تطبيقات عملية على الاشتقاق

تطبيقات عملية على الاشتقاق

هناك تطبيقات حياتية مثل: تحديد أكبر ربح ممكن ، أو إيجاد أقل كمية من مادة لازمة لصنع شيء ما، نستطيع أن نستخدم النقاط الحرجة وتصنيفها في حلها الذي يتطلب إيجاد قيمة عظمى أو صغرى تبعاً للخطوات الآتية: 

مثال:

يصمم مهندس سلة بلاستيكية على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل ومفتوح من الأعلى. إذا كان حجم السلة $40000 c{m}^3$: فأجد أبعادها التي تجعل كمية البلاستيك المستعملة في تصنيعها أقل ما يمكن ، مقربا إجابتي لأقرب جزء من عشرة.

1) أرسم مخططا لمتوازي أضلاع قاعدته مربعة الشكل، ثم أكتب اقترانا يمثل المساحة الكلية لسطح السلة.

أفرض أن طول القاعدة المربعة x وارتفاع السلة h، إذن: الاقتران الذي يمثل المساحة الكلية لسطح السلة مستثنيا مساحة القاعدة العلوية: 

$A=x^2+4xh$

2) أكتب الاقتران الذي يمثل المساحة الكلية؛ بدلالة متغير واحد.

أستعمل حجم السلة المعطى في المسألة، لأجد العلاقة بين الارتفاع وطول ضلع القاعدة.

$$\begin{gathered} V=l\times w\times h \\ 40000=x^{2}h \\ h=\frac{40000}{x^2} \end{gathered}$$

إذن العلاقة بين الارتفاع وطول ضلع القاعدة:

$h=\frac{40000}{x^2}$

ولكتابة الاقتران الذي يمثل مساحة السطح الكلية بدلالة x، أعوض $h=\frac{40000}{x^2}$ في الاقتران.

$$\begin{gathered} A=x^2+4xh \\ =x^2+4x\left(\frac{40000}{x^2}\right) \\ =x^2+\frac{160000}{x} \end{gathered}$$

إذن: الاقتران الذي يمثل مساحة السطح الكلية بدلالة المتغير x:

$A=x^2+\frac{160000}{x}$

3) أشتق الاقتران، ثم أجد القيمة الحرجة وأحدد نوعها.

$$\begin{gathered} \frac{dA}{dx}=2x-\frac{160000}{x^2} \\ 2x-\frac{160000}{x^2}=0 \\ 2x^3=160000 \\ x=\sqrt[3]{80000} \\ x\approx 43.1 \end{gathered}$$

إذن: القيمة لاقتران المساحة x=43.1. ولتحديد نوعها؛ أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$\frac{d^{2}A}{d{x}^2}=2+\frac{320000}{x^3}$

وبما أن المشتقة الثانية لاقتران المساحة موجبة لقيم x جميعها حيث x>0، إذن: القيمة الحرجة هي قيمة صغرى.

4) أجد قيمة h المناظرة لقيمة x الحرجة.

أعوض قيمة x في الارتفاع:

$$\begin{gathered} h=\frac{40000}{x^2} \\ =\frac{40000}{{\left(43.1\right)}^2} \\ \approx 21.5 \end{gathered}$$

إذن: أقل كمية من البلاستيك يمكن استعمالها في تصنيع السلة، تنتج عندما يكون طول ضلع قاعدتها 43.1cm، وارتفاعها 21.5cm

مثال:

تمثل المعادلة $R=30+\frac{x^3}{14400}$ تكلفة تشغيل شاحنة بالدينار في الساعة، حيث x سرعة الشاحنة (km/h).

1) أجد الاقتران الذي يمثل تكلفة قيادة الشاحنة مسافة 200km بدلالة x.

أجد الزمن اللازم لقطع مسافة 200km بدلالة x.

$$\begin{gathered} t=\frac{d}{v} \\ t=\frac{200}{x} \end{gathered}$$

أفرض أن C التكلفة الكلية للرحلة؛ فإن C=R×t، ثم أعوض $t=\frac{200}{x}$ في الاقتران.

$$\begin{gathered} C=R\times t \\ =\left(30+\frac{x^3}{14400}\right)\times \frac{200}{x} \\ =\frac{6000}{x}+\frac{x^2}{72} \end{gathered}$$

إذن: الاقتران الذي يمثل تكلفة قيادة الشاحنة مسافة 200km بدلالة x (سرعة الشاحنة):

$C=\frac{6000}{x}+\frac{x^2}{72}$

2) أجد سرعة الشاحنة الأكثر اقتصادا للوقود في أثناء الرحلة

أشتق الاقتران، ثم أجد القيمة الحرجة وأحدد نوعها.

$$\begin{gathered} \frac{dC}{dx}=\frac{-6000}{x^2}+\frac{x}{36} \\ \frac{-6000}{x^2}+\frac{x}{36}=0 \\ \frac{6000}{x^2}=\frac{x}{36} \\ {x}^3=216000 \\ x=\sqrt[3]{216000} \\ x=60 \end{gathered}$$

إذن: القيمة الحرجة لاقتران التكلفة x=60، ولتحديد نوعها أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$\frac{d^{2}C}{d{x}^2}=\frac{12000}{x^3}+\frac{1}{36}$

وبما أن المشتقة الثانية لاقتران التكلفة موجبة لقيم x الموجبة جميعها، إذن: القيمة الحرجة هي قيمة صغرى.

إذن: سرعة الشاحنة الأكثر اقتصادا للوقود في أثناء الرحلة 60km/h

ومن الأمثلة على إيجاد القيمة العظمى في التطبيقات الحياتية

مثال: 

وجد خبير تسويق أنه لبيع x حاسوبا من نوع جديد يجب أن يكون s(x)=1000-x، حيث x عدد الأجهزة المبيعة. فإذا كانت تكلفة إنتاج x من هذه الأجهزة تعطى بالاقتران C(x)=3000+20x؛ فأجد عدد الأجهزة التي يجب إنتاجها وبيعها للحصول على أكبر ربح ممكن.

1) أكتب اقترانا يمثل ربح الشركة عند بيع صفقة تحتوي x من الأجهزة.

إذا كان سعر بيع الجهاز الواحد s؛ فإن سعر بيع x من الأجهزة يمثل بالاقتران الآتي:

$$\begin{gathered} R\left(x\right)=x.s\left(x\right) \\ =x\left(1000-x\right) \\ =1000x-x^2 \end{gathered}$$

ولإيجاد اقتران الرب لبيع x من الأجهزة، أطرح اقتران التكلفة من اقتران سعر البيع.

$$\begin{gathered} P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) \\ =\left(1000x-x^2\right)-\left(3000+20x\right) \\ =-x^2+980x-3000 \end{gathered}$$

2) أشتق اقتران الربح، ثم أجد القيمة الحرجة وأحدد نوعها.

$$\begin{gathered} P\text{'}\left(x\right)=-2x+980 \\ -2x+980=0 \\ -2x=-980 \\ x=490 \end{gathered}$$

إذن: القيمة الحرجة لاقتران الربح x=490، ولتحديد نوعها أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$P\text{'}\text{'}\left(x\right)=-2$

وبما أن المشتقة الثانية للاقتران سالبة لقيم x الموجبة جميعها، إذن: القيمة الحرجة هي قيمة عظمى.

إذن: أكبر ربح يمكن أن تحصل عليه الشركة، وهو عند إنتاج 490 جهاز حاسوب.

يمكننا إيجاد القيم العظمى لاقتران المساحة لإيجاد أكبر مساحة ممكنة لمنطقة ما.

مثال:

سلك طوله 100cm يراد ثنيه لإحاطة الشكل المجاور، المكون من مستطيل طوله h cm وعرضه 2r cm، ونصفي دائرة نصف قطر كل منها r cm في أعلى المستطيل وأسفله. أجد أكبر مساحة مغلقة يمكن للسلك إحاطتها.

1) أكتب اقترانا يمثل مساحة المنطقة المغلقة.

بما أن المنطقة مكونة من نصفي دائرة ومستطيل؛ فإن الاقتران الذي يمثل مساحة المنطقة:

$A=\mathrm{\pi }{r}^2-2rh$

2) أكتب اقتران المساحة بدلالة متغير واحد باستعمال المحيط.

$$\begin{gathered} 100=2\mathrm{\pi }r+2h \\ h=50-\mathrm{\pi }r \end{gathered}$$

ولكتابة الاقتران الذي يمثل المساحة بدلالة r، أعوض $h=50-\mathrm{\pi }r$ فيه.

$$\begin{gathered} A=\mathrm{\pi }{r}^2+2rh \\ =\mathrm{\pi }{r}^2+2r \left(50-\mathrm{\pi }r\right) \\ =100r-\mathrm{\pi }{r}^2 \end{gathered}$$

3) أشتق اقتران المساحة، ثم أجد القيمة الحرجة وأحدد نوعها.

$$\begin{gathered} \frac{dA}{dr}=100-2\mathrm{\pi }r \\ 100-2\mathrm{\pi }r=0 \\ -2\mathrm{\pi }r=-100 \\ r=\frac{50}{\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

إذن: القيمة الحرجة لاقتران المساحة $r=\frac{50}{\mathrm{\pi }}$، ولتحديد نوعها أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$\frac{d^{2}A}{d{r}^2}=-2\mathrm{\pi }$

وبما أن المشتقة الثانية للاقتران سالبة لقيم x الموجبة جميعها، إذن: القيمة الحرجة هي قيمة عظمى.

ولإيجاد أكبر مساحة مغلقة يمكن للسلك إحاطتها؛ أعوض $r=\frac{50}{\mathrm{\pi }}$ في اقتران المساحة:

$$\begin{gathered} A=100r-\mathrm{\pi }{r}^2 \\ =100\left(\frac{50}{\mathrm{\pi }}\right)-\mathrm{\pi }\left(\frac{50}{\mathrm{\pi }}\right) \\ =\frac{5000}{\mathrm{\pi }}-50 \end{gathered}$$

إذن: أكبر مساحة مغلقة يمكن للسلك إحاطتها $\frac{5000}{\mathrm{\pi }}-50 c{m}^2$