تمثيل الاقتران الخطي

مفاهيم أساسية :

يمكنُني التعبيرُ عنِ الاقترانِ باستخدامِ أزواجٍ مرتَّبةٍ (x,y) حيث x تُمثِّلُ المدخلةَ، و y تمثل المخرجة عندَ تمثيلِ هذهِ الأزواجِ المرتّبةِ على المستوى الإحداثيِّ فإنَّني أحصلُ على جزءٍ منَ التمثيلِ البيانيِّ للاقترانِ اذ يتكوَّنُ التمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ منْ جميعِ النقاطِ التي تحقِّقُ قاعدَتَهُ. 

مثال1: أُمثِّلُ بيانِيًّا الاقترانَ المُعطى بالمخطَّطِ السَّهْمِيِّ المجاورِ. 

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right)\begin{array}{c}\mathbf{\to }\\ \mathbf{\to }\\ \mathbf{\to }\\ \mathbf{\to }\end{array}\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 7\\ 9\end{array}\right)$

أُمثِّلُ الأزواجَ المرتَّبَةَ$\left(1,3\right) ,\left(2,5\right), \left(3,7\right) ,\left(4,9\right)$على المستوى الإحداثيِّ. 

 

تعلَّمْتُ في الدرسِ السابقِ كتابةَ قاعدةِ الاقترانِ على صورةِ معادلةٍ تحتوي على متغيِّرَيْنِ، مثلِ: $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}$ وحلولُ هذهِ المعادلةِ أزواجٌ منْ قِيَمِ المدخلاتِ x والمخرجاتِ y التي تحقِّقُ المعادلةَ. ويمكنُ التعبيرُ عنْ هذهِ القيمِ بأزواجٍ مرتَّبةٍ على الشكلِ(x,y)

مثال2: أجدُ أربعةَ حُلولٍ للمُعادلةِ $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}$ ثمَّ أُمثِّلُها بيانيًّا على المستوى الإحداثيِّ. 

أختارُ 4 قِيَمٍ للمُدخلاتِ، ولتكُنْ: 1,2,3,4 ثمَّ أجدُ قيمَ المخرجاتِ المناظِرةِ لها باستخدامِ المعادلةِ. 

(x,y)	y	x-2	x
(1,-1)	-1	1-2	1
(2,0)	0	2-2	2
(3,1)	1	3-2	3
(4,2)	2	4-2	4

يُمثِّلُ كلُّ زوجٍ مرتَّبٍ في الجدولِ حلًّ للمعادلةِ $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ وعندَ تمثيلِ هذهِ الأزواجِ المرتبةِ على المستوى الإحداثيِّ فإنَّنا نحصلُ على جزءٍ منَ التمثيلِ البيانيِّ للمعادلةِ؛ لأنَّ للمعادلةِ حلولاً أخرى غيرَ هذهِ التي أوْجدْناها
في الجدولِ. 

 ألاحِظُ في المثالِ السابقِ أنَّ النقاطَ الأربعَ التي تمثِّلُ حلولَ المعادلةِ تقعُ على مستقيمٍ واحدٍ؛ ولذلكَ فإنَّ أيَّ نقطةٍ تقعُ على هذا المستقيمِ تمثِّلُ حلًّ للمعادلةِ $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ لنختبر النقطة (5,3) التي تقعُ على المستقيمِ نفسِهِ. 

$\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$                              أكتبُ المعادلةَ

$3\stackrel{??}{=}5-2$                             أعوض x=5 و y=3  

$3=3 ✓$                           . الطرفانِ متساويانِ 

إذنْ، النقطةُ (5,3) تحقق المعادلة $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ وبما أنَّ جميعَ حلولِ هذهِ المعادلةِ تقعُ على خطٍّ مستقيمٍ فإنَّا تُسمّى معادلةً خطيَّةً 

 

مثال 3: منَ الحياةِ : نباتُ الخيزرانِ أسرعُ النباتاتِ نُمُوًّا، فقدْ تصلُ سرعةُ نموِّهِ إلى 91cm في اليومِ الواحدِ. أكتبُ معادلةً في متغيِّرينِ تمثِّلُ مقدارَ نموِّ الخيزرانِ بعدَ مرورِ عددٍ منَ الأيّامِ، ثمَّ أمثِّلُ المعادلةَ بيانِيًّا

لِيَكُنِ المُتغيِّرُ x هوَ عددَ الأيّامِ، والمتغيّرُ y هوَ مقدارَ نموِّ الخيزرانِ. إذنْ، العلاقةُ بينَ هذينِ المتغيِّرينِ هيَ y=91x ولِتمثيلِ هذهِ المعادلةِ بيانِيًّا، أَتَّبِعُ الخطواتِ الثلاثَ الآتيةَ:

الخطوةُ 1: اختار بعضَ قيمِ المدخلاتِ x ولتكنْ: 1,2,3

الخطوةُ 2: أنشئُ جدولاً أستخدِمُهُ لإيجادِ قيمِ المخرجاتِ المقابِلَةِ لهذِهِ المدخلاتِ:

(x,y)	y	91x	x
(1,91)	91	91×1	1
(2,182)	182	91×2	2
(3,273)	273	91×3	3

الخطوةُ 3: أُمثِّلُ الأزواجَ المرتَّبةَ في المستوى الإحداثِيِّ، ثمَّ أرسمُ مستقيماً يمرُّ بها جميعًا:

 

 

.