زوايا المثلث

يُشكِّلُ كلُّ ضِلْعينِ في مثلّثٍ زاويةً داخليةً ومجموعُ قياساتِ هذهِ الزوايا الداخليةِ الثلاثِ يساوي$\mathbf{180}\mathbf{°}$؛ أتحقّقُ منْ ذلكَ باستعمالِ ما تعلَّمْتُهُ عنِ الزوايا الناتجةِ منْ تقاطعِ مستقيمٍ معَ مستقيمينِ متوازيينِ.

عندَ رَسْمِ المستقيمِ $\overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{R}}$ الذي يوازي ضلعَ المثلّثِ $\overline{\mathbf{C}\mathbf{B}}$ نلاحظُ ما يأتي:

$\mathrm{m}\angle 1= \mathrm{m}\angle 4$                                                             زاويتانِ متبادلتانِ داخليًّا 

$\mathrm{m}\angle 3= \mathrm{m}\angle 5$                                                             زاويتانِ متبادلتانِ داخليًّا 

$\mathrm{m}\angle 1+ \mathrm{m}\angle 2+ \mathrm{m}\angle 3 =180°$                                   زوايا متجاورةٌ على مستقيمٍ 

$\mathrm{m}\angle 4+ \mathrm{m}\angle 2+ \mathrm{m}\angle 5 =180°$                                   أُعوِّضُ عنِ الزاويةِ $\mathrm{m}\angle 4\mathrm{بــ} \mathrm{m}\angle 1$ و $\mathrm{m}\angle 5\mathrm{بــ} \mathrm{m}\angle 3$

إذنْ، مجموعُ قياساتِ زوايا المثلثِ الداخليّةِ هوَ °180

 

يمكنُ استخدامُ العلاقةِ بينَ مجموعِ قياساتِ زوايا المثلثِ لإيجادِ قياساتِ زوايا مجهولةٍ.

مثال1: معتمدًا الشكلَ المجاورَ، أجدُ كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{4}$

$30°+95°+ \mathrm{m}\angle 4 =180°$                                         مجموع زوايا المثلث الداخلية 

$$\begin{gathered} 125°+\mathrm{m}\angle 4 =180° \\ \mathrm{m}\angle 4 =55° \end{gathered}$$                                                 أجد الناتج 

2) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}$

$\mathrm{m}\angle 2 + \mathrm{m}\angle 4 =180°$                                              زاويتان متجاورتان على مستقيمٍ 

$$\begin{gathered} \mathrm{m}\angle 2 + 55°=180° \\ \mathrm{m}\angle 2 =125° \end{gathered}$$                                                 أجد الناتج 

 

الزاويةُ الخارجيّةُ للمثلث: هيَ الزاويةُ الّتي تتشكَّلُ منْ أحدِ أضلاعِ المثلّثِ وامتدادِ الضّلعِ المجاورِ له، وقياسُ أيِّ زاويةٍ خارجيةٍ في المثلثِ يساوي مجموعَ قياسَيِ الزاويتينِ الداخليتَيْنِ البعيدَتَيْنِ. 

في الرسمِ المجاورِ،$\angle 4$خارجيةٌ للمثلثِ؛ ولذلكَ $\mathrm{m}\angle 4 = \mathrm{m}\angle 1+\mathrm{m}\angle 2$

أتحقَّقُ منْ ذلكَ عنْ طريقِ ما تعلَّمْتُهُ عنْ حقائقِ الزوايا

:△HRL في المثلّثِ

$\mathrm{m}\angle 1+ \mathrm{m}\angle 2+ \mathrm{m}\angle 3 =180°$                                 زوايا داخليةٌ في مثلثٍ 

$\mathrm{m}\angle 4+\mathrm{m}\angle 3=180°$                                                زاويتانِ متجاورتانِ على مستقيمٍ

$\mathrm{m}\angle 4+\mathrm{m}\angle 3=\mathrm{m}\angle 1+\mathrm{m}\angle 2+\mathrm{m}\angle 3$                       أعوض 

$\mathrm{m}\angle 4=\mathrm{m}\angle 1+\mathrm{m}\angle 2$                                                أطرحُ $\mathrm{m}\angle 3$ من الطرفين 

 

يمكنُني استخدامُ خاصيةِ الزاويةِ الخارجيةِ للمثلثِ لإيجادِ قياساتِ زوايا مجهولةٍ.

مثال 2: منَ الحياةِ : أرجوحةٌ: تُشكِّلُ دعاماتُ أرجوحةٍ مُثلَّثًا كما في الشكلِ المجاورِ، أجدُ قياسَ كلٍّ منَ الزوايا الآتيةِ معتمِدًا الشكلَ:

1) $\mathbf{\text{m∠2}}$

$110°=60°+\mathrm{m}\angle 2$                                                  زاويةٌ خارجيةٌ للمثلثِ

$\mathrm{m}\angle 2=50°$                                                             أطرحُ °60 منَ الطرفينِ

2) $\mathbf{\text{m∠1}}$

$\mathrm{m}\angle 1+\mathrm{m}\angle 2+ 60°=180°$                                    زوايا داخليةٌ في مثلثٍ

$\mathrm{m}\angle 1+50°+60°=180°$                                        أعوض $\mathrm{m}\angle 2$

$$\begin{gathered} \mathrm{m}\angle 1+110°=180° \\ \mathrm{m}\angle 1=70° \end{gathered}$$                                                أجد الناتج