رياضيات فصل ثاني

العاشر

icon

تعلمنا سابقا كيفية إجراء العمليات الحسابية الأربعة ( الجمع والطرح والضرب والقسمة) على كثيرات الحدود لتكوين اقترانات جديدة.


أيضا يمكن تكوين اقتران جديد من الاقترانين f(X) و g(x) و ذلك عن طريق دمجهما بحيث تكون مخرجة أحدهما هي مدخلة للآخر 

فتسمى عملية الدمج     تركيب الاقترانات ويسمى الاقتران الناتج عن ذلك بالاقتران المركب 

  • يمكن تركيب الاقترانين g(x) و f(x) بطريقتين هما 

1)  تطبيق g اولا ثم تطبيق f على نتيجة g ويرمز له ( fg)

2) تطبيق f اولا ثم تطبيق g على نتيجة f ويرمز له ( gf)

مفهوم أساسي :

تركيب الاقترانات 

إذا كان f(X) و g(x) اقترانين وكان مدى g(x) يقع ضمن مجال f(x) فإن الاقتران المركب (fg)(x) يعطى كما يأتي   ( fg)(x) =f(g(x))

مثال 

إذا كان f(x)= x2 +2  وكان  g(x) = 3 - x ، جد ما يلي :

1. ( gf)(1) =g(f(1)) = g( 1+2) = g(3)=3-3=0        

 

 2.  ( fg)(-3) =f(g( -3))  = f( 3 -(-3)) = f(6)= 36+2= 38 


  • يمكن إيجاد  قاعدة الاقتران المركب بدلالة المتغير x

مثال:

إذا كان f(x) = 2x - 3 وكان g(x) = x2 فأجد قاعدة كل من : 

1. (fg)(x) = f(g(x)) = f( x2 ) = 2( x2) - 3 = 2 x2- 3

 

 2. ( gf)(x) = g( f(x)) = g( 2x -3) = ( 2x - 3)2= 4x2 - 12x + 9

     


مجال الاقتران المركب

يتكون مجال ( fg)(x) من مجموعة قيم x من مجال g التي تكون قيم  g(x)  لها موجودة في مجال f. ولذلك تستثنى من مجال ( fg)(x) قيم x  التي لا يكون الاقتران  g معرفا عندها ( ليست ضمن مجال g) ، وقيم x التي لا يكون  f(g(x))  معرفا عندها g(x) ليست ضمن مجال f.

مثال 

إذا كان f(x) =-3x +2  و كان g(x) = 42x - 8  ، جد مجال الاقتران ( fg)(x)

مجال الاقتران (x)g هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x  التي تجعل المقام صفرا .

2x -8 = 0        x = 4

مجال الاقتران (x)f هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x  التي تجعل المقام صفرا .

x+2 = 0     x=-2

 

ولذلك نستثني قيم x التي تجعل g(x) = -2 

g(x) = -2

42x -8 = -2      4 = -2( 2x - 8)

    4 = -4x +16      -20 = 4x        x = -5

إذا مجال ( fg)(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء  x = 4 , x = -5 أي  x : x 4 , x -5 


  •  يمكن النظر إلى كثير من الاقترانات بوصفها اقترانات مركبة و إيجاد اقترانين بسيطين يكافئ يركيبهما الاقتران المركب عند إذ يكون الاقترانان البسيطان مركبتي الاقتران المركب 

مثال:

أجد الاقترانين f(x) و g(x)  بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة  h(x) = f( g(x)) 

1. h(x) =1x + 3

أفترض أن    f(x) =1x ,  g(x) = x +3 . وبذلك فإن :

بتعويض f( g(x)) = f( x+3)                                         g(x) = x +3

يتعويض  x +3  مكان x  في معادلة  f                                     =1x +3 = h(x)               

2. h(x) = ( 2 +x2)10

أفترض أن f(x) = x10 و g(x) = 2 + x2  وبذلك ، فإن :

بتعويض   f(g(x)) = f( 2+x2)                                                           g(x) = 2 +x2  

                                                    =( 2 +x2)10  = h(x)                                                               2 +x2      بتعويض                                               


  • يمكن استعمال فكرة الاقترانات المركبة في مواقف حياتية كثيرة مثل : التجارة ، والصناعة ، وغيرهما.

مثال

صناعة : وجد مدير مصنع للأثاث أن تكلفة إنتاج q من خزانات الكتب في فترة العمل الصباحية بالدينار هي : C(q) = q2 +2q +800 . إذا كان عدد خزانات الكتب التي يمكن إنتاجها في t ساعة في الفترة الصباحية هي :   0t5    ,   q(t) = 20t فما تكلفة الإنتاج بدلالة t ؟ كم دينارا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة ؟

لإيجاد تكلفة الإنتاج بدلالة t ، أعوض قيمة q(t)  في معادلة التكلفة ، فأكون اقترانا مركبا هو ( cq)(t):

( cq)(t) = c (20t)= (20t)2 + 2(20t) +800 = 400t2 + 40t + 800

تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : ( cq)(4)

( cq)(4) =400(16) + 40(4) + 800 = 7360   

إذا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : 7360 دينارا   


                                                                      

              

Jo Academy Logo