حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

معادلات القيمة المطلقة

المعادلة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري تسمى معادلة القيمة المطلقة.

ملاحظة: إذا كان $\left|x\right|=c$ حيث $c>0$ فإنه يوجد قيمتان محتملتان ($x=c , x=-c$) ويمكن تعميم هذه القاعدة لحل أي معادلة تحوي على قيمة مطلقة في أحد طرفيها.

مثال:

أحل كل من المعادلات الآتية ثم أتحقق من صحة الحل.

$1) \left|x-3\right|=1$

الحل بياني

يتقاطع المنحنيان عندما x=2 و x=4 وهما حلا المعادلة

الحل الجبري.

$$\begin{gathered} x-3=1 or x-3=-1 \\ x=4 x=2 \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} x=4 \\ \left|4-3\right|=1 \\ 1=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=2 \\ \left|2-3\right|=1 \\ \left|-1\right|=1 \\ 1=1 \end{gathered}$$

$2) \left|2x-5\right|-3=x+4$

الحل بياني.

يتقاطع المنحنيان عندما x= $\frac{-2}{3}$ و x=12 وهما حلا المعادلة

الحل الجبري.

$$\begin{gathered} \left|2x-5\right|-3=x+4 \\ \left|2x-5\right|=x+7 \\ 2x-5=x+7 or 2x-5=-x-7 \\ x=12 x=\frac{-2}{3} \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} \left|2x-5\right|=x+7 \\ \left|2\left(12\right)-5\right|=12+7 \\ 19=19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left|2x-5\right|=x+7 \\ \left|2\left(\frac{-2}{3}\right)-5\right|=\frac{-2}{3}+7 \\ \frac{19}{3}=\frac{19}{3} \end{gathered}$$

$3) \left|\frac{1}{x}\right|=4$

الحل بياني

يتقاطع المنحنيان عندما x= - 0.25 و x=0.25 وهما حلا المعادلة.

الحل الجبري.

$$\begin{gathered} \left|\frac{1}{x}\right|=4 \\ \frac{1}{x}=4 or \frac{1}{x}=-4 \\ x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} \left|\frac{1}{x}\right|=4 \\ \left|\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\right|=4 \\ 4=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left|\frac{1}{x}\right|=4 \\ \left|\frac{1}{{\displaystyle \frac{-1}{4}}}\right|=4 \\ 4=4 \end{gathered}$$

ملاحظة: إذا كانت المعادلة تحوي قيمة مطلقة على طرفي المساواة مثل $\left|A\right|=\left|B\right|$ فإنه يوجد أربع حلول ممكنة لهذه المعادلة.

$1) A=B 2) A=-B 3) -A=B 4) -A=-B$

بالنظر للحول الأربعة نجد أن الحل الأول والرابع متساويان والحل الثاني والثالث متساويان لذا نكتفي بالحلين الأول والثاني.

مثال:

أحل المعادلة $|2x-1|=|2-x|$ .

يتقاطع المنحنيان عندما x=1 و x= - 1 وهما حلا المعادلة.

الحل الجبري

$$\begin{gathered} 2x-1=2-x or 2x-1=-2+x \\ 3x=3 x-1=-2 \\ x=1 x=-1 \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} \left|2x-1\right|=\left|2-x\right| \\ \left|2\left(1\right)-1\right|=\left|2-1\right| \\ \left|1\right|=\left|1\right| \\ 1=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left|2x-1\right|=\left|2-x\right| \\ \left|2(-1)-1\right|=\left|2--1\right| \\ \left|-2-1\right|=\left|3\right| \\ \left|-3\right|=\left|3\right| \\ 3=3 \end{gathered}$$

مثال:

درجة حرارة الجسم الطبيعية: تكون درجة حرارة الجسم الإنسان المقيسة من تحت لسانه طبيعية؛ إذا كان الفرق المطلق بينها وبين $36.8° C$ يساوي $0.5° C$، أكتب معادلة، ثم أستعملها لإيجاد الحدين الأعلى والأدنى لدرجة حرارة جسم الإنسان الطبيعية.

الدرجة المتوسطة هي $36.8°$، والفرق هو $0.5°$، فإذا دل المتغير x على درجة حرارة الجسم تكون المعادلة المطلوبة $\left|x-36.8\right|=0.5$

$$\begin{gathered} \left|x-36.8\right|=0.5 \\ x-36.8=0.5 or x-36.8=-0.5 \\ x=37.3 x=36.3 \end{gathered}$$

إذن: الحد الأدنى لدرجة جسم الإنسان الطبيعية هي $36.3° C$ والحد الأعلى $37.3° C$.

متباينات القيمة المطلقة

المتباينة هي جملة رياضية تحوي أحد رموز التباين $>وأ < وأ \ge وأ \le$ والمتباينة التي تحوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري تسمى متباينة القيمة المطلقة.

إذا كان X يمثل مقدارا جبريا وكان k عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: $\left|x\right|<k\iff -k<x<k$ والقاعدة صحيحة أيضا إذا كانت إشارة المتباينة $\le$

مثال:

أحل كل من المتباينات الآتية وأمثل مجموع الحل على خط الأعداد ( إن أمكن).

$1) \left|x-2\right|<3$

$$\begin{gathered} -3<x-2<3 \\ +2 +2 +2 \\ -1<x<5 \end{gathered}$$

إذن مجموعة الحل هي (5,1-)

$2) \left|2x+1\right|\le -2$

بما أن القيمة المطلقة لأي قيمة تساوي عددا موجبا؛ فإن مجموعة حل المتباينة هي المجموعة الخالية {} أو $\varnothing$

إذا كان X يمثل مقدارا جبريا وكان k عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: $\left|x\right|<k\iff x<-k or x>k$ والقاعدة صحيحة أيضا إذا كانت إشارة المتباينة $\ge$

مثال:

أحل كل من المتباينات الآتية وأمثل مجموع الحل على خط الأعداد ( إن أمكن).

$1) -2\left|2x-1\right|\ge 4$

$\left|2x-1\right|\le -2$

بما أن القيمة المطلقة لأي قيمة تساوي عددا موجبا؛ فإن مجموعة حل المتباينة هي المجموعة الخالية {} أو $\varnothing$

$2) \frac{1}{2}\left|\frac{x}{3}+2\right|>2$

$$\begin{gathered} \left|\frac{x}{3}+2\right|>4 \\ \frac{x}{3}+2>4 or \frac{x}{3}+2<-4 \\ \frac{x}{3}>2 \frac{x}{3}<-6 \\ x>6 x<-18 \end{gathered}$$

ملاحظة: في حال حوت المتباينة قيمة مطلقة في كلي طرفيها فإننا نتبع الخطوات الآتية في الحل.

1) نساوي المقدارين داخل المطلق ببعضهما ونحل المعادلة الناتجة.

2) نساوي أحد المقدارين داخل المطلق بمعكوس الأخر ونحل المعادلة الناتجة.

3) نختار عدد بين الحلين ونعوضه بالمتباينة إذا كانت الجملة صحيحة فإن الفترة التي تحوي العدد تعتبر مجموعة حل المتباينة وإلا كانت مجموعة الأعداد الواقعة خارج الحلين.

مثال:

أحل كل من المتباينات الآتية:

$1) \left|3x-2\right|\le \left|2x+5\right|$

نساوي المقدارين داخل المطلق ببعضهما

$$\begin{gathered} 3x-2=2x+5 \\ x=7 \end{gathered}$$

نساوي أحد المقدارين داخل المطلق بمعكوس الاخر

$$\begin{gathered} 3x-2=-2x-5 \\ 5x=-3 \\ x=\frac{-3}{5} \end{gathered}$$

تحديد مجموعة الحل.

نختار عددا بين الحلين ونعوضه بالمتباينة مثلا x=0

$$\begin{gathered} \left|3\left(0\right)-2\right|\le \left|2\left(0\right)+5\right| \\ 2\le 5 \end{gathered}$$

مجموعة الحل تقع بين العددين $\frac{-3}{5}$ و 7

إذن مجموعة الحل هي $\left[\frac{-3}{5},7\right]$.

$2) \left|x-1\right|>\left|2x+1\right|$

نساوي المقدارين داخل المطلق ببعضهما

$$\begin{gathered} x-1=2x+1 \\ x=-2 \end{gathered}$$

نساوي أحد المقدارين داخل المطلق بمعكوس الاخر

$$\begin{gathered} x-1=-2x-1 \\ x=0 \end{gathered}$$

 

تحديد مجموعة الحل.

نختار عددا بين الحلين ونعوضه بالمتباينة مثلا x= - 1

$$\begin{gathered} \left|-1-1\right|>\left|2(-1)+1\right| \\ \left|-2\right|>\left|-1\right| \\ 2>1 \end{gathered}$$

مجموعة الحل تقع بين العددين 2- و 0

إذن مجموعة الحل هي $\left(-2,0\right)$

مثال:

معدل كتل التفاحات في صندوق هو 200g، وقد تختلف الكتلة الفعلية للتفاحة بما لا يتجاوز %4 من هذا المعدل. أكتب متباينة قيمة مطلقة أجد من خلالها مدى الكتلة الفعلية للتفاحات في الصندوق.

بما أن الكتلة الفعلية للتفاحة لا تتجاوز %4  من معدل كتل التفاحات، فإنه يمكن إيجاد مقدار الاختلاف في كتلة التفاح كالآتي:

$4\%\times 200=\frac{4}{100}\left(200\right)=8$

أي إن كتلة التفاحة قد تزيد على معدل أو تقل عنه بمقدار 8g على الأكثر. فإذا رمزنا لكتلة التفاحة بالرمز x؛ فإن المتباينة التي تعبر عن هذه المسألة هي $\left|x-200\right|\le 8$.

ولإيجاد مدى الكتلة الفعلية للتفاحات هو من 192g إلى 208g.