درس الدرس الثاني : قسمة كثيرات الحدود ، والاقترانات النسبية

إن قسمة كثير حدود على آخر تشبه كثيرا عملية قسمة عدد كلي على آخر؛ إذ تتبع الخطوات نفسها في كلتا الحالتين. يُمكن قسمة كثير الحدود f(x) على كثير الحدود h(x) إذا كانت درجة f(x) أكبر من أو تساوي درجة h(x).

لقسمة كثير حدود على آخر اكتب المقسوم والمقسوم عليه بالصورة القياسية. وإذا كانت إحدى قوى المتغير في المقسوم مفقودة ، فإني أضيفها في موقعها ، وأكتب معاملها 0.

يُمكن التحقق من صحة القسمة بضرب الناتج في المقسوم عليه، وإضافة الباقي. فإذا كانت النتيجة مساوية للمقسوم كان الحل صحيحا.

>> مثال توضيحي

إذا كان f(x) و h(x) كثيري حدود ، وكانت درجة f(x) أكبر من أو تساوي درجة h(x) ، و h(x) لا يساوي صفرا ، فإنه يوجد كثيرا حدود وحيدان ، هما : q(x) (ناتج القسمة) ، و r(x) (باقي القسمة) ، ودرجته أصغر من درجة h(x) ، حيث :

إذا كان r(x) = 0 ، فإنّ f(x) يقبل القسمة على h(x) ، ويكون h(x) أحد عوامل f(x).

>> مفهوم أساسي 

الاقتران النسبي : اقتران تكون قاعدته (معادلته) بصورة  ، حيثُ إن g(x) لا يساوي صفرا ، و g(x) , f(x) كثيرا حدود.

مجال الاقتران النسبي : مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء الأعداد التي تجعل المقام يساوي صفرا.

>> مثال توضيحي

من أبسط الاقترانات النسبية الاقتران f(x) = 1 ÷ x الذي يُسمى اقتران المقلوب ، ومنه تتولد اقترانات نسبية كثيرة.

يُمكن تمثيل هذا الاقتران في الفترة [-4 , 4] مثلا بإنشاء جدول قيم مع استثناء 0 ؛ لأنه ليس من مجاله.

أُخذت قيم صغيرة للمتغير x قريبة من الصفر لتمثيل الاقتران بدقة؛ فالقيم الصحيحة وحدها لا تُمثل الصورة كاملة، وإنما تكون الصورة مُجتزأة ناقصة.

نلاحظ من الشكل الخصائص الآتية لاقتران المقلوب :

- كلما اقتربت x من الصفر اقترب المنحنى من المحور y. ولذلك يكون المحور y الذي معادلته x = 0 خط تقارب رأسي للمنحنى f(x) = 1/x.

- كلما زادت قيمة |x| اقترب المنحنى أكثر وأكثر من المحور x. ولذلك يكون المحور x الذي معادلته y = 0 خط تقارب أفقي لهذا المنحنى.

- منحنى اقتران المقلوب f(x) = 1/x لا يقطع المحورين أبدا، ولكنه يقترب كثيرا منهما.

- للمنحنى محورا تماثل ، هما المستقيمان :
y = -x , y = x

نلاحظ من الرسم أن مدى الاقتران f(x) = 1/x هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر.

وباستعمال رمز المجموعات، يُكتب مداه كما يأتي :