الِاحْتِمالِاتُ

فكرةُ الدّرس

•أُعيّنُ قيمة الاحتمال على مقياس الاحتمال.

•أجدُ احتمالات حوادث بسيطةٍ.

 

المُصطلحاتُ

الحادثُ، احتمالُ الحادث، مقياسُ الاحتمال، مُتساوي الاحتمال، غيرُ مُتساوي الاحتمال.

 

تعلّمتُ سابقًا أنّ الحادث هُو ناتجٌ واحدٌ أو أكثر من نواتج التّجربة العشوائيّة، واحتمال الحادث هُو فُرصةُ وُقوعه. يُمكنُ وصفُ احتمال وُقوع أيّ حادثٍ في تجربةٍ عشوائيّةٍ باستعمال قيمةٍ عدديّةٍ تقعُ بين 0 و 1 على مقياس الاحتمال المُبيّن في الشّكل أدناهُ.

 

• قيمةُ الاحتمال 0 تعني أنّ الحادث لا يُمكنُ أن يقع.
• قيمةُ الاحتمال 1 تعني أنّ الحادث سوف يقعُ بالتّأكيد.

 

إنّ الحوادث الّتي احتمالُها أقلُّ من % 50 غيرُ مُرجّحة الوُقوع، والحوادث الّتي احتمالُها أكبرُ من % 50 مُرجّحةُ الوُقوع، أمّا الحوادثُ الّتي احتمالُها % 50 فاحتمالُ حُدوثها يُساوي احتمال عدم حُدوثها؛ أي إنّها مُتساويةُ الاحتمال.

 

مثال

أُعيّنُ احتمال كُلّ حادثٍ ممّا يأتي على مقياس الاحتمال:

1) أن أنام قبل مُنتصف اللّيلة القادمة.

من المُحتمل جدًّا أنّني سأنامُ قبل مُنتصف اللّيلة القادمة، إلّا أنّني قد لا أفعلُ ذلك لسببٍ ما؛ لذا يقعُ احتمالُ هذا الحادث بالقُرب من العدد 1 على خطّ الأعداد؛ لأنّهُ ليس حادثاً أكيدًا.

 

2) أن يسقُط الثّلجُ على مدينة عمّان في فصل الصّيف.

من غير المُمكن أن يسقُط الثّلجُ على مدينة عمّان في فصل الصّيف؛ لذا يقعُ احتمالُ هذا الحادث عند العدد 0 على مقياس الاحتمال؛ لأنّهُ حادثٌ مُستحيلٌ.

---

النواتج المُتساوية الاحتمال والنواتج غير متساوية الاحتمال
عند تدوير مُؤشّر القُرص (أ) المُجاور يكونُ لكُلّ عددٍ فُرصةُ الظُّهور نفسُها؛ لذا تُسمّى نواتجُ هذه التّجربة نواتج مُتساوية الاحتمال، وتُسمّى تجربةً عادلةً.
عند تدوير مُؤشّر القُرص (ب) المُجاور تكونُ فُرصُ ظُهور الأعداد مُختلفةً؛ لذا تُسمّى نواتجُ هذه التّجربة نواتج غير مُتساوية الاحتمال.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تعلّمتُ سابقًا أنّ الحادث هُو ناتجٌ واحدٌ أو أكثرُ من نواتج التّجربة العشوائيّة، ويُرمزُ إليه بأحد الأحرُف مثل A، ويُرمزُ إلى احتمال الحادث بالرّمز P(A) ، فإذا كانت التّجربةُ عشوائيّةً، فإنّ احتمال وُقوع أيّ حادثٍ يُساوي نسبة عدد عناصر الحادث إلى عدد النّواتج المُمكنة جميعها (الفضاء العينيّ).

$\frac{\mathrm{عَدَدَ} \mathrm{عَناصِرِ} \mathrm{الْحادِثِ}}{\mathrm{عَدَدِ} \mathrm{عَناصِرِ} \mathrm{الْفَضاءِ} \mathrm{الْعَيْنِيِّ}}=\left(A\right)P$

 

مثال لدى مريم كيسٌ يحتوي قطع حلوى بألوانٍ مُختلفةٍ، إذا أغمضت مريم عينيها وسحبت قطعة حلوى عشوائيًّا من الكيس، فأجدُ احتمال كُلّ حادثٍ ممّا يأتي:

 

 

 

 

1) A : سحبُ قطعة حلوى حمراء:

عددُ النّواتج المُمكنة (الفضاءُ العينيُّ) لهذه التّجربة العشوائيّة يُساوي 12 وعددُ عناصر الحادث (A) يُساوي 4؛ لأنّ الكيس فيه 4 قطع حلوى حمراء.

$P\left(A\right) = \frac{4}{12}= \frac{1}{3}$

 

2) B : سحبُ قطعة حلوى صفراء أو بُرتُقاليّةٍ:

عددُ عناصر الحادث (B) يُساوي 3؛ لأنّ الكيس فيه قطعتان حلوى صفراء وقطعةُ حلوى بُرتُقاليّةٍ واحدةٌ ومجموعُها معًا يُساوي 3

$P\left(B\right) = \frac{3}{12}= \frac{1}{4}$

 

3) C : سحبُ قطعة حلوى ليست خضراء:

عددُ عناصر الحادث (C) يُساوي 9 ؛ لأنّ الكيس يحتوي 9 قطع حلوى ليست خضراء.

$P\left(C\right) = \frac{9}{12}= \frac{3}{4}$

 

4) D : سحبُ قطعة حلوى زرقاء أو بنفسجية:

عددُ عناصر الحادث (D) يُساوي 2؛ لأنّ الكيس فيه قطعتان حلوى بنفسجية ولا يوجدُ فيه قطعُ حلوى زرقاء.

$P\left(D\right) = \frac{2}{12}= \frac{1}{6}$

 

5) E : سحبُ قطعة حلوى زهرية:

عددُ عناصر الحادث (E) يُساوي 0؛ لأنّ الكيس لا يوجدُ فيه قطعُ حلوى زهرية.

$P\left(E\right) = \frac{0}{12}= 0$

 

مثال: عند رمي حجر النّرد المُجاور مرّةً واحدةً، أجدُ احتمال كُلّ حادثٍ ممّا يأتي:

 

 

 

1) A : الحُصولُ على عددٍ زوجيٍّ:

النّواتجُ المُمكنةُ (الفضاءُ العينيُّ) لهذه التّجربة العشوائيّة هي { 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1} منها 3 أعدادٍ زوجيةّ هي { 6 , 4 , 2}.

إذن، احتمالُ الحُصول على عددٍ زوجيٍّ يُساوي: $P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

 

2) B : الْحُصولُ عَلى عَدَدٍ أَكْبَرَ مِنْ 5:

النّواتجُ المُمكنةُ (الفضاءُ العينيُّ) لهذه التّجربة العشوائيّة هي { 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1} منها عدد أكبر من 5 هو { 6 }.

إذن، احتمالُ الحُصول على عددٍ أكبر من 5: $P\left(B\right)=\frac{1}{6}$