المتتاليات

مفاهيم أساسية :

 المتتاليةُ:مجموعةٌ منَ الأعدادِ تَتْبَعُ ترتيبًا مُعيّنًا، ويُسمّى كلُّ عددٍ فيها حدًّا 

يمكنُني أنْ أكملَ حدودَ المتتاليةِ إذا علمْتُ القاعدةَ التي تربطُ كلَّ حدٍّ في المتتاليةِ بالحدِّ الذي يليهِ.

مثال 1: إذا كانَ الحدُّ الأوّلُ في متتاليةٍ هوَ 4.7 ، والقاعدةُ التي تربطُ كلَّ حدٍّ بالحَدِّ الذي يليهِ هيَ طرحُ 0.4 ، فأجدُ الحدَّ الخامسَ.

أبدأُ بالحدِّ الأوّلِ، وأطرحُ 0.4 كلَّ مرَّةٍ حتّى أصلَ إلى الحدِّ الخامسِ. إذنْ، الحدُّ الخامسُ هوَ 3.1 

 

يمكنُني أيضًا أنْ أجدَ أيَّ حدٍّ في المُتتاليةِ إذا علمْتُ العلاقةَ التي تربطُ بينَ أيِّ حدٍّ في المتتاليةِ ورتبَتِهِ. وتُسمّى هذهِ العلاقةُ قاعدةَ الحدِّ العامِّ 

يمكنُني بهذهِ الطريقةِ أنْ أجدَ الحدَّ المطلوبَ منْ دونِ الحاجةِ إلى إيجادِ جميعِ الحدودِ التي تسبقُهُ. أليسَ هذا أفضلَ؟ 

مثال 2 :إذا كانَتْ قاعدةُ الحدِّ العامِّ لمتتاليةٍ هيَ: أضربُ رتبةَ الحدِّ في 3 ثمَّ أجمعُ 2، فأجدُ كلًّ مِنَ الحدودِ: السادسِ والسابعِ والثامنِ.

رتبةُ الحدِّ السادسِ هيَ 6، ولإيجادِ هذا الحدِّ فإنَّني أطبِّقُ قاعدةَ الحدِّ العامِّ على رتبتِهِ:

أضربُ الرتبةَ في 3، ثمَّ أجمعُ 2 معَ الناتجِ.

	الحد				الرتبة
6×3+2= 2الحدُّ السادسُ :0	20	$\stackrel{\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{\to }}$	18	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	6
7×3+2 = الحدُّ السابعُ :23	23	$\stackrel{\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{\to }}$	21	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	7
8×3+2 = الحدُّ الثامنُ: 26	26	$\stackrel{\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{\to }}$	24	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	8

 

يمكنُني أنْ أجِدَ قاعدةَ الحدِّ العامِّ للمتتاليةِ بملاحظةِ القاعدةِ التي تربطُ كلَّ حدٍّ في المتتاليةِ بالحدِّ الذي يليهِ، وبملاحظةِ العلاقةِ بينَ رتبةِ كلِّ حدٍّ وقيمتِهِ.

مثال 3: في ما يأتي نَمَطٌ هندسِيُّ يشكِّلُ عددُ الدوائرِ فيهِ متتاليةً:

1) أجدُ القاعدةَ التي تربطُ كلَّ حدٍّ في المتتاليةِ بالحدِّ الذي يليهِ: 

بالانتقالِ منَ الحدِّ إلى الحدِّ الذي يليهِ، أجدُ أنَّ 4 دوائرَ قدْ أُضيفَتْ. إذنْ، كلُّ . حدٍّ أكبرُ منَ الحدِّ الذي يسبِقُهُ بِ4

2) أكتبُ قاعدةَ الحدِّ العامِّ. 

الحد				رتبة الحد
1	$\stackrel{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	4	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{\to }}$	1
5	$\stackrel{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	8	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{\to }}$	2
9	$\stackrel{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	12	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{\to }}$	3
13	$\stackrel{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	16	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{\to }}$	4

تزدادُ الحدودُ في المتتاليةِ بمقدارِ 4، وهذا يذكِّرُني بجدولِ ضربِ العددِ 4؛ إذْ إنَّ الفرقَ بينَ كلِّ ناتجَيْنِ يساوي 4، لكنَّ حدودَ المتتاليةِ أقلُّ بمقدارِ 3 منَ النواتجِ في جدولِ ضربِ العددِ 4. إذنْ،

قاعدةُ الحدِّ العامِّ هيَ: أضربُ . رتبةَ الحدِّ في 4، ثمَّ أطرحُ

3) ما عددُ الدوائرِ في الحدِّ الذي رتبتُهُ 15 

لإيجادِ عددِ الدوائرِ، فإنَّني أطبِّقُ قاعدةَ الحدِّ العامِّ على الحدِّ الذي رتبتُهُ 15 ؛ أضربُ الرتبَةَ في 4، ثمَّ أطرحُ 3 منَ الناتجِ.

الحد				الرتبة
57	$\stackrel{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{\to }}$	60	$\stackrel{\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{\to }}$	15

 

يمكنُني استعمالُ مقدارٍ جبريٍّ لكتابةِ الحدِّ العامِّ للمتتاليةِ.

مثال 4: الحدُّ العامُّ لمتتالية (أضربُ رتبةَ الحدِّ في$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$  ثمَّ أجمع $\frac{\mathbf{27}}{\mathbf{4}}$) أكتبُ الحدَّ العامَّ باستخدامِ مقدارٍ جبريٍّ، ثمَّ أستخدمُهُ  لأجدَ الحدودَ الثلاثةَ الأولى.

يمكنُني أنْ أكتبَ الحدَّ العامَّ المُعطى على صورةِ ( أي حد يساوي $\frac{1}{4}$ مضروبًا في رتبةِ الحدِّ مُضافًا إليْهِ $\frac{27}{4}$ )؛ لأرمزَ إلى رتبةِ أيِّ حدٍّ في المتتاليةِ بالمتغيّرِ n ولأرمزَ إلى الحدِّ نفسِهِ بالرمزِ ،T_n

أكتبُ هذهِ العبارةَ بالرموزِ كما يأتي:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{4}\mathrm{n}+\frac{27}{4}$ 

أستخدمُ الحدَّ العامَّ؛ لأجدَ الحدودَ الثلاثةَ الأولى: 

${\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{4}\mathrm{n}+\frac{27}{4}$                                    قاعدة الحد العام 

${\mathrm{T}}_{\mathbf{1}}=\frac{1}{4}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}+\frac{27}{4}$                                 أعوض رتبة الحد الأول (n=1)

$$\begin{gathered} {\mathrm{T}}_{\mathbf{1}}=\frac{1}{4}+\frac{27}{4} \\ =\frac{28}{4} \\ =7 \end{gathered}$$                                  أبسط 

${\mathrm{T}}_{\mathbf{2}}=\frac{1}{4}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}+\frac{27}{4}$                                 أعوض رتبة الحد الثاني (n=2)

$$\begin{gathered} {\mathrm{T}}_{\mathbf{2}}=\frac{1}{2}+\frac{27}{4} \\ =\frac{2}{4}+\frac{27}{4} \\ =\frac{29}{4} \\ =7\frac{1}{4} \end{gathered}$$                                  أبسط 

${\mathrm{T}}_{\mathbf{3}}=\frac{1}{4}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}+\frac{27}{4}$                                أعوض رتبة الحد الثالث (n=3)

$$\begin{gathered} {\mathrm{T}}_{\mathbf{2}}=\frac{3}{4}+\frac{27}{4} \\ =\frac{30}{4} \\ =\frac{15}{2} \\ =7\frac{1}{2} \end{gathered}$$                                أبسط 

إذنْ، الحدودُ الثلاثةُ الأولى في المتتاليةِ هيَ: $7,7\frac{1}{4},7\frac{1}{2}$