حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ ومُتبايناتِها

حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ ومُتبايناتِها

  Solving Absolute-Value Equations and Inequalities

فكرةُ الدرسِ : حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ ومُتبايناتِها. 

أولًا : مقادير القيمة المُطلقة

المقدارَ الجبريَّ : هُوَ عبارةٌ تحتوي متغيّراتٍ وأعدادًا تفصلُ بينَها عمليّاتٌ. ويمكنُ أنْ يتضمَّنَ المقدارُ الجبريُّ قيمةً مُطلقةً. ولإيجاد قيمتِهِ، أُعَوِّضُ

قيمةَ المُتَغَيِّر الَّذي يحتويه ، ثمَّ أتَّبِعُ أولويات العمليات.

 

•• أتعلَّمُ : لإيجادِ قيمةِ مقدارٍ جبريٍّ يتضمَّنُ قيمةً مُطلقةً أُجرِي العملياتِ                        الحسابيَّةَ داخلَ القيمةِ المُطلقةِ أوَّلًا.

 

 

مثال 

أجِد قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة :

  1) | x - 6 | + 7  ,  x = 4                             2) 5 - 2 |3 - x |  ,  x = 8

الحل : 

1) | x - 6 | + 7  ,  x = 4 

بتعويض x = 4	| x - 6 | + 7  = | 4 - 6 | + 7
2- = 6 - 4	=  | - 2 | + 7
$|-2| = 2$	=  2 + 7
بالتبسيط	$\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}$

 

 

 

 

 

---

2) 5 - 2 |3 - 2x |  ,  x = 2

بتعويض x = 2	5 - 2 |3 - 2x |  = 5 - 2 |3 - 2$\times$3|
3 - = 6 - 3	= 5 - 2 | -3 |
$|-3| = 3$	= 5 - 2 (3)
- 2 (3) = - 6	= 5 - 6
بالتبسيط	$\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}$

 

 

 

 

 

---

 

 ثانيًا : معادلات القيمة المُطلقة 

مُعادلة القيمة المُطلقة :  هي مُعادلة تحتوي على قيمة مُطلقة. وبِما أنَّ القيمة المُطلقة لكلٍّ مِن العدد ومعكوسِه متُساويتان فيمكنُ تحويل

مُعادلة القيمة المُطلقة إلى مُعادلتين مُرتبطتين بها لا تحتويان على رمز القيمة المُطلقة ، وذلك بجعل العبارة الَّتي داخل القيمة المُطلقة موجبةً

مَرّة وسالبةً مَرَّة أُخرى.

•• أتذكَّرُ : القيمةُ المُطلقةُ للعددِ هِيَ المسافةُ بينَ ذلكَ العددِ والصِّفرِ على خطِّ الأعدادِ.

 

 

مفهومٌ أساسيٌّ (حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ) 

لحلِّ المُعادلةِ  ax + b | = c | ؛ حيثُ c ≥ 0 ، أَحُلُّ المُعادلتين المُرتبطتين بها، وهُما :

                                                                                                                                                                   ax + b = c         or          ax + b = -c

 

مثال : 

أَحُلُّ كُلًّ مِن المُعادلات الآتية، وَأُمثّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن):

a) | x - 5 | = 3                                b) 3| x - 2 | - 4 = 8                          c) | 9x - 2 | = - 10

الحل : 

a) | x - 5 | = 3 

بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين	x - 5   = 3         or       x - 5   = -3
بجمع 5 لكلّ طرف	x = 8              or          x = 2

 

 

 

إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 8 , 2}، وَتَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :

 

---

b)  3| x - 2 | - 4 = 8

لحلِّ هذهِ المُعادلةِ ، أكتبُ القيمةَ المُطلقةَ أوَّلًا معزولةً في أحدِ طَرَفَيِ المُعادلةِ.

المعادلة المعطاة	3| x - 2 | - 4 = 8
بحمع 4 إلى طَرفي المُعادلةِ	3| x - 2 |  = 12
بِقِسمة طَرفي المُعادلة على 3	| x - 2 |  = 4

 

 

 

الآنَ ، أكتب مُعادلتين مُرتبطتين بالمُعادلة 4 = | x - 2 | ، ثُمّ أحلُّ كلًّ منهما.

بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين	x - 2   = 4         or       x - 2   = - 4
بجمع 2 لكلّ طرف	x = 6         or              x = -2

 

 

 

إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 6  , 2-}، وَتَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :

---

c) | 9x - 2 | = - 10

المُعادلةُ 10 - = | 9x - 2 | تعني أنَّ المسافةَ بينَ 9x  وَ 2 تُساوي 10 -

وبما أنّه لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافة سالبة ؛ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.

---

 

ثالثًا : متباينات القيمة المُطلقة 

مُتباينةُ القيمةِ المُطلقةِ : هِيَ مُتباينةٌ تحتوي على قيمةٍ مُطلقةٍ.

•• متباينة القيمة المطلقة الأقل من عدد موجب

فمثلًا ، x | ≤ 5 | هِيَ مُتباينةُ قيمةٍ مُطلقةٍ، وتعني أنَّ المسافةَ بينَ x وَ 0 أقلُّ مِنْ أوْ تُساوي 5 ؛ لِذا فإنَّ : $x\ge -5 و x \le 5$ 

وبذلكَ، فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ هِيَ الفترةُ [ 5 , 5-].

وبشكل عام ، يمكنُ تحويلُ مُتباينة القيمةِ المُطلقة ، التي تحتوي على الرَّمز (>) ، إلى مُتباينة مُرَكّبة تحتوي على أداة الرَّبط (و)، ثمَّ حلُّ المُتباينة

المُركّبة الناتجة.

مفهومٌ أساسيٌّ : ( حلُّ مُتبايناتِ القيمةِ المُطلقةِ (>))    

لحلِّ المُتباينةِ ax + b| < c | ؛ حيثُ c > 0 ، أَحُلُّ المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة بها، وهي :

                                                                                                                                              $- c < ax + b < c$

•• تبقى القاعدةُ صحيحةً إذا احتَوَتِ المُتباينةُ على ($\le$)                                                                                                                                                                       

---

 مثال :

أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية ، وَأُمَثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :

a) | x - 1 | < 4                                                 b) | x + 5| + 3 < 1  

الحل : 

a) | x - 1 | < 4 

المُتباينة المُركّبة المُرتبطة	$-4 < x - 1 < 4$
بجمع 1 إلى  كِلا الطرفين	$\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{<}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{5}$

   

 

 

إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُتباينةِ هيَ { x | -3 < x < 5 }، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ: ( 5 , 3-)، وَيمكنُ تَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي:

---

 b) | x + 5| + 3 < 1  

 | x + 5| + 3 - 3  < 1 - 3

 | x + 5| < - 2

بِما أنَّ | x + 5 | لا يمكنُ أنْ تكونَ سالبةً، فلا يمكنُ أنْ تكونَ | x + 5 | أقلَّ مِنْ 2 - ، وَمِنْهُ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمتباينةِ المُعطاةِ.

---

  

•• متباينة القيمة المطلقة الأكبر من عدد موجب

تعني مُتباينة القيمة المُطلقة x | > 5 | أنَّ المسافة بين x و 0 أكبر من 5 ؛ لذِا فإنَّ x > 5  أو x < -5

وبذلك، فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذه المُتباينة هي : $(-\infty , -5) \cup (5 , \infty )$ وبشكلٍ عامٍّ، يمكنُ تحويلُ مُتباينة القيمة المُطلقة ، التي تحتوي على الرَّمز

(<)، إلى مُتباينة مُرَكّبة تحتوي على أداة الرَّبط (أو) ، ثمَّ حلُّ المُتباينةِ المُرَكّبة الناتجة.

 

 

مفهومٌ أساسيٌّ : (حلُّ مُتبايناتِ القيمةِ المُطلقةِ (>))

لحلِّ المُتباينةِ  ax + b| > c | ؛ حيثُ c > 0 ، أَحُلُّ المُتباينةَ المُرَكَّبَةَ المُرتبطةَ بها، وَهِيَ:

    $ax + c < -c or ax + c > c$                                                          

•• تبقَى القاعدةُ صحيحةً إذا احتَوَتِ المُتباينةُ على ($\ge$)

مثال : 

أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية، وَأُمثل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :

$\mathit{a}\mathbf{)}$ $|2x + 3| \ge 5$                                                   $\mathit{b}\mathbf{)}$  $|5x - 2| >-4$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }$$|2x + 3| \ge 5$

المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة	$2x+3 \le -5 or 2x+3 \ge 5$
بطرح 3 من كُلِّ طرف	$2x \le -8 or 2x \ge 2$
بقِسمة كُلِّ طرف على 2	$x \le -4 or x \ge 1$

 

 

     

إذنْ ، مجموعةُ الحلِّ هِيَ $\{ x | x \le -4 or x \ge 1 \}$ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ اتحادِ فترتينِ منفصلتينِ على الصورةِ : $(-\infty , -4] \cup [ 1 , \infty )$

وتمثيلها البياني على النحو الآتي : 

---

$\mathit{b}\mathbf{)}$ $|5x - 2| >-4$

يَنُصُّ تعريفُ القيمةِ المُطلقةِ على أنَّ مقدارَها يجبُ أنْ يكونَ أكبرَ من أو يُساوي صفرًا ، ومنهُ فإنَّ $| 5x - 2 |$  دائمًا أكبرُ من $- 4$ لأيٍّ مِن قِيَمِ

المُتَغَيِّر x .

إذن ، مجموعةُ الحلِّ هي مجموعة الأعداد الحقيقيَّة R، ويمكنُ كتابتُها باستعمال رمز الفترة على الصورة : $(-\infty , \infty )$  

 

---

 

•• رُموزٌ رياضيَّةٌ : يُرمز لمجموعة الأعداد الحقيقيَّة بالحرف R، وهوَ الحرفُ الأوَّلُ من كلمة Real باللغة الإنجليزيَّة ، وتعني حقيقيًّا.

 

 

 

 

مثال من الحياة : 

تُنتج آلة مسامير فولاذية طولها $5 cm$ ، ويُسمح أن يزيد طول المسمار على الطول المُحدد أو يقل عنه بمقدار  $0.02 cm$ ، فأكتبُ مُتباينةَ قيمة مُطلقة أَجدُ بها المدى المسموح به لطولِ المسمار .

الحل : 

بالكلماتِ : الفرقُ بينَ طولِ المسمار الحقيقيِّ وطولِ المسمار المثاليِّ لا يتجاوزُ $0.02 cm$ 

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا طول المسمار .

أكتبُ المُتباينة : $|x - 5 | \le 0.02$  

المُتباينةُ المُركّبة المُرتبطة  :  $-0.02 \le x - 5 \le 0.02$

أحل المتباينة  :      $-0.02+5 \le x - 5+5 \le 0.02+5$

بالتبسيط  :   $4.98 \le x \le 5.02$

إذن ، المدى المسموحُ به لطول المسمار هو $[ 4.98 , 5.02 ]$ بوحدةِ cm.

---