مشتقة اقتران القوة

نتاجات الدرس:
- اشتقاق اقتران القوة .
- إيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

التعريف العام للمشتقة: وهي طريقة يتم من خلالها إيجاد مشتقة اقتران عند أي نقطة.
مشتقة الاقتران f بالنسبة الى المتغير x هي $f^{\text{'}}$  الذي قيمته عند x هي: 
$f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

وبشرط وجود النهاية .

---

مثال (1): جد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=4x^2+1$ باستعمال التعريف العام للمشتقة عندما $x=-1$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ $f^{\text{'}}(-1)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{4{(h-1)}^2+1-5}{h}$ $f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2h^2-8h+4-4}{h}=\underset{h\to 0}{lim}(4h-8)=-8$

مثال (2): جد مشتقة الاقتران $y=8-x^2$ باستعمال التعريف العام للمشتقة عندما

$\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ $=\underset{h\to 0}{lim}\frac{8-{(x+h)}^2-8+x^2}{h}$ $=\underset{h\to 0}{lim}\frac{8-x^2-2xh-h^2-8+x^2}{h}$ $=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-2xh-h^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h(-2x-h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}(-2x-h)=-2x$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-2x$

تدريب: جد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=x^2+x$ باستعمال التعريف العام للمشتقة ، عندما $x=2$

تدريب: جد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-1$ باستعمال التعريف العام للمشتقة

---

• مشتقة اقترانات القوّة: 

يسمى الاقتران $f\left(x\right)=x^n$ حيث n عدد حقيقي ، اقتران قوّة 

ومن الأمثلة على ذلك: $f\left(x\right)=2x^8 , g\left(x\right)=\frac{2}{x^4}$  

- إن إيجاد المشتقة باستعمال التعريف العام للمشتقة ليس سهلاً في كثير من الاحيان ، ولكن توجد قواعد تسهل عملية إيجاد المشتقة ومنها : مشتقة اقتران القوّة .

إذا كان: $y=x^n$ حيث n عدد حقيقي ، فإنّ: $\frac{dy}{dx}=n{x}^{n-1}$

---

- مثال (3): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي : 

1) $y=x^{-11}$                2) $y=\frac{1}{x^5}$                   3) $y=\sqrt[3]{x^5 }$

الإجابة:

1) $\frac{dy}{dx}=-11x^{-12}=\frac{-11}{x^{12}}$ 

2) $\frac{dy}{dx}=-5x^{-6}=\frac{-5}{x^6}$

3) $y=\sqrt[3]{x^5 } \Rightarrow y=x^{\frac{5}{3}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}}=\frac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$

---

- تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي : 

1) $y=3\sqrt[3]{x}$                    2) $y=10x^5$                  3) $y=\frac{2}{x^6}$ 

---

- توجد أيضاً بعض القواعد التي تسهل إيجاد مشتقة الاقترانات التي بعض حدودها اقترانات قوّة .

مشتقة الثابت :
 اذا كان y=c عدد حقيقي ، فإن $\frac{dy}{dx}=0$ ، أي إن مشتقة الثابت تساوي صفراً .
مشتقة مضاعفات القوة :
 اذا كان $y=a{x}^n$ ، حيث a,n عددان حقيقيان ، فإن $\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1}$
مشتقة المجموع ومشتقة الفرق :
 اذا كان $y=u\left(x\right)\pm v\left(x\right)$  ، حيث $u$ و $v$ اقترانا قوة ، فإن $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}$

---

- مثال (4): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

1) $y=\sqrt{x}+\frac{4}{x^2}$           2) $y=\frac{x^5-8x^6}{4x}$

الإجابة:

1) $y=x^{\frac{1}{2}}+4x^{-2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{-1}{2}}-8x^{-3}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{8}{x^3}$

2) $y=\frac{1}{4}{x}^4-2x^5$

$\frac{dy}{dx}=x^3-10x^4$

---

- تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

1) $y=10x-\frac{6}{\sqrt{x}}$                   2) $y=\frac{1+\sqrt{x}}{x}$

---

معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عند نقطة: أن مماس منحنى الاقتران عند نقطة ما هو مستقيم يمس منحنى الاقتران عند هذه النقطة كما في الشكل الآتي ، حيث يمثل المستقيم L مماساً لمنحنى الاقتران f(x) عند النقطة P.

وتذكر أيضاً: أنّ المشتقة عند نقطة واقعة على منحناه هي ميل المماس عند هذه النقطة . أي ان: $f^{\text{'}}\left(x\right)=m$ ويمكن استعمال المشتقة لإيجاد معادلة مماس منحنى الاقتران عند النقطة نفسها .

 

معادلة مماس منحنى الاقتران : 
إذا كان f(x) اقتراناً ، فإن معادلة مماس منحنى f(x) عند نقطة التماس (a,f(a)) هي : 
$y-f\left(a\right)=f^{\text{'}}\left(a\right)(x-a)$

 

معادلة العمودي على المماس : 
إذا كان f(x) اقتراناً ، وكان : f'(a)≠0 ، فإن معادلة العمودي على المماس لمنحنى f(x) عند نقطة التماس (a,f(a)) هي : 
$y-f\left(a\right)=\frac{-1}{f^{\text{'}}\left(a\right)}(x-a)$

 

- نقطة التماس هو مستقيم يصنع زاوية قائمة مع مماس منحنى الاقتران عند هذه النقطة ، ويمكن استعمال ميل المماس لإيجاد ميل العمودي على المماس ومعادلته.

---

مثال (5): اذا كان الاقتران $y=8x-\frac{1}{x}$ ، فأستعمل المشتقة لإيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عن النقطة $(0.25,-2)$.

الإجابة:

$y=8x-\frac{1}{x} , (0.25,-2)$

$\frac{dy}{dx}=8+\frac{1}{x^2}$

$m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=0.25}=8+\frac{1}{(0.25{)}^2}=24$

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y+2=24(x-0.25)$

$y+2=24x-6$

$y=24x-8 \mathrm{المماس} \mathrm{معادلة}$

- ميل العمودي على المماس: $\frac{-1}{24}$

$y-y_1=\frac{-1}{m}(x-x_1)$

$y+2=\frac{-1}{24}(x-0.24)$

$y+2=\frac{-1}{24}x+\frac{1}{96}\Rightarrow y=\frac{-1}{24}x-\frac{91}{96}$

---

• إيجاد نقطة التماس إذا عُلم ميل المماس: 
وسنتعلم ذلك من خلال الامثلة الآتية 
 

مثال (6) : جد أحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=1-\sqrt{x}$ ، التي يكون عندها ميل المماس $\frac{-1}{4}$

الإجابة:

$f\left(x\right)=1-\sqrt{x}$

- نجد الاحداثي  xلنقطة التماس .

$f\left(x\right)=1-x^{\frac{1}{2}}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}} \\ -\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{4} \\ -4=-2\sqrt{x} \\ 2\sqrt{x}=4 \to x=4 \end{gathered}$$

- نجد الاحداثي y لنقطة التماس .$f\left(4\right)=1-\sqrt{4}=-1$

- اذن احداثي نقطة التماس هو: $(4,-1)$

---

تذكر إن : ميل المماس الأفقي يساوي صفراً ، 

إذن: $m=f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

مثال (7) : جد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=-x^3+3x^2-2$ التي يكون عندها المماس أفقياً .
الاجابة: 
$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x^2+6x=0 \\ -2x(x-3)=0 \\ x=0,x=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=-2 \\ f\left(3\right)=-27+27-2=-2 \end{gathered}$$

- اذن احداثي نقطة التماس  التي يكون عندهما المماس افقياً هو: $(0,-2)،(3,-2)$

 

تدريب: اذا كان الاقتران $y=x^2-x$ فأستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي :
1) معادلة المماس عندما x=4
2) معادلة العمودي على المماس عندما x=4
 

---

تدريب : جد احداثيي النقطة او النقاط الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-4x^2-4$ التي يكون عندها المماس أفقياً .