الوسط الحسابي

مفاهيم أساسية :

 مقياسَ النزعةٍ مركزيةٍ : هي القيمةُ الّتي تصفُ مركزَ البياناتِ وَأكثرُ مقاييسِ النزعةِ المركزيةِ استخدامًا الوسطُ الحسابيُّ 

الوسطُ الحسابيُّ : وَهُوَ القيمةُ الّتي مجموعُ المسافاتِ بينَها وَبينَ القِيَمِ الأكبرِ مِنْها يساوي مجموعَ المسافاتِ بينَها وَبينَ القِيَمِ الأصغرِ منها. 

يمكنُ إيجادُ الوسطِ الحسابيِّ أيضًا بِجمعِ القِيَمِ ثمَّ قسمةِ الناتجِ على عددِها، وَيرمزُ لَهُ بِالرمزِ $\left(\overline{x}\right)$ وَتُقرأُ x بار

مثال 1 : أَجِدُ الوسطَ الحسابيَّ لِلبياناتِ 18,19,3,23,22 ثمَّ أرسمُ مخططًا سهميًّا لِأبيّنَ أنَّ مجموعَ المسافاتِ بينَ الوسطِ الحسابيِّ وَالقِيَمِ الأكبرِ مِنهُ يساوي مجموعَ المسافاتِ بينَهُ وَبينَ القِيَمِ الأصغرِ مِنهُ.

الْخُطْوَةُ 1: أَجِدُ الوسطَ الحسابيَّ

$\overline{\mathrm{x}}=\frac{18+19+3+23+22}{5}=\frac{85}{5}=7$            أجمعُ القِيَمَ، وَأقسمُها عَلى عددِها، أُبسّطُ 

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ يساوي 17 

الْخُطْوَةُ 2: أرسمُ مخططًا سهميًّا:

عندَ تمثيلِ البياناتِ بِالنقاطِ ألاحظُ أنَّ مجموعَ المسافاتِ بينَ العددِ 17 وَالقِيَمِ الأكبرِ مِنهُ يساوي 14 وَمجموعَ المسافاتِ أيضًا بينَ العددِ 17 والقيم الأصغرِ مِنهُ يساوي 14 مِثلَما في الشكلِ أدناهُ. 

 

تُسمّى القيمةُ الأكبرُ بِكثيرٍ أَوِ الأصغرُ بِكثيرٍ مِنْ بقيةِ البياناتِ قيمةً متطرِّفةً 

ألاحظُ في المثالِ السابقِ أنَّ العددَ 3 أصغرُ كثيرًا مِنْ بقيةِ البياناتِ؛ إذنْ، فَهُوَ قيمةٌ متطرِّفةُ. ألاحظُ أيضًا أنَّ العددَ 3 أدّى إلى إزاحةِ الوسطِ الحسابيِّ نحوَهُ (إلى اليسارِ)بعيدًا عَنْ معظمِ القِيَمِ. إذنْ، فَوُجودُ القِيَمِ المتطرِّفةِ يؤثِّرُ في الوسطِ الحسابيِّ، وَيجعلُهُ أقلَّ دقةً عندَ وصفِ مركزِ البياناتِ.

مثال 2: أحدّدُ القيمةَ المتطرِّفةَ في كلِّ مجموعةِ بياناتٍ مِمّا يَأتي، وَأصفُ أثرَها في الوسطِ الحسابيِّ:

1) $\mathbf{93}\mathbf{,}\mathbf{81}\mathbf{,}\mathbf{94}\mathbf{,}\mathbf{43}\mathbf{,}\mathbf{89}\mathbf{,}\mathbf{92}\mathbf{,}\mathbf{94}\mathbf{,}\mathbf{99}$

القيمةُ 43 أصغرُ بِكثيرٍ مِنْ بقيةِ القِيَمِ؛ لذا، فَهِيَ متطرِّفةٌ، وَعندَ حسابِ الوسطِ الحسابيِّ فَإنَّ هذِهِ القيمةَ المتطرِّفةَ سوفَ تؤثِّرُ في قيمَتِهِ وَتسحبُها نحوَها (لِأسفلَ) بِحيثُ تصبحُ أقلَّ مِنْ معظمِ القِيَمِ.

2)$\mathbf{8}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{,}\mathbf{5}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{,}\mathbf{19}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{4}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}$

القيمةُ $19\frac{1}{2}$ أكبرُ بِكثيرٍ مِنْ بقيةِ القِيَمِ؛ لِذا، فَهِيَ متطرِّفةٌ، وَعندَ حسابِ الوسطِ الحسابيِّ فَإنَّ هذِهِ القيمةَ المتطرِّفةَ سوفَ تؤثِّرُ في قيمَتِهِ وَتسحبُها نحوَها (للأعلى) بِحيثُ تصبحُ أكبر مِنْ معظمِ القِيَمِ.

 

يمكنُ أيضًا حسابُ الوسطِ الحسابيِّ لِلبياناتِ المنظَّمةِ في جداولَ تَكراريةٍ.
مثال 3: منَ الحياةِ سألَ أنسٌ 10 طلّابٍ في ساحةِ المدرسةِ عَنْ مقاسِ أحذيتِهِمْ، وَنظّمَ البياناتِ في الجدولِ التَّكراريِّ المجاورِ. أَجِدُ الوسطَ الحسابيَّ لِهذِهِ البياناتِ.

التكرار	مقياس الحذاء
2	30
3	32
1	34
4	36

الطريقةُ 1: أَجِدُ مجموعَ القِيَمِ بِتَكرارِ جمعِ كلٍّ مِنْها بِحسبِ التَّكرارِ المُعطى في الجدولِ، ثمَّ أقسمُ الناتجَ على عددِ القِيَمِ (مجموعِ التَّكراراتِ).

$\overline{\mathrm{x}}=\frac{30+30+32+32+32+34+36+36+36+36}{10}=\frac{334}{10}=33.4$                أجمعُ القِيَمَ، وَأقسمُها عَلى عددِها، أُبسّطُ

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ يساوي 33.4

الطريقةُ 2: يمكنُ إيجادُ مجموعِ القِيَمِ بِضربِ كلٍّ مِنْها في تَكرارِها. أُضيفُ إلى الجدولِ عمودًا لِأكتبَ فيهِ نواتجَ الضربِ وصفًّا لِأكتبَ فيه المجموعَ.

التكرار × المقياس	التكرار	مقياس الحذاء
30 × 2 = 60	2	30
32 × 3 = 96	3	32
34 × 1 = 34	1	34
36 × 4 = 144	4	36
334	10	المجموع

$\overline{\mathrm{x}}=\frac{334}{10}=33.4$                  أقسمُ مجموعَ نواتجِ الضربِ على مجموعِ التَّكراراتِ

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ يساوي 33.4 ، وَهِيَ القيمةُ نفسُها الّتي حصلْتُ عَلَيْها في الطريقةِ الأولى.

 

إذا علمْتُ قيمةَ الوسطِ الحسابيِّ فَإنَّهُ يُمكنُ استعمالُها لِحسابِ قيمةٍ مجهولةٍ في البياناتِ.

مثال 4: منَ الحياةِ نقودٌ: لدى باسمةَ 6 قطعٍ نقديةٍ دائريةٍ مِنْ بُلدانٍ مُتَنوِّعةٍ. إذا كانَتْ أقطارُ 5 مِنْ هذِهِ القطعِ بِالسنتيمتراتِ$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}$ وَالوسطُ الحسابيُّ لِأقطارِ القطعِ  النقديةِ السّتةِ معًا يساوي 3.5cm ، فَما قُطْرُ القطعةِ النقديةِ السادسةِ؟

الْخُطْوَةُ 1: أَجِدُ مجموعَ أقطارِ القطعِ النقديةِ الستةِ بِضربِ الوسطِ الحسابيِّ في عددِ القطعِ النقديةِ جميعِها.

3.5 × 6 = 21 cm

 الْخُطْوَةُ 2: أطرحُ مجموعَ أقطارِ القطعِ النقديةِ الخمسةِ المعلومةِ مِنَ المجموعِ الّذي حصلْتُ عَلَيْهِ في الخُطوةِ السابقةِ.

??	2.9	5.1	3.1	4.9	2.4
21
3.5	3.5	3.5	3.5	3.5	3.5

$21–(2.4+4.9+3.1+5.1+2.9)=2.6$

2.6 cm إذنْ، طولُ القطعةِ النقديةِ السادسةِ يساوي