اوتار الدائرة واقطارها ومماساتها

الدائرة: هي المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى، بحيث تظل على البعد نفسه عن نقطة محددة تسمى مركز الدائرة. أما الوتر فهو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرة، ويسمى الوتر الذي يمر بمركز الدائرة القطر. ويطلق على القطعة المستقيمة التي تصل مركز الدائرة بنقطة عليها اسم نصف القطر 

القاطع هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين، ويحوي وترافيها. أما المستقيم الذي يشترك مع الدائرة في نقطة واحدة فقط فيسمى المماس. ويطلق على نقطة التقاء المماس بالدائرة اسم نقطة التماس 

مثال 

يمثل الشكل المجاور دائرة مركزها O. اسمي: 

1) مماسا للدائرة 

$\overleftrightarrow{LM}$

2) أربعة أنصاف أقطار 

$\overline{OV},\overline{OT},\overline{OX},\overline{OU}$

3) قطرا للدائرة

$\overline{ZT}$ 

4) وترا للدائرة 

$\overline{SR},\overline{ZT}$

نظريات 

1) الوتران النتطابقان يبعدان المسافة نفسها عن مركز الدائرة. والوتران اللذان يبعدان المسافة نفسها عن مركز الدائرة متطابقان 

مثال:  $OM=ON \mathrm{فان،} CD=AB \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

           $AB=CD \mathrm{فان،} OM=ON \mathrm{كان} \mathrm{واذا}$

2) المنصف العمودي لاي وتر في الدائرة يمر بمركزها. 

مثال: في الشكل المجاور، يقع مركز الدائرة على الخط المتقطع

3) نصف القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف ذلك الوتر. 

مثال: $\mathrm{يعامده} \mathrm{فانه} \mathrm{وتر} \mathrm{بمنتصف} \mathrm{القطر} \mathrm{مر} \mathrm{واذا}. MC=MD\mathrm{فان،} \overline{AB}\perp \overline{CD} \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

مثال 

في الشكل المجاور، $\overline{EF}و \overline{CD}$ وتران في دائرة مركزها O. إذا كان $ON=OX$، و$EF=8cm$، فما طول $\overline{NC}$؟ 

ON و OX يمثلان بعدي الوترين CD و EF عن مركز الدائرة، وهما متطابقان. 

$$\begin{gathered} ON=OX \\ CD=EF \\ NC=\frac{1}{2}CD \\ =\frac{1}{2}EF \\ =\frac{1}{2}\left(8\right)=4cm \end{gathered}$$

نظريات 

1) مماس الدائرة يكون عموديا على نصف القطر المرسوم من نقطة التماس 

مثال: نصف القطر $\overline{OX}$ عمودي على المماس $\overleftrightarrow{AB}$

$\overline{OX}\perp \overleftrightarrow{AB}$

2) المماسان المرسومان للدائرة من نقطة خارجها لهما الطول نفسه 

مثال: $\overline{PT} و \overline{PS}$ لهما الطول نفسه: $PS=PT$

مثال 

جبر: في الشكل المجاور، $\overleftrightarrow{TP}$ و $\overleftrightarrow{TQ}$ مماسان لدائرة مركزها O: 

1) أجد قيمة x

$$\begin{gathered} TP=TQ \\ 2x+3=4x-6 \\ 2x+3+6-2x=4x-6+6-2x \\ 9=2x \\ x=\frac{9}{2} \end{gathered}$$

2) أجد قياس الزاوية POQ

افترض أن قياس الزاوية POQ هو y: 

$$\begin{gathered} m<OQT=m<OPT=90° \\ 90°+70°+90°+y=360° \\ 250°+y=360° \\ y=360°-250°=110° \end{gathered}$$

مثال: من الحياة 

أبراج: يرتفع برج مراقبة 50m عن مستوى الأرض. ما أبعد نقطة على الأرض يمكن مشاهدتها من قمة البرج، بافتراض أن الأرض كرة طول نصف قطرها 6400km تقريبا؟ 

ارسم مخططا يمثل المسالة 

الدائرة تمثل الأرض، والنقطة T تمثل قمة البرج، والمماس $\overleftrightarrow{TD}$ يمثل خط البصر، ونقطة التماس D هي أبعد نقطة يمكن مشاهدتها من قمة البرج. ارتفاع البرج 50m=0.05km

$$\begin{gathered} m<TDC=90° \\ {\left(CT\right)}^2={\left(TD\right)}^2+{\left(CD\right)}^2 \\ {\left(6400+0.05\right)}^2={\left(TD\right)}^2+{\left(6400\right)}^2 \\ 40960640.002={\left(TD\right)}^2+40960000 \\ 640.0025={\left(TD\right)}^2 \\ 25.3\approx TD \end{gathered}$$

إذن، المسافة التي تمثل أبعد نقطة على الأرض يمكن مشاهدتها من قمة البرج هي: 25km تقريبا