2امتحان رياضيات توجيهي 2006 - استاذ اسامة العكور

1) l و m طريقان مستقيمان متعامدان في النقطة .C . تقع محطة وقود على الطريق m وتبعد km 12 عن نقطة التقاطع C. إذا تحركت سيارة على الطريق 1 بسرعة km/h 26 في اتجاه نقطة التقاطع C ، فما معدل تغيّر المسافة بين السيارة ومحطة الوقود عندما تكون السيارة على بعد  5 km من نقطة التقاطع؟

2) مثلث متطابق الضلعين طول كل من ضلعيه المتطابقين 10cm ، وقياس الزاوية بينهما $\mathit{\theta }$ إذا تغيّرت $\mathit{\theta }$ بمعدل rad/min  $\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{60}}$، فإن معدل تغيّر مساحة المثلث عندما $\mathit{\theta }\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$ هو:

              $\mathit{a}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{/}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{/}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}$

$\mathit{c}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{12}}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{/}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{12}}\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{/}\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}$

3) إذا كان   $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathbf{3}}^{{}^{\mathbf{(}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}}$ ، فإنّ قيمة x التي يكون للاقتران عندها مماس أفقي هي:

4) إذا كان  ${\mathit{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{cos}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}{\mathit{e}}^{\mathbf{l}\mathbf{n}\mathbf{x}}\mathbf{\right)}$ ، فإنّ ميل المماس لمنحى العلاقة y  عند النقطة (1 , 1) هو:

$\mathit{a}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{ }}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{ }}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }$

 (5إذا كان: $\mathit{y}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{>}\mathit{\theta }$  ، فإن  $\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}\mathbf{(}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{)}$ هي: 

$\mathit{d}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}{\mathbf{(}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{)}$               $\mathit{c}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{l}\mathbf{n}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$        $\mathit{b}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathbf{\left(}\mathbf{ln}\mathit{x}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{)}$       $\mathit{a}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{l}\mathbf{-}\mathbf{l}\mathbf{n}\mathbf{ }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

 6) إذا كان   $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{x}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{\ne }\mathbf{0}$  ، فإنّ القيمة العظمى المطلقة للاقتران (f(x  في الفترة  [-6 , -1] هي:

$\mathit{a}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{3}}$

7) معتمدًا الشكل الآتي الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران f(x)  ، ما الفترة (الفترات) التي يكون فيها منحنى الاقتران f(x)   مقعرًا لأعلى؟

 (8يمثل الاقتران   $\mathit{S}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{6}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$   موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث S الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني. ما الفترة الزمنية التي يتحرك فيها الجسم في الاتجاه السالب؟