حل نظام مكون من معادلة خطية و معادلة تربيعية

يمكنني حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية باستعمال طريقة التعويض، وذلك بكتابة أحد المتغيرين في المعادلة الخطية بدلالة الآخر، ثم تعويضه في المعادلة التربيعية وحلها

مثال 

أحل نظام المعادلة الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل: 

x-y=1

x²+y²=5

يمكنني استعمال برمجية جيوجبرا، أو حاسبة بيانية، لتمثيل المعادلتين بيانيا على المستوى الإحداثي نفسه كما في التمثيل البياني المجاور. ألاحظ أن منحنيي المعادلتين يتقاطعان في نقطتين؛ ما يعني أن للنظام حلين مختلفين. أتحقق من ذلك جبريا باستعمال طريقة التعويض: 

$$\begin{gathered} x-y=1 \\ y=x-1 \\ {x}^2+{(x-1)}^2=5x^2+x^2-2x+1=5 \\ 2x^2-2x-4=0 \\ {x}^2-x-2=0 \end{gathered}$$

لحل المعادلة باستعمال القانون العام، أحدد قيم المعادلة: $:a=1,b=-1,c=-2$

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\left(1\right)(-2)}}{2\left(1\right)} \\ x=-1,x=2 \end{gathered}$$

الحالة الأولى:عندما x=-1: 

$$\begin{gathered} y=x-1 \\ y=-1-1=-2 \end{gathered}$$

الحل الأول: (2-,1-)=(x,y)

للتحقق من صحة الحل الأول، أعوض الزوج المرتب(2-,1-) في كل من المعادلة الخطية والتربيعية:

$$\begin{gathered} x-y=-1-(-2)=1 \\ {x}^2+y^2={(-1)}^2+{(-2)}^2=1+4=5 \end{gathered}$$

الحالة الثانية:x=2:

y=2-1=1

الحل الثاني:(2,1)=(x,y) 

للتحقق من صحة الحل الثاني، اعوض الزوج المرتب(2,1)في كل من المعادلة الخطية والتربيعية: 

$$\begin{gathered} x-y=2-1=1 \\ {x}^2+y^2={\left(2\right)}^2+{\left(1\right)}^2=4+1=5 \end{gathered}$$

يوجد حلان لنظام المعادلات في المثال السابق. ولكن، هل يوجد نظام معادلات له حل واحد؟ لمعرفة الاجابة، اجد المثال الاتي 

---

مثال  

احل نظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} 2y=8 \\ y=3-2x-x^2 \end{gathered}$$

عند تمثيل معادلتي النظام على المستوى الاحداثي نفسه، يلاحظ وجود نقطة تقاطع واحدة كما في التمثيل البياني المجاور؛ ما يعني ان للنظام حلا واحدا فقط. اتحقق من ذلك جبريا باستعمال طريقة التعويض: 

$$\begin{gathered} 2y=8 \\ y=4 \\ 4=3-2x-x^2 \\ {x}^2+2x+1=0 \end{gathered}$$

احل المعادلة باستعمال طريقة التحليل الى العوامل. هل توجد طريقة اخرى؟ 

$$\begin{gathered} (x+1)(x+1)=0 \\ x+1=0 \\ x=-1 \end{gathered}$$

اعوض قيمة x لايجاد قيمة y: 

$$\begin{gathered} y=3-2x-x^2 \\ y=3-2(-1)-{(-1)}^{2}y=4 \end{gathered}$$

اذن ، حل النظام هو الزوج المرتب

للتحقق من صحة الحل: 

$$\begin{gathered} 4\stackrel{?}{=}3=-2(-1)-{(-1)}^2 \\ 4=4 \end{gathered}$$

---

لاحظت في المثالين السابقين وجود حل او حلين لنظام المعادلة, ولكن، هل توجد انظمة معادلات ليس لها حل؟ لمعرفة الاجابة، ادرس المثال الاتي 

مثال 

احل نظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} y+x=5 \\ {x}^2+y^2=9 \end{gathered}$$

يتبين من التمثيل البياني المجاور ان منحنيي المعادلتين لا يتقاطعان في اي نقطة؛ ما يعني عدم وجود حل لنظام المعادلات. اتحقق من ذلك جبريا باستعمال طريقة التعويض: 

$$\begin{gathered} y+x=5 \\ x=5-y \\ {(5-y)}^2+y^2=9 \\ 25-10y+y^2+y^2=9 \\ 2y^2=10y+16=0 \end{gathered}$$

لحل المعادلة التربيعية باستعمال القانون العام، احدد قيم المعاملات: 

a=2,b=-16,c=16: 

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{{(-10)}^2-4\left(2\right)\left(16\right)}}{2\left(2\right)} \\ x=\frac{10\pm \sqrt{-28}}{2} \end{gathered}$$

الاحظ انه عند تعويض قيم a، وb، وc في القانون العام، ينتج جذر تربيعي لعدد سالب 

اذن، لا يوجد حل لهذا النظام 

نتيجة 

لاي نظام يتكون من معادلة جطية واجرى تربيعية، تكون واحدة من العبارات الاتية صحيحة: 

1) وجود حلين مختلفين 

2) وجود حل وحدا فقط 

3) عدم وجود حل 

توجد تطبيقات حياتية كثيرة لحل الانظمة التي تتكون من معادلة خطية واخرى تربيعية 

مثال: من الحياة 

سجادة مصنوعة يدويا،مجموع بعديها 7m، وطول قطرها 5m، اجد كلا من طولها،وعرضها 

لايجاد بعدي السجادة، اكتب نظام معادلات يمثل المسالة،ثم احله

افترض ان طول السجادة هو x، وان عرضها هو y، وبما ان مجموع بعدي السجادة هو 7m، فان:x+y=7، وبما ان قطر السجادة هو 5m، فان (باستعمال نظرية فيثاغورس): x²+y²=25، اذن،اصبح لدينا نظام يتكون من معادلة خطية واخرى تربيعية 

$$\begin{gathered} y+x=7 \\ {x}^2+y^2=25 \end{gathered}$$

والان، ساحل النظام باستعمال طريقة التعويض:

$$\begin{gathered} x+y=7 \\ y=7-x \\ {x}^2+{(7-x)}^2=252x^2-14x+24=0 \\ {x}^2-7x+12=0 \end{gathered}$$

احل المعادلة التربيعية بالتحليل الى العوامل:

$$\begin{gathered} \left(x-4\right)\left(x-3\right)=0 \\ x-4=0 \mathrm{او} x-3=0 \\ x=4 \mathrm{او} x=3 \end{gathered}$$

اعوض قيم x في المعادلة الخطية لايجاد قيم y: 

$$\begin{gathered} y=7-3 \\ y=4 \\ y=7-4 \\ y=3 \end{gathered}$$

اذن، حل النظام هو: (4,3)و(3,4)

بما ان طول السجادة اكبر من عرضها، فان الطول هو 4m، والعرض هو 3m