المساحات والحجوم

مفهوم أساسي:

إذا كان كل من $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ اقترانين متصلين في الفترة $[a,b]$ ، وكان  $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ ، لكل قيم x في الفترة $[a,b]$ ،

فإن مساحة المنطقة المحصورة بين $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ تعطى بالعلاقة: $A={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right) dx$

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $y-4=0 و f\left(x\right)=x^2-3x$

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين ، إن وجدت. لذلك يجب أن نجعل y موضوع قانون $(y=4)$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=y \to x^2-3x-4=0 \\ (x-4)(x+1)=0 \\ x=-1 , x=4 \end{gathered}$$

ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة بتطبيق العلاقة السابقة

$$\begin{gathered} A={\int }_{-1}^4(x^2-3x-4)dx \\ =\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-4x {|}_{-1}^4 \mathrm{التكامل} \mathrm{بإجراء} \\ =\frac{65}{3}-\frac{45}{2}-20 \mathrm{بالتعويض} \\ =\left|\frac{-125}{6}\right|=\frac{125}{6} \end{gathered}$$

لاحظ أن القيمة كانت سالبة لأننا لم نحدد أي الاقترانين هو الأكبر ،

لكن ذلك لا يؤثر في صحة الحل لأننا سنعالج ذلك بأخذ القيمة المطلقة للناتج.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $g\left(x\right)=e^{x-1}, f\left(x\right)=x$  في الفترة $[0,2]$

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

$$\begin{gathered} x=e^{x-1} \\ 1=e^0 (x=1 \mathrm{بتعويض}) \mathrm{بالتجريب} \end{gathered}$$

نلاحظ إنه عند $x=1$  يتقاطع الاقترانين.وهذا يعني أن المنطقة ستنقسم إلى منطقتين في الفترة $[0,2]$

ثانياً :سنطبق العلاقة

$$\begin{gathered} A={\int }_0^1(x-e^{x-1})dx+{\int }_1^2(x-e^{x-1})dx \\ {A}_1={\int }_0^1(x-e^{x-1})dx=\frac{x^2}{2}-e^{x-1}{|}_0^1 \\ =\frac{1}{e}-\frac{1}{2}<0 \\ {A}_2={\int }_1^2(x-e^{x-1})dx=\frac{x^2}{2}-e^{x-1}{|}_1^2 \\ =\frac{3}{2}-e +1=\frac{5}{2}-e<0 \\ then : \\ A=A_1+A_2 \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{e}+e-\frac{5}{2} \mathrm{موجبة} \mathrm{تصبح} \mathrm{حتى} \\ =e+\frac{1}{e}-2 \end{gathered}$$

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين    $g\left(x\right)=\sin 2x , f\left(x\right)=\cos x$ في الفترة  $[0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}]$.

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

$$\begin{gathered} \sin 2x=\cos x \\ \sin 2x-\cos x=0 because: sin2x=2sinx cosx \\ 2\sin x \cos x-\cos x=0 \\ \cos x(2\sin x-1)=0 \\ \cos x=0 ,\to x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ 2\sin x-1=0 \\ \sin x=\frac{1}{2} \to x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

ثانياً : ستنقسم المنطقة بين الاقترانين إلى منطقتين

$$\begin{gathered} A=A_1+A_2 \\ {A}_1={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}(\sin 2x-\cos x)dx \\ =\frac{-\cos 2x}{2}-\sin x {|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}} \\ =\frac{-1}{2}(\frac{-1}{2}-1)-(\frac{1}{2}-0)=\frac{1}{4} \\ {A}_2={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(\sin 2x-\cos x)dx \\ =\frac{-\cos 2x}{2}-\sin x {|}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}} \\ =\frac{-1}{2}(-1-\frac{1}{2})-(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \\ A=A_1+A_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

ملاحظة تكتب الحدود بالترتيب التصاعدي

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $x=7, x=-2 \mathrm{والمستقيم} , 2y-x=2 ,f\left(x\right)=\sqrt{x+2}$

الحل:

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

وسنجعل y موضوع قانون في الاقتران الثاني   $y=\frac{1}{2}x+1$ 

$$\begin{gathered} \sqrt{x+2}=\frac{1}{2}x+1 \\ x+2=\frac{x^2}{4}+x+1 \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع} \\ \frac{x^2}{4}=1 \to x^2=4 \\ \to x=+2 , x=-2 \end{gathered}$$  

ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة

 

$$\begin{gathered} A=A_1+A_2 \\ {A}_1={\int }_{-2}^2(\sqrt{x+2}-\frac{1}{2}x-1)dx \\ ={\int }_{-2}^2({(x+2)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x-1)dx \\ =\frac{2}{3}{(x+2)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}{x}^2-x \overline{) 2 \\ -2} \\ =\left(\frac{2}{3}{\left(4\right)}^{\frac{3}{2}}-1-2\right) -(0-1+2)=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} A=A_1+A_2 \\ {A}_2={\int }_2^7(\sqrt{x+2}-\frac{1}{2}x-1)dx \\ ={\int }_2^7({(x+2)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x-1)dx \\ =\frac{2}{3}{(x+2)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}{x}^2-x \overline{)7 \\ 2} \\ =(\frac{2}{3}{\left(9\right)}^{\frac{3}{2}}-\frac{49}{4}-7) -(\frac{2}{3}{\left(4\right)}^{\frac{3}{2}}-1-2)= \\ =(11-\frac{49}{4}) -(\frac{16}{3}-3)=14-\frac{49}{4}-\frac{16}{3} \\ =14-\frac{83}{12}=\frac{168-83}{12}=\frac{85}{12} \end{gathered}$$

 بالتالي فإن المساحة الكلية:   $A=A_1+A_2$

$=\frac{16}{12}+\frac{85}{12}=\frac{101}{12} \mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}$

تعلم من مرحلة سابقة أن الإزاحة هي التغير في موقع الجسيم فإذا كان $s\left(t\right)$ يمثل اقتران موقع الجسيم عند الزمن t .

فإن الإزاحة على الفترة الزمنية   $\left[t_1,t_2\right]$ هي: 

$$\begin{gathered} ∆s\left(t\right)=s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right) \\ s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt \mathrm{أن} \mathrm{وكذلك} \\ s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t1}^{t2}v\left(t\right) dt \mathrm{فإن} \mathrm{بالتالي} \end{gathered}$$                                                                                                             

أما المسافة المقطوعة فهي كمية موجبة دائمًا وتساوي:

$d={\int }_{t1}^{t2}\left|v\left(t\right)\right|dt$

بحيث أن v(t) هو منحنى السرعة لجسيم يتحرك في خط مستقيم ومن المهم ملاحظته أن المساحة المحصورة بين منحنى السرعة -الزمن والمحور x 

إذا وقعت فوق المحور x فهي كمية موجبة

وإذا وقعت تحت المحور x فهي كمية سالبة

                  

فإذا كان الحديث عن الإزاحة فالمنطقة فوق المحور موجبة وتحته سالبة. وإذا كان الحديث عن المسافة فالمنطقة دائمًا موجبة .

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية $[0,6]$ ،

إذا بدأ الجسم الحركة عند $x=1$ ،عندما كانت $t=0$.

      فأجد كلًا مما يأتي:

أولاً : إزاحة الجسيم في الفترة $[0,6]$. 

الحل:

سنجد المساحة المحصورة بين منحنى السرعة - الزمن والمحور x.

$A=A_1+A_2$

فالمساحة $A_1$  هي مساحة المثلث في الفترة $[0,1]$.

_{$A_1=\frac{1}{2}\left(1\right)\left(3\right)=\frac{3}{2}$}

ولأنها تمثل الإزاحة تحت المحور x فهي  $-\frac{3}{2}$.

والمساحة $A_2$ هي مساحة المثلث والمستطيل في الفترة $[1,6]$.

$A_2=\frac{1}{2}\left(1\right)\left(2\right)+\left(4\right)\left(2\right)=1+8=9$

ولأنها تمثل الإزاحة فوق المحور x فهي 9+ بالتالي فإن:

$A=\frac{-3}{2}+9=\frac{15}{2} \mathrm{اليمين} \mathrm{نحو}$

أو من خلال القانون

$$\begin{gathered} s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right) dt \\ s\left(6\right)-s\left(0\right)={\int }_0^{6}v\left(t\right) dt={\int }_0^{1}v\left(t\right) dt +{\int }_1^{6}v\left(t\right) dt \\ =\frac{-3}{2}+9=\frac{15}{2} \mathrm{اليمين} \mathrm{نحو} \end{gathered}$$

ثانياً : المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة $[0,6]$.

الحل:

يمكن القول أن المسافة تساوي

$$\begin{gathered} {\int }_0^6\left|v\left(t\right)\right| dt \\ {\int }_0^6\left|v\left(t\right)\right| dt=\left|A_1\right|+\left|A_2\right| \mathrm{أن} \mathrm{أي} \\ =\left|\frac{-3}{2}\right|+\left|9\right|=\frac{21}{2} \end{gathered}$$

ثالثاً : الموقع النهائي للجسيم.

الحل:

 يقصد بالموقع النهائي للجسيم موقعه بعد 6 ثواني أي s(6)  ونحن نعلم أن:

$$\begin{gathered} s\left(6\right)-s\left(0\right)={\int }_0^{6}v\left(t\right) dt \\ \mathrm{الموقع} \mathrm{الموقع} \mathrm{الإزاحة} \\ \mathrm{النهائي} \mathrm{الابتدائي} \end{gathered}$$

ومن المعطيات نجد أن الموقع الابتدائي  $s\left(0\right)=1$  والإزاحة حسبت في الفرع (1) وتساوي  $\frac{15}{2}$ بالتالي:

$$\begin{gathered} s\left(6\right)-1=\frac{15}{2} \\ s\left(t\right)=\frac{17}{2} \mathrm{النهائي} \mathrm{الموقع} \end{gathered}$$

تعلم أن أي مساحة محصورة بين منحنيين إذا دارت حول المحور x فإنها تنتج مجسمًا دورانيًا يمكن إيجاد حجمه باستخدام التكامل على النحو التالي:

$$\begin{gathered} v={\int }_a^b\pi y^{2}dx \\ ={\int }_a^b\pi f^2\left(x\right) dx \end{gathered}$$

وهو حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $y=f\left(x\right)$ دورة كاملة حول المحور x في الفترة $[a,b]$

 أجد حجم الجسم المتولد عن دوران المنطقة المحصورة بين  $f\left(x\right)=x^2$  ومحور x  في الفترة $[0,3]$.

$$\begin{gathered} v=\pi {\int }_0^3{\left(x^2\right)}^{2}dx={\int }_0^3{x}^4 dx \\ =\pi \left(\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3 \\ =\pi \left(\frac{3^5-0^5}{5}\right)=\frac{243\pi }{5} \mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة} \end{gathered}$$

والآن سنجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين اقترانين.

$v=\pi {\int }_a^b\left(f^2\right(x)-g^2(x\left)\right) dx$

حيث $a,b$  هما نقاط التقاطع بين الاقترانين $f,g$وعلى الترتيب.

أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $g\left(x\right)=3x-2 , f\left(x\right)=x^2$ حول المحور x .

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=f\left(x\right) \\ 3x-2=x^2 \\ {x}^2-3x+2=0 \mathrm{المعادلة} \mathrm{هذه} \mathrm{وبحل} \\ (x-2)(x-1)=0 \\ x=1 , x=2 \end{gathered}$$

سنستخدم قانون الحجم:

$$\begin{gathered} v=\mathrm{\pi }{\int }_1^2({(3\mathrm{x}-2)}^2-{\left({\mathrm{x}}^2\right)}^2)\mathrm{dx} \\ =\mathrm{\pi }{\int }_1^2{(3\mathrm{x}-2)}^2\mathrm{dx} - \mathrm{\pi }{\int }_1^2{\mathrm{x}}^4\mathrm{dx} \\ =\mathrm{\pi }\frac{{(3\mathrm{x}-2)}^3}{9}{|}_1^2 - \mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}{|}_1^2 \\ =\frac{\mathrm{\pi }(64-1)}{9} - \frac{\mathrm{\pi }(32-1)}{5}=7\mathrm{\pi }-\frac{31\mathrm{\pi }}{5} \\ =\frac{4\mathrm{\pi }}{5} \end{gathered}$$