رياضيات فصل ثاني

إثبات توازي المستقيمات وتعامدها

حل أسئلة اتحقق من فهمي :

أتحقق من فهمي : 

أجد قيمة  x التي تجعل   $\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{m}$

يكون المستقيمان m و n متوازيان إذا كانت الزاويتان المتناظرتان متطابقتان

2x + 15 = 135

2x = 135 - 15

2x = 120

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{120}}{\mathbf{2}}$

x = 60

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

في الشكل المجاور ، إذا كان  $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}$ فأثبت أن $\mathbf{g}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{h}$  باستعمال المخطط السهمي : 

                                                                                                                                                                          

الحل: 

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أثبت أن أياً من مستقيمات الشكل متوازية اعتماداً على المعطيات الآتية: 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{ }\mathbf{2}$

 $\mathbf{\angle }\mathbf{7}$ و  $\mathbf{\angle }\mathbf{2}$ متبادلتان داخلياً بالنسبة للمستقيمين a  و  b

وبما أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$  فإن   $\mathbf{a}\mathbf{\parallel }\mathbf{b}$  بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً 

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{ }\mathbf{12}$

  $\mathbf{\angle }\mathbf{6}$   ,   $\mathbf{\angle }\mathbf{12}$  متناظرتان بالنسبة للمستقيمن  L و m

وبما أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{12}$   فإن     $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$  بحسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين 

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$

 $\mathbf{\angle }\mathbf{3}$  ،   $\mathbf{\angle }\mathbf{2}$  زاويتان متحالفتان بالنسبة للمستقيمين a  و b

وبما أن     $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$    فإن  $\mathbf{a}\mathbf{\parallel }\mathbf{b}$  بحسب عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

استعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور، لأثبت أن $\mathbf{j}\mathbf{ }\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathbf{k}$  باستعمال البرهان ذي العمودين .

الحل : 

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

أتدرب وأحل المسائل : 

أجد قيمة  x التي تجعل  $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$ في كل مما يأتي : 

يكون المستقيمان  m و  n  متوازيان إذا كانت الزاويتان المتناظرتان متطابقتان

3x = 120

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{120}}{\mathbf{3}}$

x = 40

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

يكون المستقيمان n و  m متوازيان إذا كانت الزاويتان المتبادلتان خارجياً متطابقتان 

x = 180 - x

x + x = 180

2x = 180

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{180}}{\mathbf{2}}$

x = 90

................................................................................................................................................................................................................................................................................

يكون المستقيمان m  و  n متوازيان إذا كانت الزاويتان المتبادلتان داخلياً متطابقتان 

3x = 2x + 20

3x - 2x = 20

x = 20

................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

هل يمكن إثبات أن أياً من مستقيمات الشكل المجاور متوازية اعتماداً على المعطيات في كل مما يأتي؟ أبرر إجابتي باستعمال مسلمة أو نظرية .

$\mathbf{5}\mathbf{)} \mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{8}$

  $\mathbf{\angle }\mathbf{2}$  ،    $\mathbf{\angle }\mathbf{8}$  زاويتان متبادلتان داخلياً بالنسبة للمستقيمين  a و  b 

وبما أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{8}$   فإن   $\mathbf{a}\mathbf{\parallel }\mathbf{b}$  حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

6) $\mathbf{\angle }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{15}$

  $\mathbf{\angle }\mathbf{9}$  ،    $\mathbf{\angle }\mathbf{15}$  زاويتان متبادلتان خارجياً بالنسبة للمستقيمين a  و b  

وبما أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{15}\mathbf{ }$   فإن    $\mathbf{a}\mathbf{\parallel }\mathbf{b}$ حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

7) $\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{12}$

  $\mathbf{\angle }\mathbf{6}$  ،   $\mathbf{\angle }\mathbf{16}$   زاويتان متبادلتان خارجياً بالنسبة للمستقيمين L  و m

وبما أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{16}$   فإن $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{L}$ حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجي

....................................................................................................................................................................................................................................................................................$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{13}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$

  $\mathbf{\angle }\mathbf{10}$  ،    $\mathbf{\angle }\mathbf{13}$  زاويتان متحالفتان بالنسبة للمستقيمين  a و b  

وبما أن   $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{13}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$  فإن   $\mathbf{a}\mathbf{\parallel }\mathbf{b}$  حسب عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

عريش خشبي : صمم نجار عريشاً خشبياً خاصاً بنمو النباتات المتسلقة يتكون من قطع خشبية مرتبة بشكل قطري : 

9) يحتاج النجار الى أن تكون القطع الخشبية A و B و C متوازية ، فكيف يحقق ذلك من خلال $\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}$ ؟

الحل : 

حتى يكون   $\mathbf{A}\mathbf{\parallel }\mathbf{B}$  يجب أن يكون  $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$ حسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين

وحتى يكون $\mathbf{B}\mathbf{\parallel }\mathbf{C}$   يجب أن يكون   $\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}$  حسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين

إذن : حتى تكون القطع الخشبية   A و  B  و  C  متوازية يجب أن تكون      $\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}$متطابقة

.....................................................................................................................................................

10) وصل النجار القطعة الخشبية  D بحيث تكون عمودية على القطعة الخشبية A ، فهل القطعة D عمودية على القطعتين B و C ، علماً بأن النجار جعل القطع الخشبية A و B و C  متوازية ؟

أبرر إجابتي.

الحل: 

بما أن   $\mathbf{A}\mathbf{\parallel }\mathbf{B}$  و  $\mathbf{A}\mathbf{\perp }\mathbf{D}$  إذن  $\mathbf{B}\mathbf{\perp }\mathbf{D}$   حسب  نظرية القاطع العمودي

وبما أن    $\mathbf{A}\mathbf{\parallel }\mathbf{C}$ و   $\mathbf{A}\mathbf{\perp }\mathbf{D}$  إذن  $\mathbf{C}\mathbf{\perp }\mathbf{D}$   حسب نظرية القاطع العمودي 

إذن القطعة   D عمودية على القطعتين  B  و  C

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

11) استعمل المعلومات المعطاة في الشكل الاتي ، لأثبت ان $\mathbf{KM}\mathbf{\parallel }\mathbf{LN}$  باستعمال البرهان ذي العمودين

 الحل: 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) في الشكل الآتي، إذا كانت $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$  و $\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{4}$  فأثبت أن   $\mathbf{AB}\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{CD}$ باستعمال البرهان السهمي .

 

................................................................................................................................................................................................................................................................................

13) اكتشف الخطأ : يقول زياد: بما أن  $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathbf{z}$  فإن $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{z}$  في الشكل الاتي بحسب نظرية عكس القاطع العمودي ، اكتشف الخطأ في مايقوله زياد، وأصححه

الحل : 

الخطأ : لم يعطى  $\mathbf{x}\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathbf{y}$ ، إذا أعطي هذا الشرط يكون $\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{z}$  حسب نظرية عكس القاطع العمودي.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

تحد : أحدد المستقيمات المتوازية في الشكل الرباعي  QLMN في كل مما يأتي ، مبرراً إجابتي:

الحل: 

14)

$\mathbf{NM}\mathbf{\parallel }\mathbf{QL}$  لأن $\mathbf{\angle }\mathbf{Q}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{N}$   متحالفتان ومجموع قياسهما 180

       $\mathbf{LM}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{QN}$  لأن  $\mathbf{\angle }\mathbf{M}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{N}$  متحالفتان ومجموع قياسهما 180

 

15)

) 

$\mathbf{QL}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathbf{NM}$  لأن  $\mathbf{\angle }\mathbf{Q}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{N}$  متحالفتان ومجموع قياسهما 180

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

16) اكتب : كيف يمكن أن تحدد أزواج الزوايا الناتجة عن مستقيمين يقطعهما قاطع في المستوى نفسه ما إذا كان المستقيمان متوازيين أم لا ؟

الحل :

تحدد الزوايا الناتجة عن مستتقيمين يقطعهما قاطع أن المستقيمين متوازيين إذا كان : 

1) زاويتان متبادلتان داخلياً متطابقتان

2) زاويتان متبادلتان خارجياً متطابقتان

3) زاويتان متناظرتان متطابقتان

4) زاويتان متحالفتان متكاملتان

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل اسئلة كتاب التمارين : 

أحدد ما إذا كانت المعلومات الواردة في كل شكل مما يأتي كافية لإثبات أن $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$ ، وإن كانت كذلك فاستعملها لإثبات توازي المستقيمين:

بما أن الزاويتان متبادلتان داخلياً ومتطابقتان ، إذن  $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$ حسب عكس نظرية الزاويتان المتبادلتان داخلياً 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

 بما أن الزاويتان متبادلتان خارجياً ومتطابقتان ، فإن  $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$ حسب عكس نظرية  الزاويتين المتبادلتين خارجياً 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل : 

المعطيات غير كافية لاثبات أن $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

بما أن الزاويتين متناظرتين ومتطابقتين فإن   $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$  ، حسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

غير كافية لإثبات أن $\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

بما أن الزاويتين متبادلتين خارجياً ومتطابقتين إذن$\mathbf{m}\mathbf{\parallel }\mathbf{n}$ حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً .

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

7) في الشكل الاتي ، إذا كان $\mathbf{r}\mathbf{\parallel }\mathbf{s}$  و   $\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{6}$ فأثبت أن  $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$ باستعمال البرهان ذي العمودين : 

المبررات	العبارات
معطى	$\mathbf{r}\mathbf{\parallel }\mathbf{s}$
متحالفتان متكاملتان	$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$
معطى	$\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{6}$
نتيجة	$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$
حسب عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين	$\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8) في الشكل الاتي اذا كانت $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$  فاثبت ان $\mathbf{ST}\mathbf{\parallel }\mathbf{UV}$ باستعمال البرهان السهمي :

 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

أجد قيمة x التي تجعل  $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$  في كل مما يأتي : 

حتى تكون  $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$ فإنه حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً يجب ان يكون : 

7x - 38 = 178 - 3x

7x + 3x = 178 + 38

$\frac{\mathbf{10}\mathbf{x}}{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{216}}{\mathbf{10}}$

x = 21.6

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

حتى تكون $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$ فإنه حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً يكون: 

9x -11 = 8x + 4

9x - 8x = 4 + 11

x = 15

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

حتى تكون  $\mathbf{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}$ فانه حسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً يجب أن يكون 

7x - 1 = 90

7x = 90 + 1

7x = 91

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{91}}{\mathbf{7}}$

x = 13

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) نافذة : أحدد اي المستقيمات في النافذة المجاورة متوازية ، أبرر إجابتي باستعمال مسلمة أو نظرية .

المستقيمان  w , x  متوازيان لأنهما حددا على القاطع  z زاويتان متناظرتان متطابقتان

فيكون حسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين   $\mathbf{w}\mathbf{\parallel }\mathbf{x}$

المستقيمان z , y  متوازيان لان القاطع w  حدد زاويتين متناظرتين متطابقتين

فيكون حسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين  $\mathbf{z}\mathbf{\parallel }\mathbf{y}$

...................................................................................................................................................................................................................................................................................