رياضيات فصل أول

العاشر

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

حل نظام مكوّن من معادلتين تربيعيتين بمتغيرين .

لحل نظام يتكون من معادلتين تربيعيتين، نُساوي أولًا المعادلتان بعضهما ببعض لتكوين معادلة تربيعية واحدة.

مثال:

أحل نظام المعادلات الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل:

$y = x^{2} + 4 x - 3 y = - x^{2} + 2 x - 3$

للنظام حلين مختلفين. ولكي نتحقق من ذلك جبريا.

بداية، يجب مساواة معادلتي النظام المعطى، ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة:

مساواة المعادلتين $x^{2} + 4 x - 3 = - x^{2} + 2 x - 3$

ثم تجميع الحدود $2 x^{2} + 2 x = 0$

أحل المعادلة التربيعية الناتجة باستعمال التحليل:

تحليل المعادلة التربيعية الناتجة $2 x (x + 1) = 0$

وايجاد الحلول $x = - 1, x = 0$

لإيجاد قيمة y، أعوض قيمتي x في أي من معادلتي النظام:

الحالة الأولى: إذا كانت $x = 0$

$y = 0 + 2 (0) - 3 \Rightarrow y = - 3$

إذن،الحل الأول للمعادلة هو: $(x, y) (0, - 3)$

الحالة الثانية: إذا كانت $x = - 1$

$y = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 3 \Rightarrow y = - 6$

إذن، الحل الثاني للمعادلة هو: $(x, y) = (- 1, - 6)$

إذن، حل النظام هو: $(- 1, - 6), (0, - 3)$

قد يتقاطع منحنيا معادلتين تربيعيتين في نقطة واحدة فقط، وعندئذ يكون لنظام المعادلات الذي تكونه هاتان المعادلتان حل واحد

مثال: من الحياة

سباقات: في أحد سباقات المراحل، سلك متسابق مساراً تمثله المعادلة التربيعية: $y = x^{2}$

في حين سلك متسابق آخر مساراً تمثله المعادلة: $x^{2} + 3 x = y + 2$

أجد نقطة التقاطع بين مساري المتسابقين

الحل:

اكتب المعادلة $(x^{2} + 3 x = y + 2)$ بالصورة القياسية (بدلالة y)

$x^{2} + 3 x - 2 = y$

$y = x^{2} + 3 x - 2$

بداية، يجب مساواة معادلتي النظام المعطى، ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة:

$x^{2} + 3 x - 2 = x^{2}$

$x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} = 0$

$3 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

بعد ذلك اجد قيمة y، وذلك بتعويض قيمة $(x = \frac{2}{3})$ في اي من معادلتي النظام:

$y = {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 (\frac{2}{3}) - 2 \Rightarrow y = \frac{4}{9}$

إذن، حل نظام المعادلات هو: $x = \frac{2}{3} ، y = \frac{4}{9}$ ونقطة تقاطع المنحنيين هي: $(\frac{2}{3}, \frac{4}{9})$

عرضنا في المثالين السابقين انظمة معادلات تربيعية لها حلان او حل واحد.

ولكن، هل يوجد دائما حل للنظام المكون من معادلتين تربيعيتين؟ ادرس المثال الاتي:

مثال:

احل نظام المعادلات الآتي:

$y = x^{2} + x + 2$

$y = - x^{2} - x + 1$

بداية، يجب مساواة معادلتي النظام المعطى، ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة لايجاد قيمة (x) .

$x^{2} + x + 2 = - x^{2} - x + 1$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

بعد ذلك اجد قيمة المميز: $(∆ = b^{2} - 4 a c)$ لتحديد اذا كان للمعادلة التربيعية الناتجة حل او لا.

حيث أن قيم المعاملات هي: $(a = 2, b = 2, c = 1)$ وبالتعويض في المميز ينتج:

$∆ = {(2)}^{2} - 4 (2) (1) = - 4$

قيمة المميز سالبة. اذن، لا يوجد حل للمعادلة. ومنه لا يوجد حل لهذا النظام

عرضنا في الامثلة السابقة انظمة لها حلان، او حل واحد، او ليس لها حل.

ولكن، هل يوجد نظام مكون من معادلتين تربيعيتين، له ثلاثة حلول، او اربعة؟ ادرس المثال الاتي:

مثال:

احل نظام المعادلات التربيعية الاتي، ثم اتحقق من صحة الحل:

$x^{2} + y^{2} = 13$

$x^{2} - y = 7$

عند تمثيل المعادلتين بيانيا كما في الشكل أدناه ، يلاحظ وجود (4) نقاط تقاطع بين منحنييهما؛

ما يعني وجود اربعة حلول لنظام المعادلتين. اتحقق من ذلك جبريا.

يظهر المتغير (x) في كلتا المعادلتين بالقوة نفسها؛ لذا يمكنني استعمال الحذف للتخلص من هذا المتغير،

ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة التي تحوي متغيرا واحدا هو (y).

$x^{2} + y^{2} = 13$

$(-) (x^{2} - y = 7)$

$y^{2} + y = 6$

$y^{2} + y - 6 = 0$

يمكنني حل المعادلة التربيعية الناتجة باستعمال القانون العام، او التحليل:

$(y + 3) (y - 2) = 0$

$\Rightarrow y = - 3, y = 2$

اعوض قيمتي y في احدى معادلتي النظام لايجاد قيم x :

$x^{2} = - 3 + 7 \Rightarrow x = \pm 2$

$x^{2} = 2 + 7 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

اذن، توجد اربعة حلول للنظام، هي: $(- 3, 2) و ، (3, 2) و ، (2, - 3) و ، (- 2, - 3)$

اتحقق من صحة هذه الحلول بتعويضها في كل من معادلتي النظام .

رياضيات فصل أول

العاشر

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS