حالات خاصة من متوازي الأضلاع

حالات خاصة من متوازي الاضلاع 

المستطيل : 

هو متوازي اضلاع زواياه الأربع قوائم ، وهذا يعني أن له الخصائص الآتية :

- زواياه الأربع قوائم

- الأضلاع المتقابلة متوازية ومتطابقة 

- الزوايا المتقابلة متطابقة

- الزوايا المتحالفة متكاملة 

- قطراه ينصف كل منهما الآخر

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

قطرا المستطيل : 

- نظرية قطري المستطيل : 

يكون متوازي الأضلاع مستطيلاً إذا وفقط إذا كان قطراه متطابقين .

مثال : يكون $\mathbf{▱}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$  مستطيلاً إذا وفقط إذا كان  $\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathit{B}\mathit{D}$

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : 

يبين الشكل المجاور المستطيل ABCD  ، أثبت أن قطري المستطيل  ABCD متطابقان ، باستعمال البرهان ذي العمودين.

الحل : 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : 

إذا كان QRST مستطيلاً ، وكان  $\mathit{R}\mathit{T}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathit{S}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{14}$ فأجد قيمة المتغير  x

الحل : 

بما أن  QRST  مستطيل ، فإن قطريه متطابقان ، إذا أجد قيمة  x التي تجعل $\mathit{Q}\mathit{S}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathit{R}\mathit{T}$

$$\begin{gathered} \mathit{Q}\mathit{S}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{R}\mathit{T} \\ \mathbf{9}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{14} \\ \mathbf{9}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{14}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5} \\ \mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9} \\ \frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}} \\ \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3} \end{gathered}$$

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية :

يبين الشكل المجاور إطار نافذة أبعادها موضحة في الشكل :

1) هل إطار النافذة على شكل مستطيل ؟ أبرر إجابتي 

الحل :

من الشكل نجد أن :

أضلاع الإطار المتقابلة لها الطول نفسه ، إذن الاطار على شكل متوازي أضلاع

ولكن لا يوجد ما يدل على أن الزوايا قوائم ، لذا لا يمكن تحديد ما إذا كان الإطار على شكل مستطيل أم لا

............................................................................................................................................................................................................

2) قاس تميم طولي قطري الإطار ، فوجد أن أحدهما  2.45m وطول الآخر  2.40m  ، فهل إطار النافذة على شكل مستطيل ؟ أبرر إجابتي 

الحل : 

حسب نظرية قطري المستطيل ، يكون الشكل الرباعي مستطيل إذا كان قطراه متطابقين ، 

وبما أن قطري إطار النافذة ليسا متطابقين ، إذن فإطار النافذة ليس على شكل مستطيل .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

المعين : 

هو متوازي أضلاع أضلاعه جميعها متطابقة 

( للمعين خصائص متوازي الأضلاع جميعها ) إضافة إلى الخاصيتين الآتيتين : 

- نظرية قطري المعين : 

يكون متوازي الأضلاع معيناً إذا وفقط إذا كان قطراه متعامدين .

مثال : يكون  $\mathbf{▱}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$  معيناً إذا وفقط إذا كان $\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{\perp }\mathit{B}\mathit{D}$

..................................................................................................................................................................................................................

- نظرية الزوايا المتقابلة في المعين : 

يكون متوازي الأضلاع معيناً إذا وفقط إذا نصف كل قطر من قطريه الزاويتين المتقابلتين اللتين يصل بين رأسيهما

مثال : 

يكون  $\mathbf{▱}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ معيناً إذا وفقط إذا نصف  AC كلاً من  $\mathbf{\angle }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{A}$  ونصف  BD كلاً من  $\mathbf{\angle }\mathit{B}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{D}$ وهذا يعني أن

                                                          $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{8}$

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : يبين الشكل المجاور المعين  NPQM ، إذا كانت $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{120}\mathbf{°}$  ، فأجد قياسات الزوايا المرقمة في الشكل.

 

الحل : 

$$\begin{gathered} \mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3} \\ \mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{120}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°} \\ \mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{120}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°} \\ \mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{120}\mathbf{°} \\ \mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{60}\mathbf{°} \\ \frac{\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{60}\mathbf{°}}{\mathbf{2}} \\ \mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{30}\mathbf{°} \end{gathered}$$

ومنه فإن $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{30}\mathbf{°}$

وبحسب نظرية الزوايا المتقابلة في المعين فإن  $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}$   ، وهذا يعني أن 

                                          $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{30}\mathbf{°}$

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

المربع : 

هو متوازي أضلاع أضلاعه جميعها متطابقة ، وزواياه الأربع قوائم ، 

وبما أن المستطيل متوازي أضلاع زواياه الأربع قوائم ، والمعين متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متطابقة ، 

فإن المربع مستطيل ، لأن زواياه الأربع قوائم .

وهو أيضاً معين لأن أضلاعه الأربعة متطابقة .

إذن جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين تنطبق على المربع .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

يوضح الشكل الآتي العلاقة بين متوازي الأضلاع والمعين والمستطيل والمربع .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 5 ) : 

أحدد ما إذا كان متوازي الأضلاع في كل مما يأتي مستطيلاً أم معيناً أم مربعاً ، مبرراً إجابتي:

الحل : 

بما أن الأضلاع الأربعة لمتوازي الأضلاع المبين في الشكل متطابقة ، فإنه يمثل معيناً 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل : 

بما أن قطري متوازي الأضلاع المبين في الشكل ، متطابقان فإن متوازي الأضلاع مستطيل ، وبما أن القطرين متعامدان، 

فإن متوازي الأضلاع معين أيضاً ، ومنه فإن متوازي الأضلاع المبين في الشكل مربع .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................