توزيع ذي الحدين

Binomial Distribution

سنتعرف في درس توزيع ذي الحدين إلى:

1) التجربة الاحتمالية ذات الحدين.

2) التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدين.

3) التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدين.

4) التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدين.

 

أولًا: التجربة الاحتمالية ذات الحدين

تسمى تجربة بيرنولي إذا كررت عددًا من المَرّات المستقلة بالتجربة الاحتمالية ذات الحدين.

مفهوم أساسي

إذا توافرت الشروط الأربعة الآتية في تجربة عشوائية ما، فإنها تُعَدُّ تجربة احتمالية ذات حدَّين :

1) اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.

2) فرز النتائج المُمكِنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.

3) ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.

4) وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة. 

 

مثال1: أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدين في كلًّ ممّا يأتي:

1) إلقاء 5 قطع نقدية منتظمة ومتمايزة، ثم كتابة عدد الصور التي ظهرت. 

الحل:

أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:

         1- اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة ومُتكرِّرة وعددها 5.

        2- فرز النتائج  في كل محاولة إلى نجاح(ظهور الصورة) وفشل ( عدم ظهور الصورة - أي ظهور الكتابة).

       3- ثبات احتمال النجاح(ظهور الصورة) في كل محاولة ويساوي $\frac{1}{2}$.

      4- وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة وعددها 5.

إذًا،تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين.

 

2) سحب (6) كرات على التوالي مع الإرجاع، من صندوق فيه (8)كرات حمراء، و (9) كرات بيضاء، ثم كتابة عدد الكرات البيضاء المسحوبة.

الحل:

أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:

     1- اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة(لأن السحب مع الإرجاع ونتيجة أي سحبه لا يؤثر على نتيجة السحبة الأخرى) ومُتكرِّرة وعددها 6.

     2- فرز النتائج  في كل محاولة إلى نجاح(ظهور كرة بيضاء) وفشل ( عدم ظهور كرة بيضاء - أي ظهور كرة حمراء)

    3- ثبات احتمال النجاح(ظهور كرة بيضاء) في كل محاولة ويساوي$\frac{9}{17}$.

    4- وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة وعددها 6

إذًا،تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين.

 

 3) سحب (4) كرات على التوالي بدون إرجاع، من صندوق فيه (7)كرات سوداء، و (6) كرات زرقاء، ثم كتابة عدد الكرات السوداء المسحوبة.

أبحث في تحقق الشروط الأربعة للتجربة:

    1- في هذه التجربة المحاولات ليست مستقلة لأن السحب بدون إرجاع ونتيجة أي سحبه تؤثر على نتيجة السحبة الأخرى.

إذًا،لا تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين بسبب عدم تحقيقها أحد الشروط.

(كذلك ألاحظ أن احتمال النجاح (سحب كرة سوداء) ليس ثابتًا في هذه التجربة ويتغير  من سحبة إلى أخرى).

 

أتحقَّق من فهمي:

أبين إذا كانت كل تجربة مما يأتي تمثل تجربة احتمالية ذات الحدين: 

 

1) إلقاء 15 قطعة نقدية منتظمة ومتمايزة، ثم كتابة عدد الصور التي ظهرت. 

    الإجابة: تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين لأنها تحقق الشروط الأربعة.

 

2) إلقــاء حجر نرد منتظم  10 مَرّات، ثم كتابة عدد المَـرّات التي يظهر فيها العدد      3 على الوجه العلوي لحجر النرد.

    الإجابة: تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين لأنها تحقق الشروط الأربعة.

 

3) سحب (7) كرات على التوالي بدون إرجاع، من صندوق فيه (10)كرات حمراء، و (6) كرات سوداء، ثم كتابة عدد الكرات الحمراء المسحوبة.

الإجابة: لا تُمثِّل هذه التجربة العشوائية تجربة احتمالية ذات حدَّين بسبب عدم تحقيقها أحد الشروط وهو استقلال الحوادث(السحب بدون إرجاع).

 

ثانيًا: المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين، وتوزيعه الاحتمالي

في التجربة الاحتمالية ذات الحدَّين، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد مَرّات النجاح في جميع محاولات التجربة التي عددها $n$، وكان احتمال النجاح في كل محاولة هو $p$، فإنَّ $X$ يُسمّى المُتغيِّر العشوائي ذا الحدَّين، ويُمكِن التعبير عنه بالرموز على النحو التالي: $X~B\left(n,p\right)$

ويسمى $p,n$ معاملا المُتغيِّر العشوائي$X$، ويأخذ المُتغيِّر العشوائي $X$ القيم الآتية: $0,1,2,3,...,n$ أيْ إنَّ: $x\in \left\{0,1,2,3,...,n\right\}$

 

مفهوم أساسي (التوزيع الاحتمالي) 

 إذا كان: $X~B(n, p)$، فإنَّ: $x\in \{0,1,2,3,...,n\}$، ويعطى التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي $X$ بالقاعدة الآتية:

          $P\left(X=r\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{\left(1-p\right)}^{n-r}$

حيث:

$n$: عدد المحاولات في التجربة.

$p$: احتمال النجاح في كل محاولة.

$r$: عدد المحاولات الناجحة من بين $n$ من المحاولات.

 

مثال 1: إذا كان: $X~B(4, 0.7)$، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

$1) P\left(X=2\right) 2) P\left(X\le 3\right) 3) P\left(X>3\right)$

الحل:

1) $P(X=2)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-p)}^{n-r}$
بتعويض $n=4 , r=2 , p=0.7$	$P(X=2)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) {(0.7)}^2{(1-0.7)}^{4-2}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X=2)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) {(0.7)}^2{(1-0.7)}^{4-2} \\ =\frac{4!}{(4-2)!2!}(0.49){(0.3)}^2 \\ =\frac{4\times 3\times 2!}{2!2!}(0.49)(0.09) \\ =6 (0.49)(0.09) \\ =0.2646 \end{gathered}$$

 

2) $P(X\le 3)$

احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P\left(X\le 3\right)=1-P\left(X>3\right) \\ =1-P\left(X=4\right) \end{gathered}$$
بتعويض $n=4 , r=4 , p=0.7$	$P(X\le 3)=1-\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right){(0.7)}^4{(1-0.7)}^{4-4}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X\le 3)=1-\left(1\right){(0.7)}^4{(0.3)}^0 \\ =1-{(0.7)}^4\left(1\right) \\ =1-0.2401 \\ =0.7599 \end{gathered}$$

 

3) $P(X>3)$

$P(X>3)$ هي	$P(X>3)=P(X=4)$
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-0.7)}^{n-r}$
بتعويض $n=4 , r=4 , p=0.7$	$P(X=4)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right) {(0.7)}^4{(1-0.7)}^{4-4}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X=4)=\left(1\right){(0.7)}^4{(0.3)}^0 \\ =\left(1\right){(0.7)}^4\left(1\right) \\ ={(0.7)}^4=0.2401 \end{gathered}$$

 

مثال 2: إذا كان: $X~B(5, 0.4)$، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

$1) P(X=3) 2) P(X\le 4) 3) P(X>3)$

الحل:

1)   $P(X=3)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-p)}^{n-r}$
بتعويض $n=5 , r=3 , p=0.4$	$P(X=3)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right) {(0.4)}^3{(1-0.4)}^{5-3}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X=3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}(0.064){(0.6)}^2 \\ =\frac{5\times 4\times 3!}{3!2!}(0.064)(0.36) \\ =10(0.064)(0.36) \\ =0.2304 \end{gathered}$$

 

2) $P(X\le 4)$

مجموع احتمال الحوادث المتنافية	$P(X\le 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$
احتمال المتممة	$P(X\le 4)=1-P(X=5)$
بتعويض $n=5 , r=5 , p=0.4$	$P(X\le 4)=1-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right){(0.4)}^5{(1-0.4)}^{5-5}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X\le 4)=1-\left(1\right){(0.4)}^5{(0.6)}^0 \\ =1-{(0.4)}^5\left(1\right) \\ =1-0.01024 \\ =0.98976 \end{gathered}$$

 

3) $P(X>3)$

مجموع احتمال الحوادث المتنافية	$P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)$
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P\left(X>3\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right){\left(0.4\right)}^4{\left(1-0.4\right)}^{5-4}+\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right){\left(0.4\right)}^5{\left(1-0.4\right)}^{5-5}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X>3)=\frac{5!}{4!(5-4)!}{(0.4)}^4(0.6)+\frac{5!}{5!(5-5)!}{(0.4)}^5{(0.6)}^0 \\ =\frac{5\times 4!}{4!1!}(0.0256)(0.6)+\left(1\right){(0.4)}^5\left(1\right) \\ =\left(5\right)(0.0256)(0.6)+0.01024 \\ =0.0768+0.01024 \\ =0.08704 \end{gathered}$$

 

أتحقق من فهمي

إذا كان:$X~B\left(5, 0.1\right)$، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

$a) P\left(X=4\right) b) P\left(X\le 4\right) c) P\left(X>2\right)$

الإجابة:  $a) 0.00045 b)0.99999 c) 0.0085$

 

مثال 3:(من الحياة) تطلب إحدى شركات الاتصالات من عملائها تعبئة نموذج تقييم مستوى الرضا عن الخدمة المقدمة لهم، وتبيَّن من خلال هذه النماذج أن درجة الرضا عن الخدمة المقدمة  للعميل هي %80، إذا قدمت الشركة في أحد الأيام الخدمة إلى (7) عملاء.

1) ما احتمال رضا 3 عملاء عن الخدمة المقدمة لهم؟

2) ما احتمال رضا 3 عملاء على الأقل عن الخدمة المقدمة لهم؟

الحل: 

يمكن النظر إلى عملية تقديم الخدمة على أنها محاولات متكررة ومستقلة وكل محاولة لها نتيجتان رضا العميل عن الخدمة المقدمة له أو عدم الرضا ، كما أن احتمال رضا العميل ثابت في جميع المحاولات وهو(0.8)، كما أن عدد المحاولات محدود وهو (7)، لذلك يمكن النظر إلى عملية تقديم الخدمة على أنها تجربة احتمالية ذات حدين

إذا دل المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين$X$ على عدد العملاء الذين تلقوا الخدمة، فإن:$X~B(7, 0.8)$

1) $P(X=3)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-p)}^{n-r}$
بتعويض  $n=7 , r=3, p=0.8$	$P(X=3)=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right) {(0.8)}^3{(1-0.8)}^{7-3}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X=3)=\frac{7!}{3!\left(7-3\right)!} {(0.8)}^3{(0.2)}^4 \\ =\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{3!4!}{(0.8)}^3{(0.2)}^4 \\ =\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}{(0.8)}^3{(0.2)}^4 \\ =(7\times 5){(0.8)}^3{(0.2)}^4 \\ \approx 0.029 \end{gathered}$$

إذًا، احتمال رضا 3 عملاء فقط عن خدمات الشركة هو: 0.029 تقريبًا.

 

2) احتمال رضا 3 عملاء على الأقل عن خدمات الشركة هو: $P(X\ge 3)$

مجموع احتمال الحوادث المتنافية	$P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)$
احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P(X\ge 3)=1-P(X<3) \\ =1-\left(P\left(X=0\right)+P(X=1)+P(X=2)\right) \end{gathered}$$
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X\le 3)=1-(\left(\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right){(0.8)}^0{(1-0.8)}^{7-0}+\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right){(0.8)}^1{(1-0.8)}^{7-1}+\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right){(0.8)}^2{(1-0.8)}^{7-2})$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X\le 3)=1-(\left(1\right)\left(1\right){\left(0.2\right)}^7+\left(7\right)\left(0.8\right){\left(0.2\right)}^6+\left(21\right)\left(0.64\right){\left(0.2\right)}^5) \\ =1-(0.0000128+0.0003584+0.0043008) \\ =1-0.004672 \\ \approx 0.995 \end{gathered}$$

إذًا، احتمال رضا 3 عملاء على الأقل عن خدمات الشركة هو: 0.995 تقريبًا.

 

مثال4: (من الحياة)

وفقًا لنموذج تقييم الخدمة الإلكتروني في إحدى شركات صيانة أجهزة الهاتف النقال ، تبيَّن رضا %70 من الزبائن عن خدمات الشركة. إذا قدَّمت الشركة خدماتها إلى 8 زبائن في أحد الأيام، فأجد كُلاًً ممّا يأتي:

1) احتمال رضا(5) زبائن فقط عن خدمات الشركة.

2) احتمال رضا(2) من الزبائن على الأقل عن خدمات الشركة.

الحل:

يمكن النظر إلى عملية تقديم الخدمة على أنها محاولات متكررة ومستقلة وكل محاولة لها نتيجتان رضا الزبون عن الخدمة المقدمة له أو عدم الرضا ، كما أن احتمال رضا الزبون ثابت في جميع المحاولات وهو(0.7)، كما أن عدد المحاولات محدود وهو (8)، لذلك يمكن النظر إلى عملية تقديم الخدمة على أنها تجربة احتمالية ذات حدين

إذا دل المُتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين $X$ على عدد العملاء الذين تلقون الخدمة، فإن:$X~B(8, 0.7)$

1) احتمال رضا(5) زبائن فقط عن خدمات الشركة هو  $P(X=5)$.

صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-p)}^{n-r}$
بتعويض $n=8 , r=5 , p=0.7$	$P(X=5)=\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right) {(0.7)}^5{(1-0.7)}^{8-5}$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X=5)=\frac{8!}{5!\left(8-5\right)!} {(0.7)}^5{(0.3)}^3 \\ =\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{5!3!}{(0.7)}^5{(0.3)}^3 \\ =\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}{(0.7)}^5{(0.3)}^3 \\ =\left(56\right)(0.16807)(0.027) \\ \approx 0.25 \end{gathered}$$

إذًن، احتمال رضا 5 زبائن فقط عن خدمات الشركة هو: 0.25 تقريبًا.

2) احتمال رضا(2) من الزبائن على الأقل عن خدمات الشركة هو: $P(X\ge 2)$

مجموع احتمال الحوادث المتنافية	$P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=8)$
احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P(X\ge 2)=1-P(X<2) \\ =1-\left(P(X=0)+P(X=1)\right) \end{gathered}$$
صيغة التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$P(X\ge 2)=1-\left(\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right){\left(0.7\right)}^0{\left(1-0.7\right)}^{8-0}+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right){(0.7)}^1{(1-0.7)}^{8-1}\right)$
بالتبسيط باستخدام الحاسبة	$$\begin{gathered} P(X\ge 2)=1-\left(\left(1\right)\left(1\right){\left(0.3\right)}^8+\left(8\right){(0.7)}^1{(0.3)}^7\right) \\ =1-(0.00006561+0.00122472) \\ =1-0.00129033 \\ \approx 0.999 \end{gathered}$$

إذًن، احتمال رضا (2) من الزبائن على الأقل عن خدمات الشركة هو: 0.999 تقريبًا.

 

أتحقق من فهمي

طقس: في دراسة تناولت حالة الطقس مدَّة طويلة في إحدى المدن، تبيَّن أنَّ احتمال أنْ يكون أيُّ يوم فيها ماطرًا هو $\frac{2}{5}$. إذا اختيرت 6 أيام عشوائيًا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

1) احتمال أنْ تكون 4 أيام فقط من هذه الأيام ماطرة. الإجابة: 0.14 تقريبًا

2) احتمال أنْ يكون يوم واحد على الأقل من هذه الأيام ماطرًا. الإجابة: 0.95 تقريبًا

 

 

ثالثًا: التوقُّع والتباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

 التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

مفهوم أساسي

إذا كان: $X~B(n,p)$، فإن: $x\in \{0,1,2,3,...,n\}$، ويعطى التوقُّع  للمُتغيِّر العشوائي $X$ بالقاعدة الآتية:

                                 $E\left(X\right)=np$

حيث:

$n$: عدد المحاولات في التجربة.

$p$: احتمال النجاح في كل محاولة.

 

مثال 1: إذا كان: $X~B(10,0.2)$، أجد توقُّع  المُتغيِّر العشوائي $X$.

الحل:

صيغة توقُّع  المُتغيِّر العشوائي	$E\left(X\right)=np$
بتعويض $n=10 , p=0.2$	$E\left(X\right)=\left(10\right)(0.2)$
بالتبسيط	$E\left(X\right)=2$

 

مثال 2: إذا كان $X~B(21,\frac{5}{7})$، أجد توقُّع  المُتغيِّر العشوائي $X$.

الحل:

صيغة توقُّع  المُتغيِّر العشوائي	$E\left(X\right)=np$
بتعويض $n=21 , p=\frac{5}{7}$	$E\left(X\right)=\left(21\right)\left(\frac{5}{7}\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\left(3\right)\left(5\right) \\ =15 \end{gathered}$$

 

مثال 3: مصنع لإنتاج القمصان، إذا كان نسبة القمصان المعيبة في إنتاجه %5، وتم إختيار عينة عشوائية مكونة من (20) قميصًا من إنتاجه، فما عدد القمصان التي يُتوقُّع أنْ تكون معيبة في هذه العينة؟

الحل:

صيغة توقُّع  المُتغيِّر العشوائي	$E\left(X\right)=np$
بتعويض $n=20 , p=0.05$	$E\left(X\right)=\left(20\right)(0.05)$
بالتبسيط	$E\left(X\right)=1$

إذًا، عدد القمصان التي يُتوقُّع أنْ تكون معيبة في هذه العينة (الـمكونة من 20 قميصًا) قميص واحد.

 

أتحقق من فهمي

بعد إجراء مسح لمشتركي إحدى شركات الاتصال، تبيَّن أنَّ %60 من المشتركين هم من الذكور. إذا اختير 200 مشترك عشوائيًا لاستطلاع آرائهم حيال الخدمات التي تُقدمها الشركة، فأجد عدد الذكور المُتوقَّع في هذه العينة.

الإجابة:عدد الذكور المُتوقَّع في هذه العيَّنة هو: 120 مشتركًا.

 

 التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

مفهوم أساسي

إذا كان: $X~B(n,p)$، فإن:$x\in \{0,1,2,3,...,n\}$، ويعطى التباين  للمُتغيِّر العشوائي $X$ بالقاعدة الآتية: 

                     $Var\left(X\right)={\sigma }^2=np\left(1-p\right)$                     

حيث:

$n$ : عدد المحاولات في التجربة.

$p$ : احتمال النجاح في كل محاولة.

مثال 1: إذا كان: $X~B(100, 0.8)$، فأجد التباين$\left({\sigma }^2\right)$ للمُتغيِّر العشوائي $X$.

الحل:

صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$Var\left(X\right)= {\sigma }^2=np\left(1-p\right)$
بتعويض  $n=100 , p=0.8$	$Var\left(X\right)={\sigma }^2=\left(100\right)(0.8)(1-0.8)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} Var\left(X\right)={\sigma }^2=\left(100\right)(0.8)\left(0.2\right) \\ =16 \end{gathered}$$

 

مثال 2: إذا كان: $X~B(30,\frac{ 2}{5})$، فأجد التباين$\left({\sigma }^2\right)$للمُتغيِّر العشوائي $X$.

الحل:

صيغة التباين للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين	$Var\left(X\right)={\sigma }^2=np(1-p)$
بتعويض  $n=30 , p=\frac{2}{5}$	$Var\left(X\right)={\sigma }^2=\left(30\right)\left(\frac{2}{5}\right)(1-\frac{2}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} Var\left(X\right)={\sigma }^2=\left(30\right)\left(\frac{2}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) \\ =\left(30\right) \left(\frac{6}{25}\right)=\frac{180}{25} \\ =7.2 \end{gathered}$$

 

أتحقق من فهمي

1) إذا كان: $X~B(20, 0.4)$،فأجد التباين للمُتغيِّر العشوائي $X$.

الإجابة: التباين= 4.8

2) إذا كان: $X~B(18,\frac{ 1}{3})$،فأجد التباين للمُتغيِّر العشوائي $X$. 

الإجابة: التباين= 4