ضرب الأعداد النسبية وقسمتها

مفاهيم أساسية : 

عندَ ضربِ كسرينِ، أضربُ البسطَ في البسطِ، ثمَّ أضربُ المقامَ في المقامِ. 

$\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{و}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{حيث}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{\times }\mathbf{c}}{\mathbf{b}\mathbf{\times }\mathbf{d}}$

مثال 1 : أجدُ ناتجَ الضَّربِ في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

$\frac{2}{7}\times \frac{1}{6}=\frac{{\cancel{2}}^{\mathbf{1}}}{7}\times \frac{1}{{\cancel{6}}^{\mathbf{3}}}$                          أقسمُ كلًّ منَ العددينِ 2 و 6 على عاملِهِما المشتركِ الأكبرِ 2

$$\begin{gathered} =\frac{1\times 1}{7\times 3} \\ =\frac{1}{21} \end{gathered}$$                                     أضربُ البسطينِ، وأضرِبُ المقاميِْن

2) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{9}}$

$-\frac{3}{8}\times \frac{2}{9}=-\frac{{\cancel{3}}^{\mathbf{1}}}{{\cancel{8}}^{\mathbf{4}}}\times \frac{{\cancel{2}}^{\mathbf{1}}}{{\cancel{9}}^{\mathbf{3}}}$                   أقسمُ كلًّ منَ العددينِ3 و 9 على عاملِهِما المشتركِ الأكبرِ 3 وأقسمُ كلًّ منَ العددينِ 2 و 8 على عاملِهِما المشتركِ الأكبرِ 2

$$\begin{gathered} =\frac{-1\times 1}{4\times 3} \\ =-\frac{1}{12} \end{gathered}$$                                       أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضربُ البسطينِ، وأضرِبُ المقاميِْن

3) $\mathbf{-}\mathbf{2}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{4}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

$-2\frac{1}{2}\times 4\frac{2}{3}=-\frac{5}{2}\times \frac{14}{3}$                أحوّلُ الأعدادَ الكسريّةَ إلى كُسورٍ غيرِ فِعليّةٍ 

$=\frac{5}{{\cancel{2}}^{\mathbf{1}}}\times \frac{{\cancel{14}}^{\mathbf{7}}}{3}$                                   أقسمُ على العواملِ المشتركةِ

$$\begin{gathered} =\frac{-5\times 7}{1\times 3} \\ =-\frac{35}{3} \end{gathered}$$                                       أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضربُ البسطينِ، وأضرِبُ المقاميِْن

 

يمكنُ ضربُ عددَيْنِ نسبيَّيْنِ على صورةِ كسريْنِ عشرِيَّيْنِ، بحيثُ نطبِّقُ قواعدَ ضرْبِ الأعدادِ الصحيحةِ لتحديدِ إشارةِ الناتِجِ.

مثال 2: أجِدُ ناتِجَ الضّربِ في كلٍّ ممّا يأتي:

1)$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{\times }\mathbf{-}\mathbf{8}$

$-25\times -8=200$                            أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضرِبُ العَددَينِ منْ دونِ فَواصِلَ

$$\begin{gathered} -2.5\times -8=20.0 \\ =20 \end{gathered}$$                          أضعُ الفاصِلةَ العَشْريّةَ بعدَ مَنزلَةٍ عَشْريّةٍ واحدةٍ منَ اليمينِ

2) $\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{\times }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{64}$

$-125\times 164=-20500$                 أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضرِبُ العَددَينِ منْ دونِ فَواصِلَ

$$\begin{gathered} -1.25\times 1.64 =-2.0500 \\ =-2.05 \end{gathered}$$             أضعُ الفاصِلةَ العَشْريّةَ بعدَ 4 منازِلَ منَ اليمينِ

3) $\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$                              لِضَربِ العَددَينِ النّسبِيّينِ نكتبُهُما بالصورةِ نفْسِها.

الطريقةُ 1 : كتابتُهما بصورةٍ عَشْريّةٍ.

$$\begin{gathered} -4.2\times 1\frac{1}{2}=-4.2\times 1.5 \\ =-6.30 \\ =-6.3 \end{gathered}$$

الطريقةُ 2 : كتابتُهما بصورةِ كسرٍ غيرِ فعليٍّ.

$$\begin{gathered} -4.2\times 1\frac{1}{2}=-4\frac{2}{10}\times 1\frac{1}{2} \\ =\frac{-42}{10}\times \frac{3}{2} \\ = \frac{-126}{20} \\ = \frac{-63}{10} \\ = - 6\frac{3}{10} \end{gathered}$$

إذا كانَ ناتجُ ضربِ عددينِ يساوي (1) فإنَّ كلًّ منهُما يسمّى نظيرًا ضربيًّا للآخرِ، أوْ مقلوبًا للعددِ الآخرِ. فمثلً، يُسمّى كلٌّ مِنَ العددينِ النِّسبيَّينِ $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$نظيرًا ضربيًّا للآخرِ؛ لأنَّ حاصلَ ضربِِهما هوَ 1

 

قسمةُ الأعدادِ النِّسبِيَّةِ

مفاهيم أساسية :

لقِسمةِ العددِ النّسبِيِّ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ على العدَدِ النِّسبيِّ $\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}$أضرِبُ في النَّظيرِ الضَّربِيِّ(مقلوبٌ) $\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}$ ثم أطبق قواعدَ ضربِ الأعدادِ الصّحيحَةِ؛ لتَحديدِ إشارةِ ناتِجِ القِسمةِ.

$\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{و}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{حيث}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{÷}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{\times }\mathbf{d}}{\mathbf{b}\mathbf{\times }\mathbf{c}}$

مثال 3:أجدُ ناتجَ القسمةِ في أبسطِ صورةٍ:

1) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{÷}\left(-\frac{3}{5}\right)$

$-\frac{1}{4}÷\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{1}{4}\times \left(-\frac{5}{3}\right)$         أضربُ في النَّظيرِ الضَّربِِّي للعددِ $-\frac{3}{5}$

$$\begin{gathered} =\frac{-1\times -5}{4\times 3} \\ =\frac{5}{12} \end{gathered}$$          أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضربُ البسطينِ، وأضربُ المقامَيِْن 

2) $\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{÷}\left(2\frac{1}{3}\right)$

$-3÷\left(2\frac{1}{3}\right)=-3÷\frac{7}{3}$                  أكتبُ كلًّ منَ المقسومِ والمقسومِ عليْهِ على صورةِ كسر $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$

$=-\frac{3}{1}\times \frac{3}{7}$                 أضربُ في النَّظيرِ الضَّربيِّ للمقسومِ عليْهِ 

$$\begin{gathered} =\frac{-3\times 3}{ 1\times 7} \\ =-\frac{9}{7} \end{gathered}$$                 أحدِّدُ إشارةَ الناتجِ، ثمَّ أضربُ البسطينِ، وأضربُ المقامَيِْن

$=-1\frac{2}{7}$               أُحوِّلُ الكسرَ غيرَ الفِعِْلِّي إلى عددٍ كسريٍّ

 

مثال 4: أجِدُ ناتِجَ القِسمةِ في كلٍّ ممّا يأتي:

1)$\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{56}\mathbf{÷}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{24}$

$-7.56÷0.24=\frac{-7.56\times 100}{0.24\times 100}=\frac{-756}{24}$         أضربُ في $\frac{100}{100}$لأنَّ 0.24 تحتوي على منزِلتيِْ عشريَّتيِْن

$= -31.5$                                     أقسم قسمة طويلة 

2) $\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{28}\mathbf{÷}\mathbf{-}\mathbf{9}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$-2.28÷-9\frac{1}{2}=-2.28÷-9.5$                     احول الكسر العادي  الى كسر عشري 

$=\frac{-2.28\times 10}{-9.5\times 10}=\frac{-22.8}{-95}$        اضرب في $\frac{10}{10}$لأنَّ 9.5 - تحتوي على منزلةٍ عشريّةٍ واحدةٍ

$=0.24$                                      أقسم قسمة طويلة