جمع الأعداد النسبية وطرحها

مفاهيم أساسية : 

يمكنُ استِعمالُ خطِّ الأعدادِ في جَمْعِ الأعدادِ النِّسبِيَّةِ وطَرْحِها. 

مثال 1:أستعملُ خَطَّ الأعدادِ لإيجادِ ناتِجِ كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}$

-0.4 + 1.2 = ألاحِظُ أنَّ نُقطَةَ الانتِهاءِ عندَ 0.8 ؛ لذا 0.8

2) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{+}\left(-\frac{3}{8}\right)$

ألاحِظُ أنَّ نُقطَةَ الانتِهاءِ عندَ $-\frac{5}{8}+(-\frac{3}{8})=-1 \mathrm{لذا}، -1$

3) $\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$

ألاحِظُ أنَّ نُقطَةَ الانتِهاءِ عندَ$1\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\mathrm{لذا،} \frac{1}{2}$

 

حينَ أجمعُ أوْ أطرحُ عددينِ نسبيَّينِ لهما مقامانِ مختلفانِ، أجدُ المضاعفَ المشتركَ الأصغرَ (م.م.أ) للمقامينِ، ثمَّ أجدُ عددًا نسبيًّا مكافئًا لأحدِ العددينِ أوْ كليهِما. أجمَعُ البَسطَيْنِ أوْ أطرحُهُما، ثمَّ أكتبُ النّاتِجَ فوقَ المَقامِ نفْسِهِ.

مثال2: أجِدُ ناتِجَ كلٍّ ممّا يأتي: 

1) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=-\frac{1\times 4}{3\times 4}+\frac{1\times 3}{4\times 3}$                         أجدُ المضاعفَ المشتركَ الأصغرَ (م.م.أ) للمقامينِ وهو 12

             $$\begin{gathered} =\frac{-4+3}{12} \\ =\frac{-1}{12} \end{gathered}$$                                        أجمع 

2) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}$

$-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=-\frac{1\times 4}{2\times 4}-\frac{1\times 1}{8\times 1}$                         أجدُ المضاعفَ المشتركَ الأصغرَ (م.م.أ) للمقامينِ وهو 8

 

     أجمع                                        $$\begin{gathered} =\frac{-4-1}{8} \\ =\frac{-5}{8} \end{gathered}$$              

 

3) $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{+}\left(-\frac{1}{4}\right)$

$0.5+\left(-\frac{1}{4} \right)=0.5 +\left(-0.25\right)$                       أحوِّلُ الكَسَْر الفعِلَّي إلى كَسٍْر عَشْريٍّ

$$\begin{gathered} =0.5-0.25 \\ =0.25 \end{gathered}$$                             أطرح      

مثال 3 أجِدُ ناتِجَ كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\mathbf{-}\mathbf{3}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}$

 الطريقةُ 1 : أحوِّلُ الأعدادَ الكسريَّةَ إلى كسورٍ غيرِ فعلِيَّةٍ ثمَّ أجمَعُها. 

  $-3\frac{1}{2}+2\frac{5}{6}=-\frac{7}{2}+\frac{17}{6}$                             أحوِّلُ العددَ الكسريَّ إلى كسٍْر غيرِ فعليٍّ

$-\frac{7\times 3}{2\times 3}+\frac{17}{6} =-\frac{21}{6}+\frac{17}{6}$                        أجدُ المضاعفَ المشتركَ الأصغرَ (م.م.أ) للمقامينِ وهو 6

  $$\begin{gathered} =\frac{-21+17}{ 6} \\ =\frac{-4}{6} \\ =\frac{-2}{3} \end{gathered}$$                                               أجمع ، وابسط الناتج لأبسط صورة 

الطريقةُ 2 : أجمَعُ الأعدادَ الكُليّةَ، وأجمَعُ الكُسورَ

       $-3\frac{1}{2}+2\frac{5}{6}=-3+\left(\frac{-1}{2}\right)+2+\frac{5}{6}$        أُجزِّئُ الأعدادَ الكسريّةَ

$=\left[-3+\left(2\right)\right]+\left[\left(\frac{-1}{2}\right)+\frac{5}{6}\right]$         أُجمِّعُ الأعدادَ الكلّيّةَ معَ بعضِها، والكسورَ الفعليّةَ مَعَ بعضِها 

          $=-1+\left[\left(\frac{-1}{2}\right)+\frac{5}{6}\right]$         أجمعُ الأعدادَ الكليّةَ

                 $$\begin{gathered} =-1+\frac{2}{6} \\ =\frac{-4}{6} \\ =\frac{-2}{3} \end{gathered}$$          أجمعُ الكسورَ، وأجِدُ الناتِجَ في أبسطِ صورةٍ 

2) $\mathbf{-}\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{9}}\mathbf{-}\mathbf{3}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

    $-1\frac{1}{9}-3\frac{1}{6}=\frac{10}{9}-\frac{19}{6}$                            أحوّلُ الأعدادَ الكسرِيّةَ إلى كُسورٍ غيرِ فِعليّةٍ

$-\frac{10\times 2}{9\times 2}-\frac{19\times 3}{6\times 3}=-\frac{20}{18}-\frac{57}{18}$                 أجدُ المضاعفَ المشتركَ الأصغرَ (م.م.أ) للمقامينِ وهو 18

   $$\begin{gathered} =\frac{-20-57}{18} \\ = \frac{-77}{18} \end{gathered}$$                أطْرحُ

        $=-4\frac{5}{18}$                أكتبُ الناتجَ في صورةِ عددٍ كسريٍّ

 

عندَ جمعِ أيِّ عددٍ نسبيٍّ إلى معكوسِهِ يكونُ الناتجُ صفرًا؛ لذلكَ يُسمّى كلٌّ منهُما نظيرًا جَمْعِيًّا للآخرِ.

مثال 4: أجِدُ ناتِجَ كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{+}\left(-\frac{12}{5}\right)$

$2.4+(-\frac{12}{5})=2.4+\left(-2.4\right)$                        اكتب الكسر بالصورة العشرية باستخدام القسمة الطويلة 

$$\begin{gathered} =2.4-2.4 \\ =0 \end{gathered}$$                                             خاصيّةُ النظيرِ الجمعيِّ

2) $\mathbf{5}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\left(-\frac{11}{2}\right)$

$5\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+(-\frac{11}{2})=\frac{11}{2}+\frac{13}{4}-\frac{11}{2}$         أحوِّلُ الأعدادَ الكسريّةَ إلى كسورٍ غيرِ فعليَّةٍ

$=\frac{11}{2}-\frac{11}{2}+\frac{13}{4}$                    الخاصيّةُ التبديليّةُ

$=0+\frac{13}{4}=\frac{13}{4}$                                        خاصيّةُ النظيرِ الجمعيِّ

 

مثال4: من الحياة : رياضةٌ بحْريّةٌ: قفَزَ أيمنُ منَ ارتفاعِ 12.3m فوقَ سَطحِ البحرِ،  وعندَ مُلامَستِهِ سطْحَ الماءِ، غاصَ إلى الأسفل 2.8m أستخدِمُ الأعدادَ النّسبيّةَ لإيجادِ الفرقِ بينَ مَوقِع قفْزِ أيمَنَ والعمقِ الّذي وصلَ إليهِ تحتَ سطحِ الماءِ. 

يمكنُ اعتبارُ الارتفاعِ فوقَ مُستوى سطحِ البحرِ قيمةً موجبةً،  والذي تحتَ سطحِ البحرِ قيمةً سالبةً، أيْ إنَّ أيمَنَ قطعَ 12.3m فوقَ سطحِ البحرِ، و 2.8m- تحتَ سطحِ البحرِ 

$12.3-\left(-2.8\right)$                                               الفرقُ بينَ الارتفاعينِ 

$$\begin{gathered} =12.3+2.8 \\ =15.1\mathrm{m} \end{gathered}$$                                                 نطرح 

أيْ إنَّ الفرقَ بينَ موقعِ قفزِ أيمنَ والعمقِ الذي وصلَ إليهِ تحتَ سطحِ الماءِ هوَ 15.1m