الموائع المتحركة

                                   الموائع  المتحركة 

      وقد تتساءلُ عنْ كثيرٍ منَ المشاهداتِ والمواقفِ الحياتيةِ والتطبيقاتِ المتعلقةِ بحركةِ الموائعِ وسلوكِها؛ فمثلًا إذا

     كانَ طولُ خرطومِ المياهِ- أثناءَ ريِّ نباتاتِ حديقتكَ المنزليةِ- غيرَ كافٍ لوصولِ المياهِ إلى مسافةٍ أبعدَ لشمولِ مساحةٍأكبرَ؛

       فإنكَ  بسهولةٍ تضغطُ بإصبعكَ لإغلاقِ جزءٍ منْ فوهةِ الخرطومِ،  وسنتناول في هذا الدرس الموائع المتحركة وخصائصها

      والمعادلات المرتبطة بها وتفسير المشاهدات والمواقف الحياتية المختلفة، ومن أبرز  هذه الخصائص ما يلي:

         

الجريان:      هناك نوعين رئيسيين من جريان الموائع:             1- الجريان المنتظم (الانسيابي): حيث تكون سرعة جريانه عند نقطة معينة فيه ثابتة لا تتغير                                                               مع الزمن ولكن يمكن ان تتغير من نقطة الى اخرى. حيث تنساب                                                              دقائق  المائع  في  مسارات  منتظمة لا تتقاطع كل خط يسمى                                                            خط الجريان : هو خط يمثل مسارات جزيئات المائع عند جريانها            2- الجريان غير المنتظم (غير الانسيابي): حيث تتغير سرعة المائع عند نقطة فيه مع الزمن،                                                                         وخطوط الجريان تتقاطع مع بعضها البعض.                                                                        لاحظ الأشكال المقابلة.               والأنبوب الذي يجري  فيه المائع يسمى أنوب  الجريان  سواءاً حقيقياً  مثل خرطوم الماء                 أو وهمياً مثل  التيار المائي أو الهوائي.

 

تمتازُ خطوطُ  الجريان المنتظم بخصائصَ عدةٍ، منْها:      -  لا تتقاطع       - ( كثافتُها )عددُ خطوطِ الجريانِ التي تمرُّ عموديًّا بوحدةِ المساحةِ (A )تزدادُ بزيادةِ سرعةِ المائعِ,          لاحظ الشكل المجاور علاقة مساحة المقط ( A2  < A1 )  واختلاف سرعة  المائع (v2 > v1 )         أي أن سرعة المائع  وكثافة خطوط الجريان  تزداد بنقصان مساحة مقطع أنوب الجريان,        - المماسُّ لأيّةِ نقطةٍ على خطِّ الجريانِ يحددُ اتجاهَ سرعةِ جزيْءِ المائعِ اللحظيةِ ( v)           عندَ تلكَ النقطةِ، لاحظ أعلى الشكل المجاور. لذلك خطوط الجريان لا تتقاطع، فلو تقاطعت         لكان هناك  سرعتان (  مماسان ) عند نقطة التقاطع و هذا لايمكن أن يكون عند نقطة واحدة.               يبقى جريانُ المائعِ منتظمًا ما لمْ تتجاوزْ سرعتُهُ قيمةً معينةً  تسمّى  السرعةَ الحديةَ:              فإنْ تجاوزَها يتحولُ جريانَ المائعِ منْ جريانٍ منتظمٍ إلى جريان غيرِ منتظمٍ Irregular flow .              أو وضعِ عائق   ( كرةِ مثلاً ) أمامَ مجراهُ ليتحولَ جريانهُ منْ جريانٍ منتظمٍ إلى جريان غير منتظم               كما في  أسفل الشكل المقابل.   ما المقصود  " ان تكون سرعة جزيئات المائع عند نقطة معينة فيه ثابتة لا تتغير مع الزمن ولكنها   يمكن ان تتغير من نقطة الى اخرى، انظر الى وسط الشكل المجاور وتخيل ان هناك مقياس لسرعة  المائع عند الموقع 1 ومقياس آخر عند الموقع 2، سرعة المائع عند 1 تختلف  عن سرعة المائع عند 2 ولكن السرعة عند 1 مع تدفق المائع عند ذلك الموضع لا تتغير اي اننا في كل مرة تكون سرعة المائع عند 1 ثابثة وعند 2 كذلك .

    

عندَما تدورُ جميعُ جزيئاتِ المائعِ حولَ مركزٍ أوْ محورِ دورانٍ إضافةً إلى حركتِها الانتقاليةِ فإنَّ جريانَ المائعِ يكونُ دوّاميًّا، مثالُ ذلكَ حركةُ جزيئاتِ الهواءِ التي ينتجُ عنْها أعاصيرُ مدمرةٌ  شكل ( أ )وحركةُ جزيئاتِالماءِ التي ينتجُ عنْها دوّاماتٌ بحريةٌ خطرةٌ، كما في الشكلِ (ب)، أماالجريانُ الذي لا تدورُ جزيئاتهُ حولَ مركزِ دورانٍ فيسمّى الجريانَ غيرَالدواميِّ .Irrotational flow

 

.

        سؤال  

          1- يمثل الشكل خط جريان منتظم لمائع، فإذا كانت سرعة احد جزيئات المائع لحظة مروره بالنقطة a تساوي 0.1 m/s ،

             بناء على ما تقدم، أجب عما يأتي:

                              

           أ- كم تبلغ سرعة جزيء آخر من المائع لحظة مروره بالنقطة a بعد مرور الجزيء الاول؟

               الجواب :بما اننا قلنا انه مائع جريانه منتظم ، فإذن سرعة الجزيء عند مروره من نفس النقطة تساوي $0.1 m/s$.

            ب- هل سرعة جزيء المائع عند مروره بالنقاط b و c هي نفسها عند مروره بالنقطة a؟

                 الجواب:  قد تكون السرعة نفسها إذا كان مقطع أنبوب الجريان منتظم، أما إذا كان المقطع غبر منتظم عند هذا

                 النقاط تكون السرعة  مختلفة.   

          2- ادرس الشكل التالي جيدا

                                 

          أ. لماذ يتصاعد الدخان إلى أعلى؟

                  الجواب: لأن درجة حرارة الدخان أكبر من درجة حرارة الهواء المحيط به وبالتالي كثافته أقل،

                     لذا يتأثر بقوة طفو لأعلى من قبل الهواء المحيط به فيرتفع لأعلى (كما في المنطاد).

   .ب           هل تتغير سرعة جزيئات الدخان من نقطة إلى أخرى خلال كل من الجريان المنتظم  وغير المنتظم؟

                   الجواب :نعم يمكن أن تتغير سرعة جزيئات الدخان في كل من الجريان المنتظم وغير المنتظم.

    .جـ           في أي مناطق الجريان تبقى سرعة جزيئات الدخان عند مرورها بنقطة ما ثابتة مع الزمن في المقدار والاتجاه؟

                     الجواب :سرعة أي جزيء تكون ثابتة عند مروره بالنقطة نفسها في منطقة الجريان المنتظم.

  

           القابليةُ للانضغاطِ Compressibility
          يعتبر المائع غير  قابل للانضغاط إذا بقيت كثافتهُ ثابتةً  ولا تتغيرُ تحتَ تأثيرِ قوةٍ يعدُّ مائعًا غيرَ قابلٍ للانضغاطِ Incompressible fluid.

     أما المائعُ الذي تتغيرُ كثافتهُ، يعدُّ مائعًا قابلً للانضغاطِ .Compressible fluid

         اللزوجة:

             خلالَ جريانِ السائلِ تنسابُ طبقاتُهُ بالنسبةِ إلى بعضِها وسرعات مختلفة كما في الشكلِ التالي:

                   

       

      وتعدُّ لزوجةُ السائلِ مقياسًا لمقاومةِ طبقاتِ المائعِ لهذهِ  الحركةِ، فكلَّما زادتْ لزوجةُ المائعِ قلَّتْ قابليتهُ للجريانِ؛

      وبذلكَ  تنخفضُ سرعتهُ؛ فمثلًا لتحريكِ كميةٍ منَ العسلِ بسرعةٍ ما في أنبوبِ الجريانِ نحتاجُ إلى قوةٍ أكبرَ منَ التي نحتاجُها 

     لتحريكِ الكميةِ نفسِها منَ الماءِ، وبالسرعةِ نفسِها. لزوجة العسل أكبر من لزوجة الماء حيث  أن الزمن اللازم لإفراغ العسل

      أكبر من الزمن اللازم لإفراغ الحجم نفسه من الماء.  لاحظ الشكل التالي:   

                                                                  

         يجدرُ الذكرُ بأنَّ تأثيرَ اللزوجةِ في جريانِ السائلِ يقابلهُ تأثيرُ قوةِ الاحتكاكِ في انزلاقِ جسمٍ على سطحٍ خشنٍ. فزيادةُ لزوجةِ الدمِ مثلً قدْ

       تؤدي إلى زيادةِ مخاطرِ الإصابةِ بالجلطاتِ الدمويةِ عندَ الإنسانِ؛ حيثُ يصعبُ جريانُ الدمِ داخلَ الشرايينِ فيُعطى المريضُ أدويةً تقللُ

         لزوجةَ الدمِ (وهيَ أدويةٌ مميعةٌ).

        فالمائع الذي لا يوجد قوى احتكاك بين  طبقاته أثناء جريانه يسمى مائع غير لزج ( Nonviscous fluid )

                المائع المثالي            

             يلجأ العلماء كثيرا عند دراسة ظاهرة معينة الى افتراض  نوذج يتصف بخصائص  مثالية لتسهيل الدراسة، وهي في الغالب غير موجودة

           في الواقع،  وافتراض العلماء لتسهيل حركة  الموائع وجود مائع مثالي يتصف بالخصائص التالية:

                  1- جريانه منتظم:  سرعة جريانه عند نقطة معينة فيه ثابتة لا تتغير مع الزمن

                  2- غير قابل للانضغاط:  كثافة  المائع ثابتة أثناء الجريان.

                  3- غير لزج:    أي يوجد قوى احتكاك بين  طبقاته أثناء جريانه

                 4 - غير دوامي: تدورُ جزيئاتهُ حولَ مركزِ دورانٍ فيسمّى الجريانَ غيرَالدواميِّ

 

                   

   

معادلةٌ الاستمراريةِ Continuity Equatio نلاحظُ الكثيرَ منَ المشاهداتِ في حياتِنا اليوميةِ؛ مثلَ حركةِ المياهِ المتدفقةِ منْ فوهةِ الخرطومِ  بعدَ الضغطِ عليْهِ  وتدفقِ الماءِ منْ مضخةِ رشِّ المزروعاتِ، ونقصانِ قطرِ أنبوبِ جريانِ الماءِ المتدفقِ منَ الصنبورِ أثناءَ سقوطهِ في الشكلِ المقابل حيثُ تزدادُ سرعةُ الماءِ أثناءَ سقوطهِ  فتقلُّ مساحةُ مقطعِ الأنبوبِ. فما  العلاقةُ التي تربطُ بينَ مساحةِ مقطعِ أنبوبِ الجريانِ وسرعةِ  مرورِ المياهِ فيهِ؟ لنفترضْ أنَّ مائعًا مثاليًّا يجري في أنبوبٍ مفتوحِ الطرفينِ ومساحةُ مقطعهِ العرضيِّ متغيرةٌ كما في الشكلِالمقابل، وبما أنَّ المائعَ المثاليَّ غيرُ قابلٍ للانضغاطِ فإنَّ كتلةَ المائعِ m1 التي تعبرُ مساحةَ مقطعٍ معينٍ A1 منَ الأنبوبِ بسرعةِ v1 تساوي كتلةَ المائعِ m2 التي تعبرُ مساحةَ مقطعٍ آخرَ A2 منَ الأنبوبِ بسرعةٍ v2 في الفترةِ الزمنيةِ Δt نفسِها، أيْ أنَّ:                                           m1 = m2          والكتلة = الكثافة × الحجم     (  $m={\rho }_{f}V$ )                                                                       ,    وحجم المائع:    $V=A∆x$                                          ρ1 A1 Δx1 = ρ2 A2 Δx2                                وبقسمةِ طرفيْ المعادلةِ على $∆t$   نحصل على:                                                                  ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2        وعلى اعتبار ان المائع غير  قابل للانضغاط ( ذو كثافة ثابتة )   ${\rho }_1={\rho }_2={\rho }_f$    نتوصل إلى المعادلة  التالية:                                                                  $A_1{v}_1=A_2{v}_2$           ويُعبَّرُ عنْها بالكلماتِ كما يأتي: «حاصلُ ضربِ مساحةِ المقطعِ العرضيِّ لأنبوبِ جريانِ المائعِ في سرعةِ    المائعِ عندَ ذلكَ المقطعِ يساوي مقدارًا ثابتًا (  (Av = constant  ). ويمثلُ المقدارُ Av معدلَ  التدفق الحجمي  Volume flow rate  وهوَ حجمُ المائعِ الذي  يَعبُرُ مساحةَ مقطعٍ معينٍ منَ الأنبوبِ في وحدةِ الزمنِ.          معدل التدفق الحجمي  يعطى بالعلاقة:          $\mathit{A}\mathit{v}\mathbf{=}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}$         يقاس بوحدة ( m3/s  )    معادلةُ الاستمراريةِ تعبيرٌ رياضيٌّ عنْ مبدأِ حفظِ الكتلةِ، وتنطبقُ على أيِّ مقطعٍ منَ أنبوبِ الجريانِ،   وليسَ شرطًا عندَ طرفيْهِ. وتكمنُ أهميةُ معادلةِ الاستمراريةِ في أنَّها تصفُ حركةَ المائعِ عندَ مرورهِ     في أنبوب جريانٍ تتغيرُ مساحةُ مقطعهِ؛ فعندَما ينتقلُ المائعُ منْ أنبوبٍ واسعٍ مساحةُ مقطعهِ كبيرةٌ  إلى   أنبوبٍ أضيقَ  مساحةُ مقطعهِ صغيرةٌ  تزدادُ سرعةُ المائعِ لضمانِ مرورِ الحجمِ نفسهِ منَ المائعِ في الزمنِ نفسهِ، لاحظ المشهد الحركي المجاور.   وتفسرُ معادلةُ الاستمراريةِ كثيرًا منَ المشاهداتِ مثلَ تدفقِ مياهِ النهرِ بسرعةٍ أكبرَ في الأماكنِ التي  يضيقُ فيها مجرى النهرِ عنْ تلكَ التي يتسعُ فيها المجرى.    يعتمد معدل التدفق الحجمي للمائع من أنبوب الجريان على:  1. سرعة تدفق المائع v 2.  مساحة المقطع العرضي للأنبوب.

            مثال 1:

                ينساب الماء في خرطوم لحديقة المنزل بسرعة $3 m/s$ ، فإذا وصل طرفه بفوهة مساحة مقطعها العرضي ربع مساحة المقطع

          العرضي للخرطوم، فأحسب سرعة خروج الماء من فوهة الخرطوم.

          الحل: 

                                  $$\begin{gathered} A_2=\frac{1}{4}{A}_1 \\ {A}_1{v}_1=A_2{v}_2=\frac{1}{4}{A}_1{v}_2\Rightarrow v_1=\frac{1}{4}{v}_2\Rightarrow v_2=4\times 3=12 m/s \end{gathered}$$

          المثال 2:

         يضخ قلب الانسان الدم الى الشرايين التي تتفرع الى شعيرات، فإذا علمت ان الدم يتدفق بسرعة $5\times {10}^{-2} m/s$ في شريان مساحة مقطعه $6 m{m}^2$،

     يتفرع الى شعيرات متماثلة مساحة مقطع كل شعيرة منها $0.3 m{m}^2$ وسرعة تدفق الدم في كل منها $2\times {10}^{-3} m/s$ أجد:

           أ. معدل التدفق الحجمي للدم في الشريان.

          ب.عدد الشعيرات التي تفرعت من الشريان.

الحل:

             أ- معدل التدفق الحجمي 

                                                                      $$\begin{gathered} 6 m{m}^2=6 {\left(mm\right)}^2=6 {\left({10}^{-3}m\right)}^2=6\times {10}^{-6} m^2 \\ \frac{V}{∆t}=Av=5\times {10}^{-2}\times 6\times {10}^{-6}=3.0\times {10}^{-7} m^3/s \end{gathered}$$

          ب- عدد الشعيرات N

              معدل التدفق الحجمي ثابت 

                                 $$\begin{gathered} 3.0\times {10}^{-7}=N\times A_2\times v_2=N\times 0.3\times {10}^{-6}\times 2\times {10}^{-3}=0.6\times {10}^{-9}\times N \\ N=\frac{3.0\times {10}^{-7}}{0.6\times {10}^{-9}}=5\times {10}^2 =500 \mathrm{شريان} \end{gathered}$$

 

          المثال 3:  

              يتدفق الماء في شلالات نياجارا ، وعند لحظة معينة يتدفق بمعدل $5525 m^3/s$  من مجرى عرضه 670m  وعمق الماء فيه تقريبا 2m أحسب:

                 أ- سرعة الماء المتدفق عند تلك اللحظة

                ب- حجم الماء المتدفق في 5 دقائق

       الحل:

                          أ- لدينا معدل التدفق ويجب ان نجد مساحة المقطع العرضي ، فالمجرى عرضه  670m وعمقه 2m ، فمساحته 

                                                                $$\begin{gathered} A=2\times 670=1340 m^2 \\ \frac{V}{∆t}=5525=Av=1340v\Rightarrow v=\frac{5525}{1340}=4 m/s \end{gathered}$$

                     ب- حجم الماء المتدفق نجده من معدل التدفق الحجمي

                                                   $$\begin{gathered} t=5 min=5 min\times \frac{60 s}{1 min}=300 s \\ \frac{V}{∆t}=\frac{V}{300}=5525\Rightarrow V=5525\times 300=1.657\times {10}^{6 }{m}^3 \end{gathered}$$

      المثال 4:

         أنبوب ماء نصف قطره $0.02 m$  يتدفق فيه الماء بمعدل $1.25\times {10}^{-3} m^3/s$ يضيق ليصبح نصف قطره $0.01 m$، احسب:

               أ- سرعة تدفق الماء في الجزء الواسع من الانبوب

              ب- سرعة تدفق الماء في الجزء الضيق من الانبوب

                 جـ- حجم الماء المتدفق من الجزء الضيق في $20 s$

          الحل:

               1-                      $$\begin{gathered} A={\mathrm{\pi r}}^2=3.14\times {(0.02)}^2=1.26\times {10}^{-3} {\mathrm{m}}^2 \\ \frac{V}{∆t}=1.25\times {10}^{-3}\Rightarrow Av=1.26\times {10}^{-3} v_1\Rightarrow v_1=\frac{1.25\times {10}^{-3}}{1.26\times {10}^{-3}}\simeq 1 m/s \end{gathered}$$

             $$2- 

                                  $$\begin{gathered} A={\mathrm{\pi r}}^2=3.14\times {(0.01)}^2=3.14\times {10}^{-4} {\mathrm{m}}^2 \\ \frac{V}{∆t}=1.25\times {10}^{-3}=A_2{v}_2=3.14\times {10}^{-4} v_2\Rightarrow v_2=\frac{1.25\times {10}^{-3}}{3.14\times {10}^{-4}}=3.980 m/s \end{gathered}$$

             3-                                                   $$\begin{gathered} ∆t=20 s \\ \frac{V}{∆t}=1.25\times {10}^{-3}\Rightarrow V=1.25\times {10}^{-3}\times 20=2.5\times {10}^{-2} m^3 \end{gathered}$$

  

      المثال 5:

                 يدخل الماء خرطوم حديقة مساحة مقطعه $8\times {10}^{-4} m^2$ بسرعة $3 m/s$ ، فإذا وُصل نهاية الخرطوم الذي يخرج منه الماء بفوهة مساحة

            مقطعها $2\times {10}^{-4} m^2$ ، فأحسبُ:
                  أ. معدل التدفق الحجمي للماء أثناء خروجه من الفوهة.

                 ب. سرعة تدفق الماء أثناء خروجه من الفوهة.

          الحل: 

                    أ- 

                                   $$\begin{gathered} \frac{V}{∆t}=Av \\ {A}_1{v}_1=8\times {10}^{-4}\times 3=2.4\times {10}^{-3} m^3/s \end{gathered}$$

                ب-$$\begin{gathered} A_1{v}_1=A_2{v}_2 \\ 2.4\times {10}^{-3}=2\times {10}^{-3}\times v_2\Rightarrow v_2=\frac{2.4\times {10}^{-3}}{2\times {10}^{-4}}=12 m/s \end{gathered}$$

المثال 6:

 كم مترًا مكعبًا من الدم يضخها قلب شخص عمره 75 عامًا خلال حياته كلها؛ على أساس أن متوسط معدل التدفق الحجمي لدمه $5 L$ في الدقيقة؟

 الحل:

                                                      $$\begin{gathered} 1 L=1000 c{m}^3={10}^3{\left({10}^{-2}m\right)}^3={10}^{-3}{m}^3 \\ 1 min=60 s \\ \frac{5\times {10}^{-3}}{60}=8.3\times {10}^{-5} m^3/s \\ \frac{8.3\times {10}^{-5}{m}^3}{s}\times \frac{60s}{1min}\times \frac{60 min}{1 h}\times \frac{24h}{1 day}\times \frac{365 day}{1 year}=2.6\times {10}^2{m}^3/year \\ in 75 years \\ 2.6\times {10}^3\times 75=1.96\times {10}^5{m}^3 \end{gathered}$$

معادلة برنولي    درس العالمُ الفيزيائيُّ السويسريُّ دانيال برنولي ( 1700 - 1782 )  العلاقةَ بينَ ضغطِ المائعِ وسرعتهِ  وارتفاعهِ. نفترضُ أنَّ مائعًا مثاليًّا يجري عبرَ أنبوبٍ يتغيرُ كلٌّ منْ مساحةِمقطعهِ العرضيِّ وارتفاعهِ عنْ  سطحِ الأرضِ، كما في الشكلِ المقابل، فإنَّ المعادلةَ التي تربطُ بينَ ضغطِ المائعِ وسرعتهِ وارتفاعهِ اشتقَّها  العالمُ برنولي، وهيَ تطبيقٌ لمبدأِ حفظِ الطاقةِ على المائعِ المثاليِّ، وسُمِّيتْ تلكَ المعادلةُ بمعادلةِ برنولي Bernoulli’s equation وتنصُّ على: ((أنَّ مجموعَ الضغطِ والطاقةِ الميكانيكيةِ (أيْ طاقةِ الوضعِ+ طاقةُ الحركةِ) لوحدةِ الحجومِ يساوي مقدارًا ثابتًا   عندَ جميعِ النقاطِ على طولِ مجرى المائعِ المثاليِّ.))   ويُعبَّرُعنها رياضيًّا على النحوِ الآتي:                              $P\mathit{ }\mathit{+}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}{\rho }_{\mathit{f}}{v}^{\mathit{2}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\rho }_{\mathit{f}}gh\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }constant$                      P:  ضغط المائع عند نقطة محددة                v : سرعة  المائع عند تلك النقطة             h: ارتفاع تلك النقطة                    $\rho$: كثافة المائع,                                               g: تسارع  الجاذبية الأرضية.       وعند تطبيق  معادلة برنولي بين  مقطتين ( 1 ) و ( 2 ) تكون على الصورة التالية:                                     $P_{1 }+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2 +{\rho }_{f}g{h}_1 =P_{2 }+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2 +{\rho }_{f}g{h}_2$          وإذا كان أنبوب الجريان أفقي (  $h_1=h_2$ )  الشكل المقابل، نحصل على حالة خاصة لمعادلة برنولي:                                                $P_1 +\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2 = P_2 +\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2$             ومن معادلة برنولي نستنتج أن سرعة المائع تزداد كلما قل ضغطه  والعكس صحيح، أي أن العلاقة     بين ضغط المائع وسر عته علاقة عكسية، ومن معادلة الاستمرارية تزداد سرعة  المائع كلما قلت مساحة       مقطع  انبوب الجريان، لاحظ الشكل المقابل.

   

عند النفخ فوق ورقة تزداد سرعة الهواء فوقها ويقل  الضغط بينما الهواء أسفل الورقة ساكن فيكون  الضغط أقل، فيكون فرق ضغط نحو الأعلى  فيرفع الورقة.	عند تسليط تيار هوائي بين البلونين يصبح الضغط بينهما أقل من الجوانب فينجذبان نحو بعضهما.	جريان الهواء فوق أسقف المعرشات يجعل الضغط عليه أكبر من الداخل   حيث الهواء ساكن، وهذا يولد فرق في ضغط باتجاه الأعلى يعمل على    تطاير الأسقف.

 

     المثال 1:

       يجري الما ُء في خرطوم أفقيٍّ بسرعة v₁ = 3 m/s ، فإذا كان ضغط الماء في الخرطوم $1.4\times {10}^5 Pa$
     وعند تقليل قطر الخرطوم هبط ضغط الماء ليصبح $1.1\times {10}^5 Pa$ ، أحسب:
      أ . سرعة الماء  عبر الجزء الضيق من الخرطوم.
     ب. نسبة مساحة مقطع الجزء الضيق إلى مساحة الجزء الواسع من الخرطوم. علما ان كثافة الماء النقي = ${10}^{3}kg/m^3$

         الحل:

                  أ.مجرى الماء افقيا ($h_1=h_2$)بتطبيق معادلة برنولي وباختزال طاقة وضع المائع لوحدة الحجوم من طرفيها :

                                      $$\begin{gathered} P_1+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2=P_2+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2 \\ 1.4\times {10}^5+\frac{1}{2}\times {10}^3\times 3^2=1.1\times {10}^5+\frac{1}{2}\times {10}^3\times {v_2}^2 \\ {v}_2=\sqrt{69}=8.3 m/s \end{gathered}$$

                     ب- من معادلة الاستمرارية :

                                                                                               $$\begin{gathered} A_1{v}_1=A_2{v}_2 \\ \frac{A_2}{A_1}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{3}{8.3}=0.36 \end{gathered}$$

    المثال 2: 

   يتمُّ تشغيل نظام تدفئة مركزية لتسخين المياه في منز ٍل مكون من طابقين باستخدام مضخة في الطابق الأرضيِّ

 تضخُّ الماء بسرعة  $0.5 m/s$خلال أنبوب نصف قطر ِه $2 cm$ تحت ضغط $3\times {10}^5 Pa$ إلى الطابق الثاني الذي يرتفع

 مسافة $6 m$ عن المضخة، كما في الشكل ؛ ليتدفق الماء من أنبوب نصف قطر ِه $1.2 cm$  . أحسب:
   أ . سرعة تدفق الماء في الأنبوب في الطابق الثاني.
  ب. ضغط الماء في الأنبوب في الطابق الثاني.

الحل:

                أ- من معادلة الاستمرارية 

                                       $$\begin{gathered} A_1=\mathrm{\pi }{(0.02)}^2=1.26\times {10}^{-3} {\mathrm{m}}^2 \\ {\mathrm{A}}_1=\mathrm{\pi }{(0.012)}^2=4.5\times {10}^{-4} {\mathrm{m}}^2 \\ {A}_1{v}_1=A_2{v}_2 \\ 1.26\times {10}^{-3}\times 0.5=4.5\times {10}^{-4}\times v_2\Rightarrow v_2=\frac{6.3\times {10}^{-4}}{4.5\times {10}^{-4}}=1.39 m/s \end{gathered}$$

              ب- بتطبيق معادلة برنولي : 

             $$\begin{gathered} P_1+{\rho }_{f}g{h}_1+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2=P_2+{\rho }_{f}g{h}_2+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2 \\ 3\times {10}^5+{10}^3\times 10\times \left(0\right)+\frac{1}{2}\times {10}^3\times {(0.5)}^2=P_2+{10}^3\times 10\times 6+\frac{1}{2}\times {10}^3\times {(1.39)}^2 \\ {P}_2=2.39\times {10}^5 Pa \end{gathered}$$

        المثال 3:

              أنبوبُ تزويدٍ نصفُ قطرهِ $4 cm$ يرتفعُ عنْ سطحِ الأرضِ مسافةً رأسيةً مقدارُها $3 m$ ومعدلُ تدفقِ
           السائلِ فيهِ $2\times {10}^{-3} m^3/s$ يتصلُ بأنبوبٍ على سطحِ الأرضِ نصفُ قطرهِ $1.5 cm$ وضغطُ السائلِ فيهِ
           $3\times {10}^5 Pa$ ، فإذا علمتُ أنَّ كثافةَ السائلِ  $2000 kg/m^3$، فأحسبُ:
                أ . سرعةَ السائلِ المتدفقِ منَ الأنبوبِ السفليِّ.
              ب . ضغطَ السائلِ في أنبوبِ التزويدِ العلويِّ.

         الحل:  

                   أ.

                                                  $$\begin{gathered} \frac{V}{∆t}=Av \\ 2\times {10}^{-3}=A_2{v}_2=\left(\mathrm{\pi }{(0.015)}^2\right)\times {\mathrm{v}}_2 \\ {\mathrm{v}}_2=\frac{2\times {10}^{-3}}{\mathrm{\pi }{(0.015)}^2}=2.8 \mathrm{m}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

                           ب- بتطبيق معادلة الاستمرارية:

                                                 $$\begin{gathered} A_1=\mathrm{\pi } {{\mathrm{r}}_1}^2=3.14\times {(4\times {10}^{-2})}^2=5\times {10}^{-3} {\mathrm{m}}^2 \\ {\mathrm{A}}_1{\mathrm{v}}_1=2\times {10}^{-3} \\ 5\times {10}^{-3}\times {\mathrm{v}}_1=2\times {10}^{-3} \\ {\mathrm{v}}_1=0.4 \mathrm{m}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

                                   بتطبيق معادلة برنولي:

                                     $$\begin{gathered} P_1+{\rho }_{f}g{h}_1+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2=P_2+{\rho }_{f}g{h}_2+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2 \\ (P_1-3\times {10}^5)=\frac{1}{2}\left(2000\right)\times (2.8^2-0.4^2)-2000\times 10\times 3 \\ {P}_1=2.47\times {10}^5 Pa \end{gathered}$$

المثال 4:

        يُراد تصميم منزل بحيث يتحمل رياح الأعاصير، فإذا علمت أن سرعة الرياح القصوى في تلك المنطقة
     $88 m/s$ ومساحة سطح المنزل $450 m^2$ وكثافة الهواء $1.029 kg/m^3$ ، فما مقدار أقل قوة يجب أن يتحملها
    دعامات السقف؛ بحيث لا يتطاير السقف في الهواء عند هبوب الرياح؟
     الحل:
            نطبق معادلة برنولي:
              $P_1+{\rho }_{f}g{h}_1+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_1}^2=P_2+{\rho }_{f}g{h}_2+\frac{1}{2}{\rho }_f{v_2}^2$

              لكن على أساس أن سرعة الرياح داخل المنزل تساوي صفر ($v_1=0$) وأن 
           ارتفاع أعلى السقف وأسفله تقريبًا متساويان ،(h₁ = h₂₎
            فإن ( ρ_f gh₁ = ρ_f gh₂ )، وعليه؛ تؤول معادلة برنولي إلى:

$$\begin{gathered} P_1 = P_2 + \frac{1}{2} {\rho }_f {v_2}^2 \\ P_1 ‒ P_2 = \frac{1}{2} {\rho }_f {v_2}^2 = \frac{1}{2} \times 1.029 \times {88}^2 = 3984 Pa \\ F = (P_1 ‒ P_2)A = 3984 \times 450 = 1.79 \times {10}^6 N \end{gathered}$$

تطبيقات على معادلة برنولي:   

ربما تساءلت يومًا كيف يمكن للحيوانات العيش في أنفاق تحت الأرض نسبة الأكسجين فيها قليلة جدًّا؟تعمل تلك الحيوانات كالخُلد مثلً أنفاقًا كما في الشكل.لاحظ  كل من سرعة الهواء وضغطه فوق الفتحتين، وسبب ارتفاع إحدى الفتحتين عن الأخرى.الهواء تزداد سرعته فوق الفتحة 2 بسبب شكلها المحدب، فيقل ضغط الهواء؛ ليصبح أقل منهفوق الفتحة 1، وبسبب فرق الضغط هذا يجري تيار من الهواء داخل النفق )من منطقة الضغط المرتفع 1 إلى منطقة الضغط المنخفض 2.

 

 

  

أجنحة الطائرة: صمم جناح الطائرة بحيث يكون محدب من اعلى والسفلي شبه مستوي ، سرعة الهواء فوق السطح العلوي اكبر من سرعة الهواء اسفله وبالتالي حسب معادلة برنولي فإن الضغط العلوي اقل من الضغط السفلي وينشأ عن فرق الضغط قوة ترفع الطائرة الى اعلى تسمى قوة الرفع(  $F_L$  ) : علام يدل تزاحم خطوط جريان الهواء فوق الجناح؟ تزاحم الخطوط يعني زيادة كثافة خطوط الجريان وبالتالي زيادة سرعة الهواء.

 

المرذاذ:  يعتمد عمل المرذاذ على كل من معادلة الاستمرارية ومعادلة برنولي. 1- معادلة الاسمرارية :  يوضح الشكل التالي جزء من المرذاذ عبارة  عن انبوب أفقي واسع ينتهي بانبوب ضيق،سرعة الهواء عند المقطع الضيق 2 أكبر  من سرعته عند المقطع الأوسع 1 .  2- معادلة برنولي:   يمر  الأنبوي الإفقي في المرذاذ فوق أنبوب  آخر رأسي كما في الشكل  في الأسفل، كلما زادت سرعة المائع قل ضغطه (اذا كان الجريان افقي)، فالضغط عند 1 اقل من الضغط عند 2 وفرق الضغط يؤدي الى دفع السائل من الانبوبة العمودية في المرذاذ ، وعند وصوله الى فوهة الانبوب يختلط بالهواء السريع ويشتت على شكل رذاذ.وهناك استخدمات واسعة للمرذاذ :                                                 مرشات المنظفات ، زجاجات العطور، مرشات الطلاء (الدهان) ومازج السيارة (الكاربوريتر). سؤال : ما فائدة الفتحة في اعلى الانبوبة؟ الفائدة من الفتحة في أعلى القارورة: دخول الهواء الجوي إلى داخل القارورة؛ بحيث يبقى الضغط فوق السائل في القارورة مساويًا للضغط الجوي، فيتولد فرق في ضغط الهواء بين أعلى الماصة الرأسية وأعلى السائل داخل القارورة يؤدي إلى اندفاع السائل إلى أعلى عبر الماصة.

:

 

 

       

         

مقياس فنتوري: هو جهاز يستخدم لقياس سرعة ومعدل تدفق الموائع في الانابيب بتطبيق معادلة برنولي . وهو انبوب مفتوح الطرفين مختنق من الوسط (المساحة اقل من الطرفين وبالتالي زيادة سرعة المائع وبما ان الانبوب افقي يؤدي الى ان الضغط يقل ويتم قياس سرعة ومعدل تدفق المائع عن طريق قياس الفرق بين ضغط المائع في الانبوب وضغطه في الاختناق.  مساحة المقطع 1 اكبر من مساحة المقطع 2 ، سرعة المائع 1 اقل من سرعة المائع 2 ، ضغط المائع 1 اكبر من ضغط المائع 2الضغط على المائع في الانبوبة السفلية 3 اكبر من الضغط 4 وهناك فرق في الضغط يؤثر كما هو مبين في السائل في الانبوبة السفلية. ويحسب فرق الضغط من العلاقة :                                                         $∆P=\rho gh$ ويمكن استخدام مقياس الضغط مباشرة ومقارنة الضغط في الاختناق والضغط خارج الاختناق.