حلُّ مُعادلاتٍ خاصة

حلُّ مُعادلاتٍ خاصَّةٍ

Solving Special Equations

فكرةُ الدرسِ : حلُّ مُعادلاتٍ خاصَّةٍ أُسُّ المُتَغَيِّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ مِنْ 2

تعلَّمتُ في الدروس السابقة حلَّ المُعادلات التربيعيَّة بطرائق مُتنوِّعَة، وسأتعلَّم في هذا الدرس حلَّ مُعادلات أُسُّ المُتَغَيِّر فيها عدد صحيح

موجب أكبرُ منْ 2 باستعمال التحليلِ والتجميع وخاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ.

 

أولًا : حلُّ المُعادلات بإخراج العامل المُشترك

يمكنُ الإفادةُ مِنْ إخراجِ العاملِ المُشترَكِ في تبسيطِ وحلِّ مُعادلاتٍ أُسُّ المُتَغَيِّرِ فيها عددٌ صحيحٌ أكبرُ مِنْ 2 

مثال : 

أَحُلّ كُلّ من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^3 +3x^2 = 10x$                                                                       $b) 3x^3 = 48x$

 

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^3 +3x^2 = 10x$

المُعادلةُ المُعطاةُ	$x^3 +3x^2 = 10x$
بِطرحِ 10x من طَرَفَيِ المُعادلةِ	$x^3 +3x^2 -10x = 0$
بالتحليلِ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ	$x(x^2 +3x-10) = 0$
بالتحليل إلى العوامل	$x(x+5)(x-2)= 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$x = 0 or x + 5 = 0 or x - 2 = 0$
بحلِّ كلِّ مُعادلةٍ	$x = 0 or x =- 5 or x = 2$

 

 

 

 

 

 

إذنْ، جذورُ المُعادلةِ 2 , 5- , 0

---

$b) 3x^3 = 48x$

المُعادلةُ المُعطاةُ	$3x^3 = 48x$
بِطرحِ 48x من طَرَفَيِ المُعادلةِ	$3x^3- 48x = 0$
بالتحليلِ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ	$3x(x^2- 16) = 0$
بتحليلِ الفرقِ بينَ مُرَبَّعَيْنِ	$3x(x-4)(x+4) = 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$3x = 0 or x - 4 = 0 or x + 4 = 0$
حلِّ كلِّ مُعادلةٍ	$x = 0 or x = 4 or x = -4$

 

 

 

 

 

 

إذنْ، جذورُ المُعادلةِ 4 - , 4 , 0

•• أتعلَّمُ : أكتبُ جميعَ حدودِ المُعادلةِ في الطرفِ الأيسرِ مِنَ المُعادلةِ قبلَ إخراجِ العاملِ المُشترَكِ.

 

 

 

---

 

ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ بالتجميع

يمكنُ حلُّ المُعادلاتِ التي تحتوي على أربعةِ حُدودٍ جبريَّةٍ أوْ أكثرَ باستعمالِ طريقةِ التجميعِ، وذلكَ بتجميعِ الحُدودِ التي تحتوي على عواملَ مُشترَكَةٍ

بينها، ثمَّ استعمالُ خاصيَّةِ الضَّربِ الصِّفريِّ لحلِّ المُعادلةِ.

مثال : 

أَحُلّ كُلّ من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^3 +2x^2+7x +14 = 0$                                                         $\mathit{b}\mathbf{)} 6x^3 + 18x^2 - 2x -6$

 

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^3+2x^2+7x+14 = 0$

المُعادلةُ المُعطاةُ	$x^3+2x^2+7x+14 = 0$
بتجميعِ الحُدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكَةِ	$(x^3 + 2x^2)+(7x+14) = 0$
بتحليلِ كلِّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ	$x^2(x + 2)+7(x + 2) = 0$
بإخراجِ ( x + 2 ) عاملًا مُشترَكًا	$(x+ 2)(x^2+7)= 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$x + 2 = 0 or x^2+7 = 0$
بحلِّ المُعادلةِ	$x =- 2$

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ 0 = 7 + x² ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هُوَ 2 -

 

---

$\mathit{b}\mathbf{)} 6x^3 + 18x^2 - 2x -6 = 0$

المُعادلةُ المُعطاةُ	$6x^3 + 18x^2 - 2x -6 = 0$
بتجميعِ الحُدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكَةِ	$(6x^3+18x^2)+(-2x-6) = 0$
بتحليلِ كلِّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المُشترَكِ الأكبرِ	$6x^2(x+3)-2(x+3) = 0$
بإخراجِ ( x + 3 ) عاملًا مُشترَكًا	$(x+3) (6x^2 -2) = 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$x+3 = 0 or 6x^2 - 2 = 0$
بحلِّ كلِّ المُعادلةِ	$x=-3 or x^{ }=\pm \frac{1 }{\sqrt{3}}$

 

 

 

 

 

 

إذنْ، جذورُ المُعادلةِ $-3 , \frac{1}{\sqrt{3}} , - \frac{1}{\sqrt{3}}$     

 

---

 

ثالثًا : تحليلُ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ أو تحليلُ الفرقِ بينَهُما، وحلُّ معادلتِهِما

مفهومٌ أساسيٌّ (تحليلُ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ أوْ تحليلُ الفرقِ بينَهُما) 

• تحليلُ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ  بالرموز  : $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab + b^2)$ مثال :    $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

• تحليلُ الفرقِ بينَ مُكَعَّبَيْنِ بالرموز  :  $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab + b^2)$ مثال :     $x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x +25)$

 

 

 

 

 

 

•• يمكنُ حلُّ مُعادلاتٍ تحتوي على مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ أوْ على الفرقِ بينَهُما باستعمالِ طرائقِ التحليلِ الخاصَّةِ بكلٍّ منهما وخاصيَّةِ الضَّربِ الصِّفريِّ.

مثال : 

أَحُلّ كُلّ من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} 8x^3 + 27 = 0$                                                               $\mathit{b}\mathbf{)} 2x^3 - 128 = 0$

الحل : 

المُعادلةُ المُعطاةُ	$8x^3 + 27 = 0$
بالكتابةِ على صورةِ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ	${\left(2x\right)}^3 + {\left(3\right)}^2 = 0$
بتحليلِ مجموعِ مُكَعَّبَيْنِ	$(2x + 3) (4x^2 - 6x + 9) = 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$2x + 3 = 0 or 4x^2 -6x + 9 = 0$
بحلِّ المُعادلةِ	$x = -\frac{3}{2}$

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ 0 = 4x² - 6x +9 ؛ لأن مميزها عدد سالب ، إذن للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هو  1.5-

 

طريقةٌ بديلةٌ

يمكنُ حلُّ المُعادلةِ 0 = 27 + 8x³ بطريقةٍ أُخرى كالآتي:

المُعادلة المُعطاة	$8x^3 + 27 = 0$
بطرح 27 من طَرفي المُعادلة	$8x^3 = - 27$
بقسمة طَرفيِ المُعادلة على 8	$x^3 = \frac{- 27}{8}$
بأخذ الجذر التكعيبيّ للطرفين	$x = -\frac{ 3}{2}$

 

 

 

 

 

 

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} 2x^3 - 128 = 0$

المُعادلة المُعطاة	$2x^3 - 128 = 0$
بقسمة طرفي المعادلة على 2	$x^3 - 64 = 0$
بكتابة المقدار على صورة الفرق بين مُكعّبين	$x^3 - 4^3 = 0$
بتحليل الفرق بين مُكَعّبين	$(x - 4) (x^2+4x + 16) = 0$
خاصيَّة الضّرب الصّفريّ	$x - 4 = 0 or x^2+ 4x + 16$
بحلّ المُعادلة	$x = 4$

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ 0 =  x² + 4x + 16 ؛ لأن مميزها عدد سالب ، إذن للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرًا وحيدًا هو 4

 

---

 

رابعًا : تحليلُ مُعادلاتٍ على الصورةِ التربيعيَّةِ

يُسَمّى المقدارُ الجبريُّ المكتوب على الصورةِ au² + bu + c ؛ حيثُ u مقدارٌ جبريٌّ، مقدارًا على الصورةِ التربيعيَّة  ، ويمكنُ استعمالُ طرائق التحليل

التي تعلَّمتُها سابقًا في حلِّ مُعادلات تحوي مقاديرَ على الصورةِ التربيعيَّة.

مثال : 

أَحُلّ المُعادلة :  $x^4 - x^2 -12 = 0$ 

الحل : 

الطريقة 1 : التحليل

المُعادلة المُعطاة	$x^4 - x^2 -12 = 0$
بكتابة المعادلة على الصورة التربيعيّة	${\left(x^2\right)}^2 - x^2 -12 = 0$
بالتحليلِ إلى العواملِ	$(x^2-4)(x^2+3) = 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$x^2- 4 = 0 or x^2+ 3 = 0$
بحل المعادلة	$x = 2 or x = -2$

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ 0 =  x² + 3   ؛ لأن مميزها عدد سالب ، إذن للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذران هما : 2  ، 2-   

 

---

 

الطريقةُ 2 : التعويض

أفترض $u = x^2$

المُعادلة المُعطاة	$x^4 - x^2 -12 = 0$
بكتابةِ المعادلةِ على الصورةِ التربيعيّةِ	${\left(x^2\right)}^2 - x^2 -12 = 0$
بتعويض $u = x^2$	$u^2 - u -12 = 0$
بالتحليلِ إلى العواملِ	$(u -4)(u + 3) = 0$
خاصيَّةُ الضَّربِ الصِّفريِّ	$u - 4 = 0 or u + 3 = 0$
بحلِّ كلِّ المُعادلةِ	$u = 4 or u = -3$
بتعويض $u = x^2$	$x^2 = 4 or x^2 = -3$
بأخذ الجذر التربيعي للمعادلة $x^2 = 4$	$x = \pm 2$

 

 

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا يوجدُ حلٌّ حقيقيٌّ للمُعادلةِ $x^2 = -3$  ؛ لأن مميزها عدد سالب ، فإنَّ للمُعادلةِ الأصليَّةِ جذرانِ هما 2 ، 2- 

---