المجال الكهربائي لتوزيع متّصل من الشحنات الكهربائية

قانون غاوس Gauss’s Law
بعد أقل من 50 عامًا من نشر شارل كولوم قانونه، توصّل عالم الفيزياء والرياضيات الألماني

كارل غاوس إلى قانون يُكافئ قانون كولوم في وصفه العلاقة بين المجال الكهربائي والشحنة،

الذي عُرف باسمه (قانون غاوس)، إلّا أنّ غاوس قدّم طريقة مختلفة للتعبير عن هذه العلاقة. 

ينصّ قانون غاوس Gauss’s law على أنّ التدفّق الكهربائي الكلّي عبر سطح مغلق يتناسب طرديًّا

مع المجموع الجبري للشحنات الكهربائية المحتواة ( Enclosed Charge ) داخل هذا السطح.

بما أنّ التدفّق الكهربائي خلال سطح يتناسب مع كلّ من المجال الكهربائي ومساحة السطح؛ فإنّ

 قانون غاوس يوضّح العلاقة بين الشحنة الكلّية والمجال الكهربائي الناتج عنها، كما هي الحال في

قانون كولوم.أفترضُ سطحًا كرويًّا وهميًّا نصف قطره (r) يُحيط بشحنة نقطية موجبة (Q+) موضوعة

في الفراغ، كما في الشكل (1). أُلاحظ أنّ خطوط المجال الكهربائي للشحنة تتقاطع مع السطح الافتراضي

الكروي، الذي يُسمّى سطح غاوس Gaussian surface ، وتكون موازية لمتّجه المساحة الذي يكون عموديًّا

على المساحة ومتّجهًا إلى الخارج (بالنسبة إلى السطوح المغلقة)، أي إنّ الزاوية بين المجال ومتّجه

 المساحة.(θ = 0˚) النقاط جميعها الواقعة على سطح غاوس الافتراضي تبعد عن الشحنة النقطية

المسافة نفسها ( r)، والمجال الكهربائي ( E) عند أيّ من هذه النقاط يُعطى بالعلاقة الآتية: 

                                            $E = \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

أمّا التدفّق الكهربائي خلال سطح غاوس؛ فيُعطى بالعلاقة الآتية: ɸ = EA cos θ إذ إنّ سطح

غاوس يُمثّل كرة مساحة سطحها: (A = 4πr²). بتعويض المساحة في العلاقة السابقة أجد أنّ:

                                        $ɸ = \frac{Q}{ 4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\times 4\pi r^2 cos \theta$

بما أنّ اتّجاه المجال موازٍ لمتّجه المساحة، تكون الزاوية بينهما تساوي صفرًا، وبذلك فإنّ:

                                                                    $ɸ = \frac{Q}{{\epsilon }_0}$
أستنتجُ أنّ التدفّق الكهربائي خلال سطح كروي افتراضي يُحيط بشحنة نقطية تقع في مركزه، يساوي

ناتج قسمة الشحنة على السماحيةالكهربائية للفراغ، وأستنتجُ أنّ التدفّق الكهربائي خلال أيّ سطح

مغلق يعتمد على الشحنة المحتواة داخل السطح وعلى نوع الوسط فقط. يُعدّ ما توصّلتُ إليه حالة

خاصّة من قانون غاوس، وباستعمال (حساب التفاضل والتكامل) يُمكنني تعميم هذه النتيجة لتشمل

 أيّ سطح مغلق؛ سواء أكان منتظمًا أم غير منتظم، وأيّة شحنة كهربائية داخله؛ سواء أكانت نقطية أم

مجموعة من الشحنات المتصلة والموزعة داخل السطح. وبهذا أكون قد توصّلتُ إلى:

 الصورة العامة لقانون غاوس، وهي: إنّ التدفّق الكهربائي خلال أيّ سطح مغلق يساوي المجموع

      الجبري للشحنات الكهربائية داخل السطح؛ مقسومًا على السماحية الكهربائية للوسط المحيط

     بالشحنة.

  يمثل الشكل  المجاور سطح مغلق يحيط بالشحنات ( q₁.    q₂.    q₃  والتي تساهم في التدفق الكهربائي

  الذي يعبر  السطح  المغلق، بينما  الشحنتان ( q₄ , q₅ ) خارج السطح، لذلك لا تساهم في التدفق

 الكهربائي الذي  يعبر السطح المغلق.

 الشكل : التدفق الكهربائي  الذي يعبر سطح مغلق 

             يحيط بشحنة سالبة.

  الشكل: سطح مغلق يحيط بثلاث شحنات                              كهربائية

المجال الكهربائي لكرة موصلة مشحونة Electric Field of a Charged Conducting Sphere

عند شحن الأجسام الموصلة للكهرباء بشحنة كهربائية؛ فإنّ الشحنات تتباعد عن بعضها بسبب

تنافرها، فتتوزّع على السطح الخارجي للجسم الموصل. عندما يكون الموصل كرة نصف قطرها (R)

ومساحة سطحها الخارجي ( 4πR² )، وعند شحنها بشحنة كهربائية (Q)؛ فإنّ الشحنة تتوزّع على

 المساحة بانتظام.

تُعرّف الكثافة السطحية للشحنة (Surface charge density (σ بأنّها:     

  ناتج قسمة الشحنة الكلّية للجسم على مساحة سطحه.

وهي بالنسبة للكرة تُعطى بالعلاقة الآتية: 

                               $\sigma =\frac{Q}{4\pi R^2}$ 

 لمعرفة المجال الكهربائي خارج الكرة الموصلة المشحونة، وعلى مسافة (r > R) من مركز الكرة،

  أُطبّق قانون غاوس:

                                   $ɸ = \frac{Q}{{\epsilon }_0}$
أفترضُ سطح غاوس وهميًّا يُحيط بالكرة الموصلة، كما في الشكل ( 2 )، مساحته ( A). بتعويض

 قيمتَي الشحنة والتدفّق في قانون غاوس: $ɸ = EA, Q = \sigma \left(4\pi R^2\right)$ أحصل على العلاقة الآتية: 

                                                             $$\begin{gathered} E\left(4\pi r^2\right) =\frac{ \sigma \left(4\pi R^2\right)}{ {\epsilon }_0} \\ E = \frac{\sigma }{{\epsilon }_0} . {\frac{R}{r^2}}^2 \end{gathered}$$
لحساب المجال الكهربائي بالقرب من سطح الكرة الموصلة (خارج الكرة وعلى مسافة قريبة جدًّا

 من سطحها)، أفترضُ سطح غاوس وهميًّا يُحيط بالكرة الموصلة بشكل قريب جدًّا منها؛ أي إنّ

  نصف قطره يساوي نصف قطرها تقريبًا؛ ( r ≌ R ). أجد أنّ:
                                                                $E =\frac{\sigma }{{\epsilon }_0} = \frac{Q}{ 4\pi {\epsilon }_0{R}^2}$

وبصورة عامّة؛ فإنّ المجال الكهربائي خارج الكرة الموصلة المشحونة وعلى مسافة (r) من

مركزها يُعطى بالعلاقة:                 $E =\frac{Q}{ 4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

أستنتجُ أنّ المجال الكهربائي في نقطة تقع خارج الكرة وقريبة جدًا من سطحها يُعطى بدلالة

الكثافة السطحية للشحنة والسماحية الكهربائية للفراغ فقط، وأنّ النتيجة في الحالة العامة

خارج الكرة تتّفق مع قانون كولوم، أي إنّ المجال الكهربائي خارج الكرة المشحونة يُماثل مجال

الشحنة النقطية.

مثال محلول

كرة فلزّية معزولة نصف قطرها ( 0.2m ) موضوعة في الهواء، مشحونة بشحنة كهربائية

موجبة موزّعة على سطحهابانتظام بكثافة سطحية $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{/}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{)}$. باستعمال قانون

 غاوس أحسبُ كلًّ من:

 أ. المجال الكهربائي عند نقطة (a) على بعد ( 0.5m ) من مركز الكرة الفلزّية.

ب. المجال الكهربائي عند نقطة (b) خارج سطح الكرة الفلزية وقريبة جدًّا منه.

الحلّ:
( أ )               $$\begin{gathered} E_a= \frac{\sigma }{{\epsilon }_0} \bullet \frac{R^2}{r^2} \\ {E}_a =\frac{ 3.1 \times {10}^{-7} }{8.85 \times {10}^{-12 }}\times \frac{0.2^2}{0.5^2} =3.5\times {10}^4 \times 0.16 \\ {E}_a = 5.6 \times {10}^3 N/C \end{gathered}$$

(ب)                       $E_b=\frac{ \sigma }{{\epsilon }_0} =\frac{ 3.1 \times {10}^{-7} }{8.85 \times {10}^{-12}} =3.5 \times {10}^4 N/C$  

تمرين

أحسبُ التدفّق الكهربائي خلال سطح كروي مغلق يحتوي في داخله على ( 3) شحنات كهربائية، هي:

Q₁ = -2 × 10^-6 C, Q₂ = 4 × 10^-6 C, Q₃ = 6 ×10^-6 C

مجال شحنة موزّعة على قشرة مستوية لا نهائية Field of an Infinite Plane Sheet of Charge

لمعرفة المجال الكهربائي الناتج عن قشرة مستوية لا نهائية الطول والعرض، تتوزّع عليها

شحنة كهربائية بكثافة سطحية منتظمة (σ) باستعمال قانون غاوس؛ أختار في البداية جزءًا

من القشرة المشحونة مساحته ( A)، ثم أفترضُ أنّ سطح غاوس الذي يُحيط بهذا الجزء على

شكل أسطوانة مثلً، كما في الشكل ( 3 ). مساحة كلّ من قاعدتَي الأسطوانة ( A)، أمّا سطحها

الجانبي فلا تخترقه خطوط المجال الكهربائي كونها موازية للسطح الجانبي، ولا ينشأ خلاله تدفّق.

وبذلك يكون التدفّق خلال قاعدتّي الأسطوانة فقط وبصورة عمودية عليهما. وبما أنّ المجال

 الكهربائي ينفذ من قاعدتّيالأسطوانة ( A1, A2 )؛ فإنّ التدفق الكلّي يُعطى بالعلاقة:

                               ɸ =ɸ₁+ɸ₂ = EA₁ + EA₂ = E(2A) 

 لأنّ مساحتَي وجهَي الأسطوانة متساويتان (A = A₁ = A₂)

 بما أنّ الشحنة الكلّية المحتواة داخل سطح غاوس هي (Q = σ A) والمجال الكهربائي ينفذ من جهتَي

القشرة، فإنّه بتطبيق قانون غاوس:

                                                               $$\begin{gathered} ɸ = \frac{Q}{{\epsilon }_0} \\ E\left(2A\right) = \frac{\sigma A}{ {\epsilon }_0} \\ E = \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0} \end{gathered}$$
تُعطي العلاقة السابقة المجال الكهربائي الناتج عن القشرة المشحونة.

مثال محلول

قشرة رقيقة مشحونة بشحنة كهربائية سالبة موزّعة عليها بانتظام بكثافة

سطحية ( 8 × 10-7 C/m2 ). إذا كانت أبعاد القشرة كبيرة، فأجد المجال عند

نقطة قريبة جدًّا من منتصف القشرة.
الحلّ

                                                              $$\begin{gathered} E =\frac{ \sigma }{2{\epsilon }_0} = \frac{8 \times {10}^{-7}}{2 \times 8.85 \times {10}^{-12 }} \\ E = 4.52 \times {10}^{4 }N/C \end{gathered}$$

المجال الكهربائي المنتظم Uniform Electric Field

عندما يكون المجال الكهربائي ثابتًا في مقداره واتّجاهه عند نقاطه جميعها؛ فإنّه يُسمّى

 مجالًا كهربائيًّا منتظمًا ،Uniform electric field

 ويُمكنني الحصول عليه بوضع صفيحتين موصلتين متوازيتين ومتقابلتين، وتفصل بينهما

مسافة قصيرة مقارنة بأبعادهما، وشحنهما بشحنتين مختلفتين في نوعيهما متساويتين

في مقداريهما. وعند وضع جسم مشحون بين هاتين الصفيحتين؛ فإنّ المجال المنتظم يؤثّر

 فيه بقوة ثابتة المقدار والاتّجاه مهما كان موقع الجسم داخل المجال. عند تمثيل المجال الكهربائي

المنتظم عن طريق رسم خطوط المجال الكهربائي؛ فإنّها تكون متوازية والمسافات بينها متساوية

وجميعها باتّجاه واحد، كما يُبيّن الشكل ( 4 )، باستثناء المجال قرب حوافّ الصفيحتين؛  فإنّ الخطوط

تكون منحنية قليلًا والمجال غير منتظم. لحساب مقدار المجال الكهربائي المنتظم؛ أُطبّق قانون غاوس 

على كلا الصفيحتين كأنّها قشرة رقيقة مشحونة، فيكون المجال E الناتج عن  القشرة الموجبة E₁ ،

والمجال الناتج عن القشرة السالبة ₂ E ويكون المجال المحصّل في المنطقة الواقعة بين الصفيحتين

مساويًا لناتج جمع المجالين، لأنّهما بالاتّجاه نفسه: 

$$\begin{gathered} E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0} + \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0} \\ E =\frac{ \sigma }{ {\epsilon }_0} \end{gathered}$$

مثال محلول

صفيحتان فلزّيتان مشحونتان بشحنتين كهربائيتين إحداهما موجبة والأُخرى سالبة،

موزّعة عليهما بانتظام بكثافة سطحية $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{54}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{/}{\mathit{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{)}$، إذا كانت أبعاد الصفيحتين

كبيرة؛ فأجد المجال عند نقطة بين الصفيحتين.
الحلّ

                                                                 $E =\frac{ \sigma }{{\epsilon }_0} =\frac{ 3.54 \times {10}^{-7} }{8.85 \times {10}^{-12}} = 4 \times {10}^4 N/C$

حركة جسيم مشحون في مجال كهربائي منتظم 

 Motion of a charged particle in a Uniform Electric Field 

أفترض وجود أيون موجب يحمل شحنة (Q+) في مجال كهربائي منتظم، تتّجه خطوطه رأسيًّا

نحو الأعلى كما في الشكل ( 5 ). إنّ هذا الأيون سيتأثّر بقوّة كهربائية (F) يكون اتّجاهها باتّجاه

المجال (نحو الأعلى)، ويُعطى مقدار هذه القوّة بالعلاقة الرياضية الآتية:

                                                      $F =QE$
يُمكنني وصف حركة الجسيمات المشحونة داخل مجال كهربائي منتظم ضمن (3) حالات:

الحالة الأولى: عندما يكون الجُسيم ساكنًا؛ فإنّه يتحرّك باتّجاه المجال إن كان موجب الشحنة،

وعكس اتّجاه المجال إن كان سالب الشحنة، تحت تأثير القوّة الكهربائية للمجال. وبمعرفة

كلّ من القوّة الكهربائية وكتلة الجُسيم المشحون يُمكنني حساب تسارعه، الذي يكون تسارعًا

ثابتًا يُعطى
بالقانون الثاني لنيوتن، كما يأتي:

                                                  $a = \frac{F}{m}$

     أتذكر: معادلات الحركة الخطية في بعد واحد:

                             $$\begin{gathered} v_{2 }= v_1 + at \\ d = v_{1}t +\frac{1}{2}a{t}^2 \\ {v_{2 }}^2 ={v_1}^2 + 2a d \end{gathered}$$  

     الشكل: اتجاه القوة الكهربائية المؤثرة

                   على شحنة  موجبة

 الشكل: اتجاه القوة الكهربائية المؤثرة

                   على شحنة  موجبة

مثال محلول

جُسيم كتلته $( 200 mg )$ يحمل شحنة مقدارها $(-4 \times {10}^{-6} C)$، وُضِع في حالة سكون

 داخل مجال كهربائي منتظم، كما في الشكل (6). بإهمال الجاذبية الأرضية بالنسبة

إلى القوة الكهربائية، أحسبُ التسارع الذي يكتسبه الجُسيم.

الحلّ

                              $$\begin{gathered} F = EQ = 5.4 \times {10}^3 \times 4 \times {10}^{-6} \\ F = 2.16 \times {10}^{-2} N \\ a = \frac{F}{m} =\frac{ 2.16 \times {10}^{-2} }{2 \times {10}^{-4 }}= 108 m/s^2 \end{gathered}$$

بما أنّ شحنة الجسيم سالبة؛ فإنّ اتّجاه القوّة والتسارع يكون معاكسًا لاتّجاه المجال الكهربائي؛

أي إنّ اتّجاه التسارع باتّجاه محور ( x-). وبما أنّ الجُسيم يتحرّك بتسارع ثابت؛ فإنّه يُمكنني وصف

 حركته باستعمال معادلات الحركة في بُعد واحد.

تمرين

في المثال السابق، إذا بدأ الجُسيم حركته من السكون، فأحسبُ المسافة التي يقطعها خلال

زمن ( 0.02 ms )من حركته تحت تأثير المجال.

الحالة الثانية: عندما يكون الجُسيم متحرّكًا بسرعة ابتدائية باتّجاه موازٍ لاتّجاه خطوط المجال؛

فإنّ حركته تكون في بُعد واحد. فهو يتسارع في حالتين: إن كان موجب الشحنة وسرعته الابتدائية

مع المجال، وإن كان سالب الشحنة وسرعته الابتدائية عكس المجال. ويتباطأ في حالتين: إن

كان موجب الشحنة وسرعته الابتدائية عكس المجال، وإن كان سالب الشحنة وسرعته الابتدائية

 مع المجال.

مثال محلول

جُسيم كتلته ( 40mg ) يحمل شحنة سالبة ($-5 \times {10}^{-5} C$)، دخل مجالًا

كهربائيًّا منتظمًا بسرعة ابتدائية ( 600m/s)، باتّجاه محور ( x+)، إذا كان

مقدار المجال الكهربائي ($3.2 \times {10}^3 N/C$)، واتّجاهه مع محور ( x+)، وبإهمال

تأثير الجاذبية الأرضية؛ فأحسبُ الزمن اللازم لتوقّف الجُسيم عن الحركة

الحلّ
                                   $$\begin{gathered} F = EQ = 3.2 \times {10}^3 \times 5 \times {10}^{-5} \\ F = 1.6 \times {10}^{-1} N \\ a = \frac{F}{m} = \frac{1.6 \times {10}^{-1}}{ 4 \times {10}^{-5} }= 4 \times {10}^3 m/s^2 \end{gathered}$$
بما أنّ الجُسيم سالب الشحنة؛ فإنّ اتّجاه القوّة المؤثّرة فيه يكون بعكس

 اتّجاه المجال، وكذلك يكون اتّجاه التسارع؛ أي باتّجاه ( x-)، وهنا أستعملُ معادلات الحركة، كما يأتي:

                                                               $$\begin{gathered} v_2 = v_1 + at \\ 0 = 600 - (4\times {10}^3)t \\ t =\frac{ 600}{4 \times {10}^3} = 0.15 s \end{gathered}$$

الحالة الثالثة: عندما يكون الجُسيم متحرّكًا بسرعة ابتدائية باتّجاه عمودي على اتّجاه خطوط المجال؛

فإنّ حركته تصبح في بُعدين، مشابهة لحركة المقذوفات الأُفقية في مجال الجاذبية الأرضية.

بمعرفة القوّة الكهربائية وكتلة الجُسيم المشحون يُمكنني حساب تسارعه، ثمّ استعمال معادلات

 الحركة لوصف حركة الجُسيم. كما ألاحظ في  المشهد  المتحرك المجاور.

مثال محلول

عبر إلكترون منطقة مجال كهربائي رأسي منتظم اتّجاهه نحو الأسفل، ومقداره ($300 N/C$)،

بسرعة ابتدائية أُفقيةمقدارها ($3\times {10}^6 m/s$) باتّجاه محور ( x+)؛ فانحرف الإلكترون نحو الأعلى،

 كما في الشكل ( 7 ). إذا كانت الإزاحة الأُفقية للإلكترون داخل منطقة المجال (x = 4 cm)،

 وبإهمال تأثير الجاذبية الأرضية؛ فما الإزاحة  الرأسية التي حدثت للإلكترون؟

     كتلة الإلكترون .($9.11\times {10}^{-31} kg$)

الحلّ

$$\begin{gathered} F = EQ = 300 \times 1.6 \times {10}^{-19} \\ F = 3.16 \times {10}^{-17} N \\ {a}_y = \frac{F}{m} =\frac{ 3.16 \times {10}^{-17 }}{9.11 \times {10}^{-31}} = 5.268 \times {10}^{13} m/s^2 \end{gathered}$$

وبسبب عدم وجود تأثير لأيّ قوّة في الاتّجاه الأُفقي؛ فإنّ: $a_x = 0$

أستخرجُ زمن الحركة من المركّبة الأُفقية للسرعة والإزاحة، إذ إنّ المركّبة الأُفقية للسرعة ثابتة:
$$\begin{gathered} t =\frac{ x}{v_{1x}} \\ t =\frac{ 4 \times {10}^{-2} }{3 \times {10}^6 }= 1.33 \times {10}^{-8 }s \\ y = {v_1}_{y}t + \frac{1}{2} a_y{t}^2 \\ y = 0 + \frac{1}{2} \times 5.268 \times {10}^{13} \times {(1.33 \times {10}^{-8})}^2 = 4.659 \times {10}^{-3} m \end{gathered}$$