رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 164

أجد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=4x^2+1$ باستعمال التعريف العام للمشتقة؛ عندما x=-1.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=-1}^{}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(-1+h\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{4{\left(h-1\right)}^2+1-\left(5\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4h^2-8h+4-4}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(4h-8\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(4h-8\right)=-8 \\ y\text{'}(-1)=-8 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=-8 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص:164

أجد مشتقة الاقتران $y=8-x^2$ باستعمال التعريف العام للمشتقة.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{8-\left(x+h\right)-8+x^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{8-x^2-2xh-h^2-8+x^2}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-2xh-h^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(-2x-h\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(-2x-h\right)=-2x \\ \frac{dy}{dx}=-2x \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص:165

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) y=x^{-11}$

$y\text{'}=-11x^{-12}$

$b) y=\frac{1}{x^5}$

$$\begin{gathered} y=x^{-5} \\ y\text{'}=-5x^{-6} \\ y\text{'}=\frac{-5}{x^6} \end{gathered}$$

$c) y=\sqrt[3]{x^5}$

$$\begin{gathered} y=x^{\frac{5}{3}} \\ y\text{'}=\frac{5}{3}{x}^{\left(\frac{5}{3}-1\right)} \\ y\text{'}=\frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}} \\ y\text{'}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{{\left(x\right)}^2} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 166

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) y=\sqrt{x}+\frac{4}{x^2}$

$$\begin{gathered} y=x^{\frac{1}{2}}+4x^{-2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\left(-8\right)x^{-3} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{8}{x^3} \end{gathered}$$

$b) y=\frac{x^5-8x^6}{4x}$

$$\begin{gathered} y=\frac{x^5}{4x}-\frac{8x^6}{4x} \\ y=\frac{1}{4}{x}^4-2x^5 \\ y\text{'}=x^3-10x^4 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 167

يمثل الاقتران $s=t^3-\sqrt{t}$ المسافة التي يقطعها جسم متحرك بالأمتار، حيث t الزمن بالثانية. أجد سرعة الجسم بعد 4 ثوان من بدء حركته.

$$\begin{gathered} \frac{ds}{dt}=3t^2-\frac{1}{2\sqrt{t}} \\ \frac{ds}{dt}{|}_{t=4}=3{\left(4\right)}^2-\frac{1}{2\sqrt{4}} \\ \frac{ds}{dt}{|}_{t=4}=47.75 m/s \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 168

إذا كان الاقتران $y=8x-\frac{1}{8}$؛ فأستعمل المشتقة لإيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عن النقطة $\left(0.25,-2\right)$.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=8+\frac{1}{x^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=0.25}=8+\frac{1}{{\left(0.25\right)}^2}=8+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{16}}}=8+16=24 \end{gathered}$$

معادلة المماس عند  $\left(0.25,-2\right)$ هي

$$\begin{gathered} y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ y+2=24\left(x-0.25\right) \\ y+2=24x-6 \\ y=24x-8 \end{gathered}$$

ميل العمودي على المماس هو $\left(-\frac{1}{24}\right)$

معادلة العمودي على المماس عند $\left(0.25,-2\right)$

$$\begin{gathered} y+2=\frac{-1}{24}\left(x-0.25\right) \\ y+2=-\frac{1}{24}x+\frac{1}{96} \\ y=-\frac{1}{24}x-\frac{191}{96} \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل

أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية؛ باستعمال التعريف العام للمشتقة عند النقطة المعطاة:

$1) y=x^2+3x+1 ,x=3$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}{|}_{x=3}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(3+4\right)-f\left(3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{(3+4)}^2+3\left(3+h\right)+1-\left(19\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{9+6h+h^2+9+3h+1-19}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{6h+3h+h^2}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(9+h\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(9+h\right)=9 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=3}=9 \end{gathered}$$

$2) y=\frac{1}{x^2+1} ,x=2$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \left[\frac{1}{{\left(2+h\right)}^2+1}-\frac{1}{5}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \left[\frac{1}{5+4h+h^2}-\frac{1}{5}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \left[\frac{5-5-4h-h^2}{5\left(5+4h+h^2\right)}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \frac{h\left(-4-h\right)}{5\left(5+4h+h^2\right)} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-4-h}{5\left(5+4h+h^2\right)}=\frac{-4}{5\left(5\right)}=\frac{-4}{25} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=\frac{-4}{25} \end{gathered}$$

$3) y={\left(2x+3\right)}^2 ,x=-1$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(h-1\right)f(-1)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\left(2h-2+3\right)}^2-1}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\left(2h+1\right)}^2-1}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4h^2+4h+1-1}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(4h+4\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(4h+4\right)=4 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=-1}=4 \end{gathered}$$

أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية؛ باستعمال التعريف العام للمشتقة:

$4) y=\frac{x-3}{x^2}$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \left[\frac{x+h-3}{{\left(x+h\right)}^2}-\frac{x-3}{x^2}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left[\frac{x^3+x^{2}h-3x^2-\left(\left(x-3\right)\left(x^2+2xh+h^2\right)\right)}{x^2{\left(x+h\right)}^2}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left[\frac{x^3+x^{2}h-3x^2+\left[-x^3-2x^{2}h-+3x^2+6xh+3h^2\right]}{x^2{\left(x+h\right)}^2}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \frac{-x^2-x{h}^2+6xh+3h^2}{x^2{\left(x+h\right)}^2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \frac{h\left(-x^2-xh+6x+3h^2\right)}{x^2{\left(x+h\right)}^2} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-x^2-xh+6x+3h}{x^2{\left(x+h\right)}^2}=\frac{-x^2+x}{x^4} \end{gathered}$$

$5) y=x\left(x+2\right)$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\left(x+h\right)}^2+2\left(xh\right)-x^2-2x}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2+2xh+h^2+2x+2h-x^2-2x}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2xh+h^2+2h}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(2x+h+2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(2x+h+2\right)=2x+2 \\ \frac{dy}{dx}=2x+2 \end{gathered}$$

$6) y=\frac{1}{x-1}$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(\frac{1}{h}\right)\times \left(\frac{1}{x+h-1}-\frac{1}{x-1}\right) \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \left[\frac{x-1-x-h+1}{\left(x+h-1\right)\left(x-1\right)}\right] \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\times \frac{-h}{\left(x+h-1\right)\left(x-1\right)} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-1}{\left(x+h-1\right)\left(x-1\right)} \\ =\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2} \end{gathered}$$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$7) y=10x-\frac{6}{\sqrt{x}}$

$$\begin{gathered} y=10x-6x^{-\frac{1}{2}} \\ y\text{'}=10-6\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}-1} \\ y\text{'}=10+3x^{\frac{-3}{2}} \\ y\text{'}=10+\frac{3}{\sqrt{x^3}} \end{gathered}$$

$8) y=x^8-x^{-8}$

$\frac{dy}{dx}=8x^7+8x^{-9}$

$9) y=9x^{-2}+3\sqrt{x}$

$y\text{'}=-18x^{-3}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$10) y=\frac{1+\sqrt{x}}{x}$

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x}}{x} \\ y=x^{-1}+x^{-\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}=\left(-1\right)x^{-2}+\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \end{gathered}$$

$11) y=\frac{6}{x^3}+\frac{2}{x^2}-3$

$$\begin{gathered} y=6x^{-3}+2x^{-2}-3 \\ \frac{dy}{dx}=-18x^{-4}-4x^{-3} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-18}{x^4}-\frac{4}{x^3} \end{gathered}$$

$12) y=20x^5+3\sqrt[3]{x}+17$

$$\begin{gathered} y=20x^5+3x^{-\frac{1}{3}}+17 \\ \frac{dy}{dx}=100x^4+x^{-\frac{2}{3}} \\ \frac{dy}{dx}=100x^4+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \end{gathered}$$

إذا كان الاقتران $y=x^2-x$؛ فاستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي:

13) معادلة المماس عندما x=4.

$$\begin{gathered} m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=4}2x-1 \\ m=2\left(4\right)-1=7 \\ x=4 \\ y=16-4 \\ y=12 \\ \left(4,12\right) \\ \left(y-12\right)=7\left(x-4\right) \\ y-12=1x-28 \\ y=7x-28+12 \\ y=1x-16 \end{gathered}$$

14) معادلة العمودي على المماس عندما x=4

$$\begin{gathered} \left(y-12\right)=-\frac{1}{7}\left(x-4\right) \\ y-12=-\frac{1}{7}x+\frac{4}{7} \\ y=-\frac{1}{7}x+\frac{88}{7} \end{gathered}$$

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\frac{24}{x}$

 

15) أجد f'(x).

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-24}{x^2}$

16) أبين أن ميل المماس سالب دائما عند أي نقطة.

إشارة f'(x) هي سالبة لكل قيم x، حيث $x\ne 0$ إذا ميل المماس هو دائما سالب.

17) أجد معادلة العمودي على المماس عندما y=-6.

$$\begin{gathered} \frac{dh}{dt}=4t-3t^2 \\ \frac{dh}{dt}{|}_{t=10}=4\left(10\right)-3{\left(10\right)}^2=40-300=-260 m/s \end{gathered}$$

نجد قيمة x ثم نجد ميل المماس عند النقطة 

             $$\begin{gathered} \frac{24}{x}= -6 x=-4 \\ f\text{'}(-4) = \frac{-24}{{(-4)}^2}=\frac{-3}{2} \end{gathered}$$

ميل العمودي يساوي $\frac{2}{3}$

معادلة العمودي

$$\begin{gathered} y+6 =\frac{2}{3}(x+4) \\ y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3} \end{gathered}$$

18) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران $y=\left(x-3\right)\left(x-5\right)$، عند نقطتي تقاطعه مع محور x.

$$\begin{gathered} y=x^2-8x+15 \\ \frac{dy}{dx}=2x-8 \\ x=3 \\ \left(3,0\right) \\ x=5 \\ \left(5,0\right) \\ m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=3}=2\left(3\right)-8=-2 \\ y=-2\left(x-3\right) \\ y=-2x+6 \\ m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=5}=2\left(5\right)-8=10 \\ y=2\left(x-5\right) \\ y=2x-10 \end{gathered}$$

19) يمثل الاقتران $s=10\sqrt{t}+t+\mathrm{\pi }$ المسافة (بالمتر) التي يقطعها جسيم متحرك، حيث t الزمن بالثانية. أجد سرعة الجسيم بعد ثانية واحدة من بدء حركته.

$$\begin{gathered} \frac{ds}{dt}=\frac{10}{2\sqrt{t}}+1 \\ \frac{ds}{dt}=\frac{5}{\sqrt{t}}+1 \\ \frac{ds}{dt}{|}_{t=1}=\frac{5}{\sqrt{1}}+1=5+1=6m/s \end{gathered}$$

20) طائرة: أقلعت طائرة من دون طيار عاموديا في رحلة مدتها 20 ثانية فإذا كان ارتفاع الطائرة بالأمتار يعطى بالاقتران $h=2t^2-t^3$، حيث t الزمن بالثواني؛ فأجد سرعة الطائرة بعد 10 ثوان من إقلاعها.

$$\begin{gathered} \frac{dh}{dt}=4t-3t^2 \\ \frac{dh}{dt}{|}_{t=10}=4\left(10\right)-3{\left(10\right)}^2=40-300=-260 m/s \end{gathered}$$

 

 

إذا كان منحنى الاقتران c يعطى بالمعادلة $y=\sqrt[3]{8x}$؛ فأجيب عما يأتي:

21) أجد مشتقة الاقتران عند النقطة $p\left(125,10\right)$.

$$\begin{gathered} y=2\sqrt[3]{x} \\ y=2x^{\frac{1}{3}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=125}=\frac{2}{3\sqrt[3]{{\left(125\right)}^2}}=\frac{2}{3\times \left(5^{3\times 2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}}\right)} \\ =\frac{2}{3\times 25}=\frac{2}{75}\approx 0.03 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y=2\sqrt[3]{x} \\ \frac{y}{2}=\sqrt[3]{x} \\ {\left(\frac{y}{2}\right)}^3=x \\ \frac{y^3}{8}=x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{8}{x}^2 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=10}=\frac{3}{8}{\left(10\right)}^2=\frac{300}{8}\approx \frac{1}{0.03}=\frac{300÷4}{8÷4}=\frac{75}{2} \end{gathered}$$

22) إذا كان  الاقتران D هو الاقتران العكسي للاقتران C، وكانت النقطة Q انعكاسا لنقطة P؛ فأبين أن مشتقة الاقتران D عند النقطة Q تساوي مقلوب مشتقة الاقتران C عند النقطة P.

$$\begin{gathered} y=2\sqrt[3]{x} \\ \frac{y}{2}=\sqrt[3]{x} \\ {\left(\frac{y}{2}\right)}^3=x \\ \frac{y^3}{8}=x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{8}{x}^2 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=10}=\frac{3}{8}{\left(10\right)}^2=\frac{300}{8}\approx \frac{1}{0.03}=\frac{300÷4}{8÷4}=\frac{75}{2} \end{gathered}$$

 

مهارات التفكير العليا

تبرير: يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$ 

23) أبين أن ميل المماس عند النقطتين (2,2) و (2-,2-) يساوي صفر.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=-2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{4}=0 \end{gathered}$$

 

24) أثبت أنه إذا كان x عددا كبيرا جدا؛ فإن ميل المماس عنده يساوي 0.5 تقريبا.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}{|}_{x\to \infty }=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x\to \infty }=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}=0.5 \end{gathered}$$

 

تبرير: إذا كان الاقتران $y=x^2+4x$؛ فأجيب عما يأتي:

25) أثبت أن معادلة المماس عند النقطة x=k هي $y-(2k+4)x-k^2=0$

$$\begin{gathered} m=2k+4. \\ y = k^2+4k \\ \left(y-y_1\right)=m\left(x-x_1\right) \\ y-k^2-4k=(2k+4)\left(x-k\right) \\ y-k^2-4k=2kx-2k^2+4x-4k \\ y-\left(2k+4\right)x-k^2=0 \end{gathered}$$

 

 

 

26) أجد قيمة k التي تكون عندها معادلة العمودي على المماس هي: 4y+x=0

$$\begin{gathered} 4y=-x \\ y=-\frac{1}{4}x \end{gathered}$$

ميل العمودي على المماس هو $\frac{-1}{4}$ وعندها ميل المماس يساوي 4 

 

 $$\begin{gathered} 4y+x=0 \\ y=-\frac{1}{4}x \\ -\frac{1}{4}=\mathrm{العمودي} \mathrm{ميل} \\ 4=\mathrm{المماس} \mathrm{ميل} \\ y=\left(2k+4\right)x+k^2 \\ 2k+4=4 \\ 2k=0 \\ k=0 \end{gathered}$$

تحد: يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $y=x^2$، الذي تقع النقطة $P(a,a^2)$ على منحناه. إذا علمت ما يأتي:

$\bullet$ يقطع المماس المنحنى عند النقطة P المحور y في النقطة T.

$\bullet$  يقطع العمودي على المماس عند النقطة p المحور y في النقطة N.

$\bullet$ تقع النقطة A على المحور الإحداثي y، إذ إن $\overline{AP}$ يوازي المحور x.

27) أثبت أن OA=OT

$$\begin{gathered} y-a^2=2a\left(x-a\right) \\ y-a^2=2ax-2a^2 \\ y=2ax-a^2 \\ y-a^2=\frac{-1}{2a}\left(x-a\right) \\ y=-\frac{1}{29}\left(x\right)+\left(a^2+\frac{1}{2}\right) \\ \overline{OA}=\left|a^2\right|=a^2 \\ \overline{OT}=\left|-a^2\right|=a^2 \\ \overline{OA}=\overline{OT} \end{gathered}$$

28) أثبت أن $AN=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} \overline{AN}=\overline{ON}-\overline{OA} \\ =a^2+\frac{1}{2}-a^2=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

حل أسئلة كتاب التمارين

أجد $\frac{ds}{dt}$ لكل مما يأتي:

$1) s=10\sqrt{t}$

$\frac{ds}{dt}=\frac{s}{\sqrt{t}}$

$2) s=\frac{50}{t}+10$

$\frac{ds}{dt}=\frac{-50}{t^2}$

$3) s=10t^2-\frac{10}{t^2}$

$\frac{ds}{dt}=20t+\frac{20}{t^3}$

إذا كان $y=\sqrt{x}$، فأجد كلا مما يأتي:

4) إحداثيات النقطة التي تكون عندها مشتقة الاقتران تساوي  $\frac{1}{2}$

$\left(1,1\right)$

5) إحداثيات النقطة التي تكون عندها مشتقة الاقتران تساوي 1

$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

6) إذا كان الاقتران $y=\frac{{\left(x+a\right)}^2}{x}$، حيث a عدد موجب، فأجد إحداثيات النقطة التي تكون عندها مشتقة الاقتران تساوي صفرا بدلالة a.

$\left(a,a\right)$

إذا كان $f\left(x\right)=\frac{2x+5}{x}$، فأجد كلا مما يأتي:

7) مشتقة الاقتران عند النقطة $\left(10,2.5\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)=-0.05$

8) إحداثيات النقاط التي تكون عنده مشتقة الاقتران تساوي 5-.

$\left(1,7\right) \left(-1,-3\right)$

9) إذا كان الاقتران $f\left(x\right)=\frac{100}{x}$، وكانت P نقطة تقع على منحنى الاقتران إحداثياتها $\left(a,\frac{100}{a}\right)$؛ فأجد مساحة المثلث المكون من مماس منحنى الاقتران عند النقطة P والمحورين الإحداثيين.

مساحة المثلث = $\frac{1}{2}$× القاعدة × الارتفاع

$=\frac{1}{2}\times 2a \times \frac{200}{a}=200 \mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}$