) = 1 - \frac{135°}{360°} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

---

 

4) إذا كانَتِ ZN تحوي RT ، وكانَ RT = 7 ، واختيرَتْ نقطةٌ عشوائيًّا على ZN ، وكانَ احتمالُ وقوعِها على RT هوَ 0.44 ، فإنّ طول ZN يساوي : 

$a) 14 b) 16 c) 18 d) 20$ 

 

الحل : 

أستخدم صيغة الاحتمال باستعمال الطول

أفرض حادث وقوع النقطة على RT هو A :

$P\left(A\right) = \frac{RT}{ZN}0.35 = \frac{7}{ZN}0.35 \times ZN = 7ZN = \frac{7}{0.35}ZN = 20$

---

5) إذا اختيرَتْ نقطةٌ عشوائيًّا منْ الشكل التالي  ، فما احتمالَ وقوعِها في المنطقةِ المُظلَّلةِ باللونِ البرتقالي:

 

$a) \frac{2}{5} b) \frac{4\mathrm{\pi }}{25} c) \frac{\mathrm{\pi }}{8} d) \frac{3}{8}$

الحل : 

أفرض حادث وقوع النقطة في المنظقة المظللة باللون البرتقالي هو  A :

$P\left(A\right) = \frac{{(2.5)}^2\mathrm{\pi } -{(1.5)}^2\mathrm{\pi }}{5\times 5} = \frac{6.25\mathrm{\pi } -2.25\mathrm{\pi }}{25} = \frac{4\mathrm{\pi }}{25}$