تعلمنا سابقا كيفية إجراء العمليات الحسابية الأربعة ( الجمع والطرح والضرب والقسمة) على كثيرات الحدود لتكوين اقترانات جديدة.
أيضا يمكن تكوين اقتران جديد من الاقترانين f(X) و g(x) و ذلك عن طريق دمجهما بحيث تكون مخرجة أحدهما هي مدخلة للآخر
فتسمى عملية الدمج تركيب الاقترانات ويسمى الاقتران الناتج عن ذلك بالاقتران المركب
- يمكن تركيب الاقترانين g(x) و f(x) بطريقتين هما
1) تطبيق g اولا ثم تطبيق f على نتيجة g ويرمز له
2) تطبيق f اولا ثم تطبيق g على نتيجة f ويرمز له
مفهوم أساسي :
تركيب الاقترانات
إذا كان f(X) و g(x) اقترانين وكان مدى g(x) يقع ضمن مجال f(x) فإن الاقتران المركب يعطى كما يأتي
مثال
إذا كان f(x)= x2 +2 وكان g(x) = 3 - x ، جد ما يلي :
1. g(f(1))
= g( 1+2) f في معادلة x =1 نعوض
= g(3) بالتبسيط
= 3 - 3 g في معادلة x = 3 نعوض
= 0
2. f(g( -3))
= f( 3 -(-3))
= f(6)
= 36+2
= 38
- يمكن إيجاد قاعدة الاقتران المركب بدلالة المتغير x
مثال:
إذا كان f(x) = 2x - 3 وكان g(x) = x2 فأجد قاعدة كل من :
1. f(g(x))
= f( x2 )
= 2( x2 ) - 3
= 2 x2 - 3
نعوض g(x) = x2 مكان x في معادلة f(x)
2. g( f(x))
= g( 2x -3)
= ( 2x - 3)2
= 4x2 - 12x + 9
مجال الاقتران المركب
يتكون مجال من مجموعة قيم x من مجال g التي تكون قيم g(x) لها موجودة في مجال f. ولذلك تستثنى من مجال قيم x التي لا يكون الاقتران g معرفا عندها ( ليست ضمن مجال g) ، وقيم x التي لا يكون معرفا عندها g(x) ليست ضمن مجال f.
مثال
إذا كان و كان ، جد مجال الاقتران
مجال الاقتران (x)g هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x التي تجعل المقام صفرا .
2x -8 = 0
x = 4
مجال الاقتران (x)f هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x التي تجعل المقام صفرا .
x+2 = 0
x = -2
ولذلك نستثني قيم x التي تجعل g(x) = -2
g(x) = -2
إذا مجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء x = 4 , x = -5 أي
- يمكن النظر إلى كثير من الاقترانات بوصفها اقترانات مركبة و إيجاد اقترانين بسيطين يكافئ يركيبهما الاقتران المركب عند إذ يكون الاقترانان البسيطان مركبتي الاقتران المركب
مثال:
أجد الاقترانين f(x) و g(x) بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة h(x) = f( g(x))
1.
أفترض أن , g(x) = x +3 . وبذلك فإن :
بتعويض f( g(x)) = f( x+3) g(x) = x +3
يتعويض x +3 مكان x في معادلة f
2. h(x) = ( 2 +x2)10
أفترض أن f(x) = x10 و g(x) = 2 + x2 وبذلك ، فإن :
بتعويض f(g(x)) = f( 2+x2) g(x) = 2 +x2
=( 2 +x2)10 = h(x) 2 +x2 بتعويض
- يمكن استعمال فكرة الاقترانات المركبة في مواقف حياتية كثيرة مثل : التجارة ، والصناعة ، وغيرهما.
مثال
صناعة : وجد مدير مصنع للأثاث أن تكلفة إنتاج q من خزانات الكتب في فترة العمل الصباحية بالدينار هي : C(q) = q2 +2q +800 . إذا كان عدد خزانات الكتب التي يمكن إنتاجها في t ساعة في الفترة الصباحية هي : , q(t) = 20t فما تكلفة الإنتاج بدلالة t ؟ كم دينارا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة ؟
لإيجاد تكلفة الإنتاج بدلالة t ، أعوض قيمة q(t) في معادلة التكلفة ، فأكون اقترانا مركبا هو :
تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي :
400(16) + 40(4) + 800 = 7360
إذا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : 7360 دينارا