رياضيات فصل ثاني

الثامن

icon

إثبات توازي المستقيمات وتعامدها 

أعلم أن : 

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين في المستوي نفسه فإن :

1) كل زاويتين متناظرتين متطابقتان ( مسلمة الزاويتين المتاظرتين ) 

مثال : 

 

37

 48 

51

62                        

.......................................................

2) كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتان ( نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً ) 

مثال : 

 35             

46                      

...................................

3) كل زاويتين متبادلتين خارجياً متطابقتان ( نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً ) 

مثال : 

17

28                                 

.....................................

4) كل زاويتين متحالفتين متكاملتان ( نظرية الزاويتين المتحالفتين ) 

مثال : 

 m3+m5=180°                           

m3+m6=180°

..........................................................................................................................................................................................................

مسلمة:

عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين : 

إذا قطع قاطع مستقيمين ، وينتج عن التقاطع زاويتان متناظرتان متطابقتان فإن المستقيمين متوازيان .

مثال: 

إذا كانت : 

                    Lm  فإن 26                                             

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) :

أجد قيمة x  التي تجعل     nm                                           

                                                                  

الحل :

يكون المستقيمان m و n  متوازيين إذا كانت الزاويتان المتناظرتان متطابقتين

( 2x+ 5)=65                         استعمل عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين لكتابة معادلة

2x+ 5=65

2x+ 5 - 5=65- 5

2x=60

2x2=602

x=30

إذن قيمة  x  التي تجعل المستقيمن  m و n  متوازيين تساوي  30

....................................................................................................................................................................................................................................

عكس نظريات المستقيمين المتوازيين وأزواج الزوايا:

  • عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً :                                                                       

                                           

إذا قطع قاطع مستقيمين ونتج عن التقاطع زاويتان متبادلتان داخلياً متطابقتان فإن المستقيمين متوازيان.

مثال : 

إذا كانت :        Lm   فإن  4 6

..................................................................

  • عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين : 

                                        

إذا قطع قاطع مستقيمن ونتج عن التقاطع زاويتان متحالفتان متكاملتان فإن المستقيمين متوازيان.

مثال: 

 إذا كانت:    Lm  فإن  m3+m6 =180° 

............................................................................

  • عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً : 

                                          

إذا قطع قاطع مستقيمين ونتج عن التقاطع زاويتان متبادلتان خارجياً متطابقتان

فإن المستقيمين متوازيان : 

مثال: 

إذا كانت :     L  m فإن  1  7

..........................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ): إثبات نظرية : 

في الشكل المجاور ، إذا كان  ghفأثبت45باستعمال المخطط السهمي:

                                                   

الحل: 

المعطيات:    45                              

المطلوب :    gh

               

الاثبات أسمي   1   التي تقابل بالرأس  4

 

..........................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) :

هل يمكن إثبات أن أياً من مستقيمات الشكل المجاور متوازية اعتماداً على المعطيات في كل مما يأتي ؟ 

( أبرر إجابتي باستعمال مسلمة أو نظرية )

 

1)   1 8 

8  و 1 متبادلتان خارجياً بالنسبة للمستقيمين a  و b  

وبما أن       18 فإن ab

بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً 

..........................................................................................................................................................................................................

2)   m5+m9=180°

   5و 9  متحالفتان بالنسبة للمستقيمين L  و m

وبما أن m5+m9 =180° فإن Lm

بحسب عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين.

..........................................................................................................................................................................................................

نظرية : 

نظرية الزاويتين المتجاورتين المتطابقين: 

                                                                                                            

إذا تقاطع مستقيمان لتشكيل زاويتين متجاورتين متطابقتين فإن المستقيمين متعامدان .

مثال:       12

فإن       gh

..........................................................................................................................................................................................................

نظرية القاطع العمودي : 

إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين

فإنه يكون عمودياً على المستقيم الآخر

 

hk      كان إذا : مثال                                                          

                                   jh  و

                               jk  فإن

عكس نظرية القاطع العمودي : 

إذا قطع قاطع مستقيمين وكان عمودياً على كل منهما 

فإن المستقيمين متوازيان

مثال: 

pn و  pm       كان إذا                                                          

                      mn   فإن

مثال ( 4 ) : 

إثبات نظرية : 

استعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور 

لأثبت أن r s  باستعمال البرهان ذي العمودين                                                                      

الحل: 

 

             المبررات                     العبارات
1) معطى 1) قائمتان 2 و 1
2) الزوايا القائمة متطابقة 2) 12
3) عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين 3) rs

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

 

 

 

 

Jo Academy Logo