المحل الهندسي في المستوى المركّب

يمكن تعريف المحل الهندسي في المستوى المركب بأنه مجموعة جميع النقاط في المستوى المركب و التي تحقق شرطاً أو شروطاً معينة،

 و يمكن أن تكون هذه الشروط معادلة او متباينات.و يمكن دراسة حالات خاصة من المحل الهندسي في المستوى المركب كما يلي:

    

   المحل الهندسي في المستوى المركب الذي تمثله المعادلة:  $\left|z\right| = r, (r>0)$

   هو دائرة، مركزها نقطة الأصل $(0,0)$  وطول نصف قطرها  r .

   (بعد z عن نقطة الأصل دائماً يساوي r)

      المحل الهندسي في المستوى المركب الذي تمثله المعادلة: $|z- (a+ib\left)\right|= r و r > 0$ 

     هو:  دائرة، مركزها النقطة  $(a,b)$ و طول نصف قطرها r  

     (بعد z عن (a,b) دائماً يساوي r)

   

   المحل الهندسي في المستوى المركب الذي تمثله المعادلة: $|z-z_1| = |z-z_2|$

   هو:المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين اللتين تمثلان العددين المركبين $z_1 , z_2$

                                                                                           (حيث بعد $Z_2$ عن  $Z$ يساوي دائماً بعد $Z_1$ عن $Z$ )

 فإذا كان: $z_1 = a+ib , z_2 = c+id$   ، فإن المعادلة   $|z -(a+ib\left)\right|=|z-(c+id\left)\right|$ 

تمثل المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين التقطتين $(a,b) ، (c,d)$  

  

    المحل الهندسي في المستوى المركب الذي تمثله المعادلة   $Arg\left(z\right) = \theta$  هو:

    الشعاع الذي يبدأ بنقطة الأصل(ولا يحويها) و يمتد إلى مالانهاية

                                              و يصنع زاوية قياسها   $\theta$   مع المحور الحقيقي الموجب حيث :   $-\mathrm{\pi } < \mathrm{\theta }\le \mathrm{\pi }$.

لذلك نضع دائرة مفرغة عند نقطة الأصل لأن العدد المركب (0) سعته غير معروفة.

    المحل الهندسي في المستوى المركب الذي تمثله المعادلة:$Arg(z-(a+ib) = \theta$
    ، حيث  $-\pi <\theta \le \mathrm{\pi }$  هو شعاع يبدأ من النقطة $(a , b)$  (ولا يحويها). 

     و يصنع زاوية قياسها  $\theta$ مع مستقيم يوازي المحور الحقيقي.

مثال:
 تمثل المعادلة: $\left|z\right| = 3$ محلا هندسيا .

1) جد نوع المحل الهندسي .

الحل:  

تمثل المعادلة  دائرة مركزها نقطة الأصل، طول نصف قطرها 3.

2) اكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية:

$$\begin{gathered} Solution: \\ \left|z\right| = 3 let z = x+iy \\ |x + iy| = 3 \\ \sqrt{x^2+y^2} = 3 \\ {x}^2+y^2 = 9 \end{gathered}$$                   

 3) مثل المحل الهندسي في المستوى المركب

 

 

 

 

 

 

 

 

---

مثال:

إذا كان  $|z-3+2i| = 4$

1) جد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة .

       الحل: 

        المحل الهندسي هو دائرة $(3,-2)$ ، مركزها  و طول نصف قطرها 4.

        لاحظ الشكل المجاور:

 

2) اكتب المعادلة بالصورة الديكارتية: 

    $$\begin{gathered} Solution: \\ |z - (3-2i\left)\right| = 4 \\ but (z = x+iy) \\ \left|\right(x-3)+ i(y+2\left)\right| = 4 \\ {(x-3)}^2+{(y+2)}^2= 16 \end{gathered}$$                 

---

مثال:

 جد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة $Arg(z+3-2i) = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ .

   الحل: 

    المحل الهندسي هو الشعاع الذي يبدأ من النقطة$(-3 , 2)$   ولا يحتوي هذه النقطة. 

     و يصنع زاوية قياسها  $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ مع المستقيم الموازي للمحور الحقيقي.

       لاحظ الشكل المجاور:

---

 مثال:

 جد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة: $|z -2|=|z+3i|$ ثم اكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

     الحل:

    المحل الهندسي هو العمود المنصف للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(0,-3), (2,0)$ .

    لاحظ الشكل المجاور: 

المعادلة بالصيغة الديكارتية :

 $$\begin{gathered} Solution: \\ \left|\right(x+iy)-2| = | (x+iy) + 6i| \\ \left|\right(x-2) + iy| = |x + i(y+6\left)\right| \\ \sqrt{{(x-2)}^2+y^2} = \sqrt{x^2+ {(y+6)}^2} \\ {x}^2-4x+4+y^2 = x^2+y^2+12y+36 \\ -4x -12y -32 =0 \\ x + 3y + 8 = 0 \end{gathered}$$              

---

 

يمكن استخدام ما تعلمنا عن المحل الهندسي في المستوى المركب لتمثيل المتباينات فيه،

وذلك باستبدال رمز (=) بأحد رموز المتباينات:  $(>,\ge ,<,\le )$ .

و نقوم بذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:

1) تحديد المنحنى الحدودي (الذي يمثل المعادلة المرافقة)

و نرسمه بخط متصل اذا احتوت المتباينة على المساواة

و بخط متقطع اذا لم تحتوي المتباينة على المساواة.

2) تحديد منطقة الحلول الممكنة: باختبار عدد مركب في احدى المنطقتين و اختباره في المتباينة.

مثال:

مثل في المستوى المركب المحل الهندسي الذي يمثل كلاً من المتباينات التالية: 

   $1) |z + 3i|\le 4$      

الحل:

1) نحدد المنحنى الحدودي:
المعادلة: $|z + 3i| = 4$ تمثل دائرة ، مركزها $(0,-3)$ و طول نصف قطرها 4

 

   ولأن المتباينة تحتوي المساوة نرسم الدائرة بخط متصل

   لاحظ الشكل التالي:

 

2) نحدد منطقة الحلول الممكنة:

تبعد الأعداد التي تحقق المتباينة  4 وحدات عن مركز الدائرة او اقل.

فتكون منطقة الحلول الممكنة هي: الدائرة و المنطقة الواقعة داخلها.

---

    $2) |z + 3| > |z-5i|$        

الحل: 

1) نحدد المنحنى الحدودي:

   المعادلة: $|z+3| = |z-5i|$ تمثل المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(0 , 5) , (-3,0)$ . 

    و يكون مستقيماً متقطعاً لعدم وجود المساواة في المتباينة.

    و يمكن اختيار العدد المركب (z = 0) في المتباينة لتحديد منطقة الحلول الممكنة: 

                                                          $$\begin{gathered} |z + 3| > |z-5i| \\ |0+3| \stackrel{?}{>}|0-5i| \\ 3 \stackrel{?}{>} 5 false \end{gathered}$$      

إذن العدد z = 0 ، لا يحقق المتباينة، فإن منطقة الحلول الممكنة هي المنطقة التي لا تحتوي نقطة الأصل، كما في الشكل المجاور.

---

      $3) 0 < Arg(z) \le \frac{\pi }{3}$           

الحل:

1. نحدد المنحنى الحدودي:

     المعادلة : $Arg\left(z\right) = 0$  شعاع متقطع (بسبب عدم وجود مساواة) .

     يبدأ نقطة الأصل ولا يحتويها ينطبق على المحور الحقيقي الموجب.

     المعادلة:  $Arg\left(z\right) = \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ شعاع متصل يبدأ بنقطة الأصل و يصنع زاوية قياسها$\frac{\mathrm{\pi }}{3}$  مع المحور الحقيقي الموجب.

 

     2)  يحدد منطقة الحلول الممكنة التي تمثلها المتباينة $0\hspace{0.17em}< Arg\left(z\right) \le \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ ،

     و هي المنطقة المظللة المحصورة بين الشعاعين في الشكل المجاور.

---

$4) |z -2 -i| \ge 2 , \frac{-\mathrm{\pi }}{6}< Arg(z-2-i)<\frac{\mathrm{\pi }}{4}$       

  الحل:

   المعادلة: $|z - (2+i\left)\right| = 2$  تمثل الدائرة ( خط متصل بسبب وجود مساواة) التي مركزها $(2 , 1)$ 

   و طول نصف قطرها 2

   و المتباينة $|z - (2 + i\left)\right| \ge 6$   تمثل الدائرة السابقة و المنطقة الواقعة خارجها.

المتباينة  $\frac{-\mathrm{\pi }}{6}<Arg(z-(2+i\left)\right) <\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{4}$  تمثل المنطقة المحصورة بين الشعاعين اللذين يبدءان من مركز الدائرة (ولا يحتويانها)،

الأول يصنع زاوية قياسها $\frac{-\mathrm{\pi }}{6}$  مع المستقيم الموازي للمحور الحقيقي،

و الثاني يصنع زاوية قياسها $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$  معه و الشعاعان متقاطعان.

فتكون منطقة الحل الممكنة كما في الشكل التالي، الواقعة على و خارج الدائرة المحصورة بين الشعاعين.