المجال الكهربائي للشحنات النقطية

المجال الكهربائي لشحنة نقطية Electric Field of a Point Charge
لمعرفة المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية موجبة (Q+) عند نقطة

قريبة منها،  نضع شحنة اختبار صغيرة (q+) في هذه النقطة، كما في الشكل (1).

 وشحنة الاختبار Test charge هي شحنة كهربائية موجبة صغيرة المقدار تُستعمل

 للكشف عن المجال الكهربائي، ويكون مقدارها صغير جدًّا لدرجة أنّ تأثيرها في المجال

 الكهربائي المحيط بها يكون مهملً. أُلاحظ أنّ شحنة الاختبار ستتأثّر بقوّة كهربائية (F)،

 يُمثّل اتّجاهها اتّجاه  المجال الكهربائي عند هذه النقطة. أمّا مقدار القوّة فإنّه يُعطى

  بالعلاقة الآتية: 

                                             $F = k \frac{Qq}{ r^2}$
حيث (r) المسافة الفاصلة بين مركزي الشحنتين.

الشكل ( 1 ): القوّة المؤثّرة في شحنة الاختبار.

يُعرّف المجال الكهربائي E الذي تولّده الشحنة (Q+) عند نقطة، بأنّه القوّة الكهربائية التي

تؤثّر في وحدة الشحنة الموجبة الموضوعة في تلك النقطة، علمًا بأنّ وحدة الشحنات

الموجبة ليست شحنة اختبار؛ فهي تساوي (كولوم) واحدًا، وتمتلك مجالً كهربائيًّا قويًّا.

ونُعبّر عن تعريف المجال الكهربائي بالعلاقة الرياضية الآتية:  $E=\frac{F}{q}$

 وبتعويض قيمة القوّة من قانون كولوم في العلاقة السابقة، أحصل على العلاقة الآتية:
$$\begin{gathered} E = k \frac{Qq}{q r^2} \\ E = k \frac{Q}{ r^2} \end{gathered}$$
أُلاحظ من العلاقة الأخيرة أنّه يُمكنني حساب مقدار المجال عند نقطة من دون الحاجة

لوضع شحنة اختبار عندها. وتُستعمل وحدة (نيوتن/ كولوم) ( N/C ) لقياس المجال

الكهربائي حسب النظام الدولي للوحدات.

مثال محلول

شحنة كهربائية نقطية موجبة مقدارها ( $5\mu C$ ).أُحدّد اتّجاه المجال عند النقاط ( a,b,c )، ثمّ أجد

مقدار المجال الكهربائي عند النقطة ( a) التي تبعد عن الشحنة مسافة 36 cm والمبيّنة في
الشكل ( 2 ).

الحل

لتحديد اتّجاه المجال عند كل نقطة من ( a,b,c ) أضع

عندها شحنة اختبار موجبة وأُلاحظ كيف تتحرّك، فأجد

أنّ اتّجاه المجال عند ( a) يكون باتّجاه محور ( x+)، وعند

النقطة ( b) يكون باتّجاه محور ( x-)، وعند النقطة ( ،(c

يكون باتّجاه محور ( y+)، كما في الشكل( 3 ).

ولمعرفة مقدار المجال؛ أستعملُ العلاقة الآتية:

                                $$\begin{gathered} E = k\frac{ Q}{ r^2} \\ E =\frac{ 9 \times {10}^9 \times 5 \times {10}^{-6}}{{\left(36\right)}^2 \times {10}^{-4}} \\ E_a = 3.47 \times {10}^5 N/C \end{gathered}$$

الشكل ( 2 ): المجال عند نقطة.

الشكل ( 3 ): اتّجاه المجال حول شحنة.

تمرين

في المثال السابق، أجد مقدار القوّة الكهربائية التي يؤثّر بها المجال الكهربائي في شحنة

اختبار موجبة صغيرة مقدارها ( 3 nC ) موضوعة في النقطة ( a)، ثمّ أُحدّد اتّجاه هذه القوّة.

المجال الكهربائي لعدّة شحنات نقطية Electric Field of Several Point Charges
عند وضع عدد من الشحنات الكهربائية المتشابهة أو المختلفة بشكل معيّن، تنشأ

حول كلّ منها منطقة مجال كهربائي، بحيث يكون المجال الكهربائي المحصّل عند أيّ

نقطة في هذهالمنطقة مساويًا لمحصّلة المجالات الناتجة عن كل شحنة إذا كانت

 منفردة. وتُستعمل فيذلك طريقة جمع المتّجهات.

مثال محلول

يوضّح الشكل ( 4 ) شحنتين نقطيتين في الهواء، الأولى

سالبة والثانية موجبة. مستعينًا بالشكل؛ أجد المجال

الكهربائي المحصّل عند النقطة ( a) وأُحدّد اتّجاهه.

الحل

مقدار المجال الناتج عن الشحنة ( Q₁ ) عند النقطة (a):

$$\begin{gathered} E_1 =\frac{ k Q_1 }{r_1{ }^2 }=\frac{ 9 \times {10}^9 \times 3 \times {10}^{-6 }}{{(6 \times {10}^{-2})}^2 } \\ {E}_1 = 7.5 \times {10}^6 N/C \end{gathered}$$

تُستعمل إشارة الشحنة في تحديد اتّجاه المجال وليس حساب مقداره؛ لذا، فإنّ المجال الناتج عن الشحنة الأولى يكون باتّجاه محور (+y).

ومقدار المجال الناتج عن الشحنة ( Q₂ ) عند النقطة (a):

                                                        $$\begin{gathered} E_2 =\frac{ k Q_2 }{r_2{ }^2 }=\frac{ 9 \times {10}^9 \times 4 \times {10}^{-6 }}{{(15 \times {10}^{-2})}^2 } \\ {E}_2 = 1.6 \times {10}^6 N/C \end{gathered}$$
اتّجاه المجال الناتج عن الشحنة الثانية يكون باتّجاه محور (+x).
أُلاحظ أنّ الزاوية بين متّجهي المجالين (° 90 )، كما في الشكل  ( 5 )، وفي هذه الحالة يُحسب المجال المحصل باستعمال العلاقة:

$$\begin{gathered} E =\sqrt{ {{\left(E_1\right)}^2}_{ } + {\left(E_2\right)}^2 } \\ E =\sqrt{ {(7.5 \times {10}^6)}^2 + {(1.6 \times {10}^6)}^2} = \sqrt{56.25 \times {10}^{12} + 2.56 \times {10}^{12}} \\ E = 7.67 \times {10}^6 N/C \end{gathered}$$

ويُحدّد اتّجاه المجال المحصّل بالزاوية المرجعية ( θ) حيث:

$$\begin{gathered} \tan \theta =\frac{ 7.5 \times {10}^6 }{1.6 \times {10}^6} = 4.88 \\ \theta = {\tan }^{-1} (4.88) = 78.4° \\ E = 7.67 \times {10}^6 N/C,78.4° \end{gathered}$$

تمرين

يوضح الشكل ( 6 ) شحنتين نقطيتين في الهواء: الأولى موجبة والثانية سالبة،

تفصلهما مسافة ( 1.8m). مستعينًا بالشكل؛ أجد المجال الكهربائي المحصّل

عند نقطة تنصف المسافة بين الشحنتين.

خطوط المجال الكهربائي Electric Field Lines
المجال الكهربائي كمّية فيزيائية متّجهة، وفي الأمثلة السابقة مثّلنا متّجه المجال عند

نقطة بسهم اتّجاهه يُعبّر عن اتّجاه المجال عند تلك النقطة، ويتناسب طول السهم مع

مقدار المجال. ويُمكنني تمثيل منطقة المجال الكهربائي الذي يُحيط بشحنة كهربائية

مفردة أو عدد من الشحنات؛ برسم خطوط، عليها أسهم توضّح اتّجاه المجال، وتُسمّى

خطوط المجال الكهربائي Electric Field Lines وهي تُمثّل مسارات شحنة اختبار
موجبة تتحرّك تحت تأثير المجال الكهربائي فقط. مع التذكير بأنّ اتّجاه المجال عند أي

نقطة فيه، هو اتّجاه القوّة التي يؤثّر بها المجال في شحنة الاختبار النقطية الموجبة،

الموضوعة عند تلك النقطة. يُبيّن الشكل ( 7 ) أربعة مجالات كهربائية منفصلة،

مُثّلت بخطوط المجال.

أ . المجال الكهربائي الناشئ عن شحنة نقطية موجبة.

ب. المجال الكهربائي الناشئ عن شحنة نقطية سالبة.

 ج. المجال الكهربائي الناشئ عن شحنتين نقطيتين متساويتين ومتجاورتين، إحداهما موجبة والثانية سالبة.

 د .المجال الكهربائي الناشئ عن شحنتين نقطيتين موجبتين متساويتين ومتجاورتين.

الشكل ( 7 ): أنماط المجالات الكهربائية حول

عدد من الشحنات النقطية.

أستنتجُ من الأشكال السابقة الملحوظات الآتية:
-  تدلّ كثافة خطوط المجال الكهربائي التي تخترق سطحًا محدّدًا على مقدار المجال

   الكهربائي،

  ويُقصد بكثافة خطوط المجال الكهربائي Density of Electric Field Lines أنّها:

      عدد الخطوط التي تخترق وحدة المساحة من هذا السطح بشكل عمودي عليه؛

     أي إنّ مقدار المجال الكهربائي يزداد حيثما تتزاحم خطوط المجال.

 - تبدأ خطوط المجال من الشحنة الموجبة وتنتهي إلى الشحنة السالبة؛ لأنّها تُمثّل

      مسار حركة شحنة الاختبار الموجبة داخل المجال، بسبب تنافرها مع الشحنة

     الموجبة وتجاذبها مع الشحنة   السالبة.
- تكون خطوط المجال الكهربائي مستقيمة أو منحنية لكنّها لا تتقاطع، إذ لو تقاطع

  خطّان لأصبح  للمجال أكثر من اتّجاه عند نقطة التقاطع، وهذا يتعارض مع مفهوم

المجال عند نقطة.

المجال الكهربائي لكرة موصلة مشحونة 

 Electric Field of a Charged Conducting Sphere
يُشكّل المجال الكهربائي الذي تولّده كرة فلزية مشحونة بشحنة موجبة (Q+)

 منطقة تُحيط بهذه الكرة. لوصف هذا المجال؛ أتتبّع مسار حركة شحنة اختبار

 صغيرة موجبة (q+)،  كما يُبيّن الشكل (8 /أ)، عند وضعها في نقاط مختلفة

 حول الكرة المشحونة. عند رسم  مسارات حركة شحنة الاختبار تحت تأثير القوّة

 الكهربائية المتبادلة مع  الكرة الفلزية  المشحونة،

 أستنتجُ أنّ المجال الكهربائي خارج كرة فلزية مشحونة يُماثل تمامًا المجال

الكهربائي حول شحنة نقطية مساوية للشحنة الكلّية على الكرة ( Q+)،

 ويكون موقعها كما لو كانت في مركز هذه الكرة، كما يُبيّن الشكل (18 / ب).

لحساب مقدار المجال عند أي نقطة خارج الكرة الموصلة المشحونة؛ تُستعمل

 العلاقات الخاصة بمجال الشحنات النقطية، لكنّ المجال الكهربائي داخل الكرة

 يساوي محصّلة  متّجهات المجال الناتجة عن كلّ الشحنات على سطح الكرة،

   ويساوي صفرًا.

مثال محلول

يوضّح الشكل ( 9 ) كرة نحاسية نصف قطرها ( 10cm)، موضوعة في الهواء ومشحونة

بشحنة سالبة ( $-12\mu C$ ). مستعينًا بالشكل؛ أجد المجال الكهربائي عند كل من

النقطتين  (a, b)

الحلّ
المجال عند النقطة ( a) في مركز الكرة يساوي صفرًا، وكذلك عند أيّ نقطة داخل الكرة؛

لأنّه ناتج عن

جمع متّجهي لمجالات الشحنات الجزئية جميعها على سطح الكرة.     $E_a=0 N/C$

المجال عند النقطة ( b) على بعد ( 20 cm ) من سطح الكرة: 

                                          r = R + d = 0.1 + 0.2 = 0.3 m

                             $$\begin{gathered} E_b =\frac{ k Q}{ r2 }= \frac{9 \times {10}^9 \times 12 \times {10}^{-6}}{ 0.3^2} \\ E_b = 12 \times {10}^5 N/C \end{gathered}$$

اتّجاه المجال عند النقطة ( b) يكون باتّجاه محور (-x)، وهو اتّجاه حركة شحنة الاختبار

 الموجبة، إذا وُضِعت عند هذه النقطة.

التدفّق الكهربائي Electric Flux
أفترضُ أنّ لديّ سائلً يجري خلال أنبوب، ويخرج من مقطعه الذي يُشكّل

سطحًا مستويًا  مساحته ( A)، وأنّ اتّجاه الجريان يتعامد مع هذا السطح؛

فإنّ حجم السائل الذي ينفذ من  السطح في وحدة الزمنيُسمّى تدفّقًا.

 وفي حالة المجال الكهربائي، فإنّني أُحدّد كمّية  مشابهة تُسمّى; 

 التدفّق الكهربائي Electric flux;

 وهو العدد الكلّي لخطوط المجال الكهربائي التي تعبر مساحة محدّدة.

لاحظتُ عند وصف خطوط المجال الكهربائي، أنّ مقدار المجال الكهربائي

 يتناسب طرديًّا مع عدد خطوط المجال التي تخترق وحدة المساحة بشكل

 عمودي، وهذا يؤدّي إلى علاقة بين التدفّق الكهربائي ومقدار المجال الكهربائي.

 ولتسهيل تحديد هذه العلاقة، أفترضُ وجود سطح مستوٍ مساحته ( A)

  عمودي على اتّجاه مجال كهربائي منتظم E (ثابت  المقدار والاتّجاه) وتخترقه

 خطوط المجال، كما في الشكل ( 10 ).  إنّ التدفّق الكهربائي  لهذا المجال يُعطى

  بالعلاقة الرياضية الآتية:

                                                          $\varphi =EA$

 إذ يُمثّل الرمز ɸ التدفّق خلال المساحة A، ويساوي عدد خطوط المجال

 الكلّية التي تخترق  هذه  المساحة.ويُقاس التدفّق الكهربائي بوحدة Nm²/C

 حسب النظام الدولي للوحدات.  وتجدر الإشارةإلى أنّ المجال  الكهربائي

 والمساحة كمّيتان متّجهتان؛ إذ يكون متّجه  المساحة هو العمود المُقام على

 السطح باتّجاهالخارج (بالنسبة إلى السطوح المغلقة)،

في حين أنّ التدفق كمّية فيزيائية  قياسية. بالنظر إلى الشكل ( 10 )

أُلاحظ أنّه لو حصل دوران للسطح الذي مساحته A بحيث تصبح خطوط المجال

 غير  عمودية على المساحة؛ فإنّ هذا سيؤدّي إلى إنقاص عدد خطوط المجال التي

 تخترقه؛  لذا، فإنّه في الحالة العامّة التي تكون فيها الزاوية بين متّجه المساحة

 واتّجاه خطوط المجال ضمن المدى 0˚ ≤ θ ≤ 180˚ ؛ فإنّ التدفّق يساوي ناتج الضرب 

 القياسي لمتّجهي المجال والمساحة ويعطى بالعلاقة الآتية:

                                                            ɸ = E A cos θ
أستنتجُ من هذه العلاقة أنّ التدفّق الكهربائي خلال سطح يعتمد على ( 3) عوامل:  

 - مقدار  المجال الكهربائي،   

 - مقدار المساحة التي يُحسب التدفّق خلالها،

 - الزاوية بين متّجهَي  المساحة والمجال الكهربائي.

مثال محلول

مجال كهربائي ثابت مقداره ( 3Ox10³N/C ) تخترق بعض خطوطه سطحًا

مساحته ( 0.04m² )، كما في الشكل ( 10 ). إذا علمتُ أنّ خطوط المجال

موازية لمتّجه المساحة؛ فأحسبُ التدفّق الكهربائي.
الحلّ
                                           ɸ = E A cos θ
                     ɸ = 3 × 10³ × 0.04 × cos 0
         cos 0˚ = 1  
                                         ɸ = 120 Nm²/C

مثال محلول

أحسبُ التدفّق الكهربائي خلال سطح مستطيل الشكل، أبعاد

 مساحته (  5cmx10cm) موضوع في منطقة مجال كهربائي

ثابت مقداره (100N/C )، كما في الشكل ( 11 ). علمًا بأنّ الزاوية

بين متّجه المجال ومتّجه المساحة ( 37˚ ).
الحلّ

                                                                $$\begin{gathered} A = 0.05 \times 0.1 = 0.005 m^2 \\ ɸ = E A \cos 37˚ \\ ɸ = 100 \times 0.005 \times 0.8 \\ ɸ = 0.4 N{m}^2/C \end{gathered}$$

تمرين

أحسبُ التدفّق الكهربائي الناتج عن دخول خطوط مجال كهربائي منتظم ( E)

 لمكعّب طول ضلعه  (l ) بشكل عمودي على أحد أوجهه كما في الشكل ( 12 )،

 وخروجها عموديًّا من الوجه المقابل.