حل المعادلة الاسية

المعادلة الأسية هي معادلة تتضمن قوى أسسها متغيرات، ويتطلب حلها كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه، ثم المقارنة بين أسي الطرفين، وفق القاعدة التي نصها "إذا تساوت قوتان لهما الأساس نفسه، فان أسيهما متساويان. "

مثال 

أحل المعادلات الأسية الآتية: 

$$\begin{gathered} 1) 5^{3x+2}={25}^{x-1} \\ 5^{3x+2}={\left(5^2\right)}^{x-1} \\ 5^{3x+2}=5^{2\left(x-1\right)} \\ 3x+2=2x-2 \\ =-4 \\ 2) 8^x=2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^x \\ {\left(2^3\right)}^x=2\times {\left(2^{-1}\right)}^x \\ 2^{3x}=2\times 2^{-x} \\ 2^{3x}=2^{-x+1} \\ 3x=-x+1 \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

توجد تطبيقات حياتية كثيرة لحل المعادلات الأسية 

مثال: من الحياة 

بكتيريا: يتضاعف عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية 4 مرات كل ساعة، إذا استعملت المعادلة $y=3\left(4^{x-1}\right)$ لحساب عدد الخلايا البكتيرية y في العينة بعد مرور x ساعة من زمن تحضير العينة، فما الزمن اللازم ليصبح في العينة 192 خلية؟ 

$$\begin{gathered} y=3\left(4^{x-1}\right) \\ 192=3\left(4^{x-1}\right) \\ 64=\left(4^{x-1}\right) \\ 4^3=\left(4^{x-1}\right) \\ 3=x-1 \\ x=4 \\ \mathrm{ساعات} 4 \mathrm{بعد} \mathrm{خلية} 192 \mathrm{العينة} \mathrm{في} \mathrm{يصبح} ،اذن \end{gathered}$$

يمكنني حل نظام مكون من معادلتين اسيتين بكتابة طرفي المعادلة الأولى في صورة قوة لأساس نفسه، ثم مساواة أسي الطرفين، ثم تكرار ذلك في المعادلة الثانية، فيتكون نظام من معادلتين 

مثال 

أحل نظام المعادلات المجاور: 

$$\begin{gathered} 4^{2x}\times 2^y=64 \\ {9}^x\times 3^y=81 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4^{2x}\times 2^y=64 \\ {\left(2^2\right)}^{2x}\times 2^y=2^6 \\ 2^{4x}\times 2^y=2^6 \\ 2^{4x+y}=2^6 \\ 4x+y=6 \end{gathered}$$

بتطبيق الخطوات نفسها على المعادلة الثانية تنتج المعادلة الخطية $2x+y=4$

أحل نظام المعادلات الخطي الناتج بالحذف: 

$$\begin{gathered} 4x+y=6 \\ \frac{\left(-\right) 2x+y=4}{2x=2} \\ x=1 \\ 4\left(1\right)+y=6 \\ 4+y=6 \\ y=2 \end{gathered}$$

إذن، حل نظام المعادلات هو: $x=1,y=2$

قد لا يكون من الممكن كتابة أحد طرفي المعادلة الأسية على صورة قوة للأساس نفسه، عندئذ يمكن حل المعادلة بيانيا باستعمال برمجية حاسوبية أو آلة حاسبة بيانية 

مثال: أحل المعادلة السية الآتية $5=3^{x-1}$ بيانيا 

ألاحظ أنه ليس من الممكن كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه، لذلك أحل المعادلة بيانيا 

الخطوة 1: اكتب نظام معادلات باستعمال طرفي المعادلة 

$$\begin{gathered} y=5 \\ y=3^{x-1} \end{gathered}$$

الخطوة 2: أمثل المعادلتين بيانيا في المستوى نفسه باستعمال برمجية جيرجبرا 

الخطوة 3: أجد احداثيي نقطة تقاطع المنحنيين 

اختار أيقونة من شريط الأدوات، ثم انقر على كلا المنحنيين فيظهر احداثيا نقطة التقاطع $(2.46,5)$

إذن، حل المعادلة هو $x=2.46$