النهايات والاتصال

النهايات والاتصال

إيجاد النهايات بيانيا وعدديا:

سنتعلم في هذا الدرس تحليل سلوك اقتران معطى ومع تحديد إذا كانت قيم الاقتران تقترب أكثر فأكثر من عدد ما كل ما اقتربت قيم x أكثر فأكثر من عدد محدد مثل c حينها نستطيع تسمية العدد التي تقترب منه قيم الاقتران بالنهاية.

إذا كانت قيمة الاقتران f(x) تقترب من قيمة واحدة L عندما تقترب x من c؛ فإن نهاية f(x) عندما تقترب xمن c هي L. $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)=L$ نهاية الاقتران f(x) عندما تقترب x من c هي L.

ملاحظات:

عند كتابة $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)$ فهذا يشير إلى أن x تقترب من c من جهتي اليمين واليسار إذا أردنا تحديد الجهة التي تقترب منها قيم x من القيمة c.

1) استعمل $\underset{x\to c^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ لدلالة على النهاية من جهة اليسار حيث x<c وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليسار.

2) استعمل $\underset{x\to c^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ لدلالة على النهاية من جهة اليمين حيث x>c وتقرأ: نهاية f(x) عندما تقترب x من c من اليمين.

مع مراعاة أن نهاية الاقتران f(x) تكون موجودة عندما تقترب x من c إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين.

تكون النهاية f(x) موجودة عندما تقترب x من c، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين. $\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to c^{+}}{lim}f\left(x\right)=L \mathrm{إذا} \mathrm{وفقط} \mathrm{إذا} \underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=L$

مثال:

1) إذا كان $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}$ فأجد $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ بيانيا وعدديا:

بيانيا: مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية عدا 2، وبما أن $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ لذا فإن التمثيل البياني ل f(x) هو نفسه التمثيل البياني للمستقيم y=x+2 مع دائرة صغيرة مفرغة عندما x=2.

نلاحظ من التمثيل البياني أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 2 من الجهتين كلما اقترب f(x) من الجهتين من العدد 4 وهذا يعني أن $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}=4$

عدديا: ننشئ جدول قيم باختيار قيم x القريبة من العدد 2 من كلتا الجهتين وإيجاد قيم f(x) المقابلة لها.

نلاحظ من الجدول أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 2 من الجهتين كلما اقترب f(x) من الجهتين من العدد 4 وهذا يعني أن $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}=4$

2) إذا كان $H\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x-1 ,x<1\\ x+2 , x\ge 1\end{array}\right.$ فأجد $\underset{x\to 1}{\lim }H\left(x\right)$:

من التمثيل البياني للاقتران H(x) نلاحظ انه كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليسار فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد 0 وهذا يعني أن $\underset{x\to 1^{-}}{lim}H\left(x\right)=0$ ولكن كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليمين فإن قيم H(x)المقابلة لها تقترب من العدد 2- وهذا يعني أن $\underset{x\to 1^{+}}{lim}H\left(x\right)=3$ وبما أن النهايتين ممن الجهتين غير متساويتين هذا يعني أن $\underset{x\to 1}{lim}H\left(x\right)$ غير موجودة.

عدديا: ننشئ جدول قيم باختيار قيم x القريبة من العدد 1 من كلتا الجهتين وإيجاد قيم H(x) المقابلة لها.

من الجدول للاقتران H(x) نلاحظ انه كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليسار فإن قيم H(x) المقابلة لها تقترب من العدد 0 وهذا يعني أن $\underset{x\to 1^{-}}{lim}H\left(x\right)=0$ ولكن كلما اقتربت قيم x من العدد 1 من جهة اليمين فإن قيم H(x)المقابلة لها تقترب من العدد 2- وهذا يعني أن $\underset{x\to 1^{+}}{lim}H\left(x\right)=3$ وبما أن النهايتين ممن الجهتين غير متساويتين هذا يعني أن $\underset{x\to 1}{lim}H\left(x\right)$ غير موجودة.

ملاحظة: نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c ليست بالضرورة تساوي f(c) فمثلا $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)=L$في الحالات الثلاث الآتية:

نهايات تتضمن المالانهاية:

إذا كانت النهاية من اليمين أو اليسار أو كليهما غير موجودة عند قيمة ما بسبب زيادة أو نقصان الاقتران بشكل غير محدود حول تلك القيمة، فإننا نصف سلوك الاقتران بأنه يقترب من المالانهاية الموجبة ($\infty$) أو السالبة ($-\infty$) حيث أن $\infty , -\infty$ ليسا عددين حقيقيين فقط هما يصفان سلوك الاقتران عند خط التقارب الرأسي.

مثال:

أجد كل من النهايات الآتية بيانيا:

$1) \underset{x\to 0}{\lim }\frac{-1}{x^2}$

ألاحظ من التمثيل البياني للاقتران f(x)، أنه كلما اقتربت قيم x  من العدد (0) من جهة اليسار؛ فإن قيم f(x) المقابلة تزداد بشكل غير محدود، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليسار غير موجودة. ألاحظ كذلك أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليمين؛ فإن قيم f(x) المقابلة لها تزداد بشكل غير محدود، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليمين غير موجودة.

على الرغم من أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهتي اليمين واليسار غير موجودة، إلا أنه يمكن وصف سلوك الاقتران بكتابة:

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-1}{x^2}=-\infty \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-1}{x^2}=-\infty$

وبما أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من الجهتين؛ فإن قيم f(x) المقابلة لها تزداد بشكل غير محدود، ويمكن أيضا أن نصف سلوك الاقتران بكتابة:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{x^2}=-\infty$

$2) \underset{x\to 0}{\lim } \frac{-1}{x}$

ألاحظ من التمثيل البياني للاقتران f(x)، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليسار؛ فإن قيم f(x) المقابلة لها تقل بشكل غير محدود، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليسار غير موجودة. على الرغم من أن النهاية عندما تقترب x من الصفر من جهة اليسار غير موجودة، إلا أنه يمكن وصف سلوك الاقتران بكتابة:

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-1}{x}=\infty$

ألاحظ كذلك أنه كلما اقتربت قيم x من العدد (0) من جهة اليمين؛ فإن قيم f(x) المقابلة لها تزداد بشكل غير محدود، وهذا يعني أن النهاية عندما تقترب x من العدد (0) من جهة اليمين غير موجودة، إلا أنه يمكن وصف سلوك الاقتران بكتابة:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-1}{x}=-\infty$

وبما أن النهاية من الجهتين غير موجودة إذن $\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{x}=-\infty$ غير موجودة.

إيجاد النهايات جبريا:

يتبع مجموعة من الخصائص التي تساعدنا على إيجاد النهايات جبريا

 

مثال:

أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

$1) \underset{x\to 2}{\lim }{x}^2-x+4$

$$\begin{gathered} ={\left(\underset{x\to 2}{lim}x\right)}^2-\underset{x\to 2}{lim}x+\underset{x\to 2}{lim}4 \\ =2^2-2+4 \\ =6 \end{gathered}$$

$2) \underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{\frac{x^2}{x+1}}$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{{\left(\underset{x\to 3}{lim}x\right)}^2}{\underset{x\to 3}{lim}x+\underset{x\to 3}{lim}1}} \\ =\sqrt{\frac{3^2}{3+1}} \\ =\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

النهايات بالتعويض المباشر:

مثال:

أجد كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا وإلا فذكر السبب:

$1) \underset{x\to 1}{\lim }(x^3-3x^2+4x-5)$

$=1^3-3{\left(1\right)}^2+4\left(1\right)-5=-3$

$2) \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+5}{x^2+4}$

$=\frac{2+5}{2^2+4}=\frac{7}{8}$

$3) \underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}$

بما أن x=-1 لا تقع في مجال الاقتران النسبي (المقام يساوي صفر عندها) إذن لا يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر.

ملاحظة: إذا كان ناتج تعويض في النهاية يساوي $\frac{0}{0}$، فإننا نسمي هذه النتيجة الصيغة الغير المحددة وهي لا تعني أن النهاية غير موجودة ولكن نحن بحاجة إلى البحث عن صيغة مكافئ للاقتران من خلال تبسيطه جبريا إما بتحليل كل من البسط والمقام أو أنطاق البسط أو المقام واختصار العوامل المشتركة

مثال:

أجد كل نهاية مما يأتي:

$1) \underset{x\to 6}{\lim }\frac{x^2-7x+6}{x-6}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 6}{lim}\frac{\left(x-6\right)\left(x-1\right)}{x-6} \\ =\underset{x\to 6}{lim}x-1=5 \end{gathered}$$

$2) \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x^2-4x}$

$$\begin{gathered} =\underset{x\to 4}{lim}\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)}{x\left(x-4\right)}\times \frac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)} \\ =\underset{x\to 4}{lim}\frac{x-4}{x\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)} \\ =\underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{x\left(\sqrt{x}+2\right)} \\ =\frac{1}{16} \end{gathered}$$

$3) \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x-3}$

نحتاج إلى إعادة تعريف القيمة المطلقة أولا ثم نختصر العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

أولا: نعيد تعريف الاقتران 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{\left|x-3\right|}{x-3}=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{x-3} ,x>3\\ \frac{3-x}{x-3} ,x<3\end{array}\right. \\ =\left\{\begin{array}{l}1 , x>3\\ -1 ,x<3\end{array}\right. \end{gathered}$$

ثانيا: نجد النهاية من اليمين واليسار لأنه توجد قاعدتان مختلفتان عن يمين ويسار العدد 3.

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{lim}-1=-1 \\ \underset{x\to 3^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{lim}1=1 \end{gathered}$$

بما أن النهايتين من الجهتين غير متساويتين فإن $\underset{x\to 3}{lim}\frac{|x-3|}{x-3}$ غير موجودة

الاتصال:

بيانيا: يكون الاقتران متصلا عند نقطة إذا لم يكن في تمثيله البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة عند تلك النقطة.

جبريا: يكون الاقتران متصلا إذا حقق الشروط الآتية.

مثال:

أحدد إذا كان كل اقتران مما يأتي متصلا عند قيمة x المعطاة مبررا إجابتي:

$1) f(x)=2x^3-1 ,x=4$

الاقتران f متصل عند x=4 لأن $f\left(4\right)=\underset{x\to 4}{lim}f\left(x\right)=127$

$2) g(x)=\frac{x^2-x-3}{x-3} , x=3$

الاقتران g غير متصل عند x=3 لأنه غير معرف عند هذه النقطة (0 مقام).

$3) h(x)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2 , x\le -2\\ x+4 , x>-2\end{array}\right. ,x=-2$

أولا: نجد صورة الاقتران h عند x=-2 .

$h(-2)=-2^2-2=2$

ثانيا: نجد نهاية الاقتران h عند x=-2 وبما أنه توجد قاعدتان مختلفتان عن يمين العدد 2- وعن يساره لذا يجب إيجاد نهاية اليمين واليسار.

$\underset{x\to -2^{+}}{lim}h\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{lim}x+4=-2+4=2$

$\underset{x\to -2^{+}}{lim}h\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{lim}{x}^2-2=-2^2-2=2$

إذن $\underset{x\to -2}{lim}h\left(x\right)$ موجودة وتساوي 2.

بما أن $h(-2)=\underset{x\to -2}{lim}h\left(x\right)=2$ إذن الاقتران h متصل عند x=-2

$4) p(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-9}{x-3} ,x\ne 3\\ 8 ,x=3\end{array}\right. ,x=3$

$$\begin{gathered} p\left(3\right)=8 \\ \underset{x\to 3}{lim}p\left(x\right)=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\left(x+3\right)=6 \end{gathered}$$

بما أن $p\left(3\right)\ne \underset{x\to 3}{lim}p\left(x\right)$ إذن الاقتران p(x) غير متصل عند x=3.