ضرب الأسس النسبية وقسمتها

تذكر  :

تعلمت سابقاً مجموعة من قوانين الأسس الصحيحة

 

1- ضرب القوى                                 $a^m\times a^n=a^{m+n}$

2- قسمة القوى                      $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , a\ne 0$ 

3- قوة القوى                                    ${\left(a^m\right)}^n = a^{m\times n}$
 

4- قوة ناتج الضرب                         ${\left(ab\right)}^n = a^n\times b^n$

5- قوة ناتج القسمة               ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n = \frac{a^n}{b^n} , b\ne 0$

6- الأس الصفري                          $a^0 = 1 , a\ne 0$

7- الأسس السالبة                      $a^{-n} = \frac{1}{a^n} , a\ne 0$

 

 

يظهر في بعض الأحيان قانون قوة ناتج القسمة على الصورة ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}$ الذي يمكن كتابته باستعمال قوة موجبة على الصورة ${\left(\frac{b}{a}\right)}^n$

وبصورة عامة، لأي عددين a و b حيث $a,b \ne 0$ و n عدد صحيح فإن :

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} = {\left(\frac{b}{a}\right)}^n$ 

 

تنطبق جميع قوانين الأسس أعلاه على الأسس النسبية، ويمكن استعمالها لإيجاد قيمة مقدار عددي يحوي أسسا نسبية.

 

---

مثال 1 : أجد قيمة كل مما يأتي بأبسط صورة :

 

1- ${64}^{\frac{1}{5}} \times 2^{\frac{4}{5}}$

    $64 = 2^6$                           ${64}^{\frac{1}{5}} \times 2^{\frac{4}{5}} = {\left(2^6\right)}^{\frac{1}{5}} \times 2^{\frac{4}{5}}$

قاعدة قوة القوة                        $= 2^{\frac{6}{5}} \times 2^{\frac{4}{5}}$

قاعدة ضرب القوة                         $= 2^{\frac{6}{5}+\frac{4}{5}}$

أجمع                                                  $= 2^{\frac{10}{5}}$

أبسط                                                                                               $= 2^2 = 4$

---

2- $\sqrt[3]{125\times 5^6}$

تعريف الأسس النسبية       $\sqrt[3]{125\times 5^6} = {\left(125\times 5^6\right)}^{\frac{1}{3}}$

                              b $125 = 5^3$               ,        $= {\left(5^3\times 5^6\right)}^{\frac{1}{3}}$

قاعدة ضرب القوى                      $= {\left(5^9\right)}^{\frac{1}{3}}$

قاعدة قوة القوة                               $= 5^3$

أبسط                                              $=125$

 

3- $\frac{\sqrt[8]{81}}{\sqrt[4]{3}}$

تعريف الأسس النسبية                 $\frac{\sqrt[8]{81}}{\sqrt[4]{3}}= \frac{{81}^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}{3^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

$81 = 3^4$                                      $= \frac{{\left(3^4\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}{3^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

قاعدة قوة القوة                              $= \frac{3^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{3^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

قاعدة قسمة القوى                    $= 3^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$

أبسط                                                 $= 3^{\frac{1}{4}}$

الصورة الجذرية                                  $= \sqrt[4]{3}$

 

4- ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}$

قاعدة:  ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} ={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$                    ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}} = {\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}$

 

قاعدة قوة ناتج القسمة                       $= \frac{{27}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{8^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

$27 = 3^3 , 8 = 2^3$                             $= \frac{{\left(3^3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{{\left(2^3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

قاعدة قوة القوة                        $= \frac{3^2}{2^2}$

أبسط                                                         $= \frac{9}{4}$

 

---

أتعلم : 

تكوين العبارة الأسية في أبسط صورة إذا كانت :

1- الأس النسبية موجبة وبأبسط صورة في كل من البسط والمقام،

2- ولا يظهر الأساس الواحد أكثر من مرة،

3- لم تتضمن العبارة قوة القوى

4- كانت الكسور والجذور جميعها في أبسط صورة

 

---

مثال 2 :أبسط كلا من العبارات الأسية الآتية مفترضا أن أياً من المتغيرات لا يساوي صفر  :

 

1- $y^{-\frac{2}{3}} \times y^{\frac{5}{3}}$

قاعدة ضرب القوى             $y^{-\frac{2}{3}} \times y^{\frac{5}{3}} = y^{-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}$

أجمع الأسس                              $= y^{\frac{3}{3}}$

أبسط                                              $= y$

 

2- $\frac{w^{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}}{w^{-3}}$

قاعدة الأسس السالبة                $\frac{w^{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}}{w^{-3}}= w^{-\frac{7}{2}} \times w^3$

قاعدة ضرب القوى                            $= w^{-\frac{7}{2}+3}$

أبسط                                                      $=w^{-\frac{1}{2}}$

قاعدة الأسس السالبة                           $= \frac{1}{w^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

 

3- ${\left(b^{\frac{3}{7}}\right)}^7$

قاعدة قوة القوة                   ${\left(b^{\frac{3}{7}}\right)}^7 = b^{\frac{3}{7}\times 7}$

أبسط                                           $= b^3$

 

---

أتعلم : 

 

تبسيط العبارات الجذرية يعني جعل دليل الجذر أقل ما يمكن، وذلك باستعمال قوانين الأسس النسبية

أولا لتسهيل عملية التبسيط، ثم إعادة كتابة الناتج في الصورة الجذرية إن أمكن.

 

عند تبسيط عبارات جذرية في مسألة تحوي جذرا زوجيا لمقدار جبري مرفوع لأس زوجي :

إذا كان أس المقدار الجبري الناتج عن التبسيط فرديا، فيتعين أخذ القيمة المطلقة للناتج لضمان أن الإجابة ليست عددا سالبا.

 

                                                       $\sqrt[6]{y^6} = \left|y\right| , \sqrt[4]{y^{12}} =\left| y^3\right| , \sqrt[4]{x^8}= x^2$

 

---

مثال 3 :أكتب كلا مما يأتي بأبسط صورة مفترضا أن أياً  من المتغيرات لا يساوي صفر :

 

1- $\sqrt[6]{8y^3}$

تعريف الأسس النسبية                $\sqrt[6]{8y^3} = {\left(8\times y^3\right)}^{\frac{1}{6}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                    $= {\left({\left(2y\right)}^3\right)}^{\frac{1}{6}}$

قاعدة قوة القوة                                  $= {\left(2y\right)}^{\frac{1}{2}}$

الصيغة الجذرية                                    $= \sqrt{2y}$

 

2- $\sqrt[5]{32p^{20}}$

تعريف الأسس النسبية                      $\sqrt[5]{32p^{20}} = {\left(32p^{20}\right)}^{\frac{1}{5}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب              $= {\left(32\right)}^{\frac{1}{5}}\times {\left(p^{20}\right)}^{\frac{1}{5}}$

       $32 = 2^5$                              $= {\left(2^5\right)}^{\frac{1}{5}}\times {\left(p^{20}\right)}^{\frac{1}{5}}$

قاعدة قوة القوة                                            $= 2p^4$

 

3- $\sqrt[4]{\frac{x^2}{y^8}}$

قاعدة قوة ناتج القسمة              $\sqrt[4]{\frac{x^4}{y^8}} = \frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{y^8}}$

قاعدة قوة القوة                      $= \frac{\sqrt[4]{x^4}}{\sqrt[4]{{\left(y^2\right)}^4}}$

أبسط                                             $=\frac{\left|x\right|}{y^2}$

 

4- $\sqrt{\frac{x}{y^5}}$

قاعدة قوة ناتج القسمة                $\sqrt{\frac{x}{y^5}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^5}}$

قاعدة قوة القوة                                      $= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2\times y}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                        $= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}\times \sqrt{y}}$

أبسط                                                          $= \frac{\sqrt{x}}{\left(y^2\right)\times \sqrt{y}}$

أنطق المقام                                    $= \frac{\sqrt{x}}{y^2\times \sqrt{y}} \times \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{y} \times \sqrt{y} = y$                                         $= \frac{\sqrt{x}\times \sqrt{y}}{y^3}$

 

---

مثال 4 : 

 

يمكن حساب مساحة سطح جسم الحيوانات الثديية بالصيغة $s = 9.75m^{\frac{2}{3}}$

حيث s مساحة السطح بالسنتيمتر المربع، وm كتلة الحيواني بالغرام.

أجد مساحة سطح جسم أرنب كتلة $3.4\times {10}^3$ غراما، وأقرب الإجابة لأقرب عدد صحيح.

 

لإيجاد مساحة سطح جسم الأرنب أعوض كتلته في الصيغة:

صيغة الأصلية                                                                                $s = 9.75m^{\frac{2}{3}}$

أعوض $m = 3.4\times {10}^3$                                                  $= 9.75{\left( 3.4\times {10}^3\right)}^{\frac{2}{3}}$

قاعدة ضرب القوى                                                 $= 9.75 \times 3.4^{\frac{2}{3}}\times {\left({10}^3\right)}^{\frac{2}{3}}$

قاعدة قوة القوة                                                          $= 9.75 \times 3.4^{\frac{2}{3}}\times {10}^2$

استعمل الآلة الحاسبة          $s = 9.75 \times 3.4^{\frac{2}{3}}\times {\left({10}^3\right)}^{\frac{2}{3}} = 2204.570003$