القيم العظمى والصغرى لكثيرات الحدود

القيم العظمى والصغرى لكثيرات الحدود

تزايد كثيرات الحدود وتناقصها:

بيانياً:

1) يكون الاقتران f(x) متزايداً إذا كان منحنى الاقتران يرتفع من اليسار إلى اليمين (تزداد قيمة y كلما زادت x)

2) يكون الاقتران f(x) متناقصاً إذا كان منحنى الاقتران ينخفض من اليسار إلى اليمين (تقل قيمة y كلما زادت x)

والشكل الآتي يوضح ذلك (التزايد باللون الأزرق والتناقص بالأحمر)

 

يكون الاقتران f متناقصا في الفترة I، إذا كان لكل $x_1<x_2$ في الفترة $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ يكون الاقتران f متزايدا في الفترة I، إذا كان لكل $x_1<x_2$ في الفترة $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

ملاحظة: يمكننا استعمال المشتقة في دراسة تزايد وتناقص الاقتران f(x) 

1) المماسات ذات الميل الموجب مرتبطة بالجزء المتزايد من منحنى الاقتران.

2) المماسات ذات الميل السالب مرتبطة بالجزء المتناقص من منحنى الاقتران.

وهذا يعني أننا يمكننا الاستفادة من إشارة المشتقة في تحديد فترات التزايد والتناقص.

 

إذا كان $f\text{'}\left(x\right)>0$ قيم x جميعها في الفترة I؛ فإن f يكون متزايدا على الفترة I. إذا كان $f\text{'}\left(x\right)<0$ لقيم x جميعها في الفترة I؛ فإن f يكون متناقصا على الفترة I.

مثال: أحدد فترات التزايد والتناقص لكل اقتران مما يأتي:

 $1) f(x) = x^2-x-6$

1) أجد مشتقة الاقتران ثم أجد أصفار المشتقة.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x-1 \\ 2x-1=0 \\ x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

2) أبحث في إشارة المشتقة بحيث اختار قيمة أقل من صفر المشتقة (0) وأخرى أكبر منه (1) وأحدد إشارة المشتقة عند كل منهما.

x>0.5	x<0.5	الفترة
x=1	x=0	قيم الاختبار (x)
f'(1)>0	f'(0)<0	إشارة f'(x)
متزايد	متناقص	سلوك الاقتران

إذن: f(x) متناقص في الفترة $\left(-\infty ,0.5\right)$ ومتزايد في الفترة $\left(0.5,\infty \right)$.

$2) f(x)= -3x^3 -9x +9$

1) أجد مشتقة الاقتران ثم أجد أصفار المشتقة.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-9x^2-9 \\ -9x^2-9=0 \\ x=1 , x=-1 \end{gathered}$$

2) أبحث في إشارة المشتقة بحيث اختار قيمة أقل من صفر المشتقة (0) وأخرى أكبر منه (1) وأحدد إشارة المشتقة عند كل منهما.

اختار قيمة أصغر من صفر المشتقة 1- (2-) وقيمة تقع بين أصفار المشتقة (0) وقيمة أكبر من صفر المشتقة 1 (2).

x>1	$-1<x<1$	x<-1	الفترة
x=2	x=0	x=-2	قيم الاختبار x
f'(2)<0	f'(0)>0	f'(-2)<0	إشارة f'(x)
متناقص	متزايد	متناقص	سلوك الاقتران

إذن: f(x) متناقص في الفترة $\left(-\infty ,-1\right)$ والفترة $\left(1,\infty \right)$ ومتزايد في الفترة $\left(-1,1\right)$.

النقاط الحرجة لكثيرات الحدود وأنواعها

النقطة الحرجة هي النقطة التي يمكن رسم مماس أفقي لكثير الحدود f(x) عندها (أي أن مشتقة الاقتران عندها تساوي صفرا) ويسمى الإحداثي x للنقطة الحرجة بالقيمة الحرجة.

ملاحظة: يمكننا استعمال المشتقة لتصنيف النقاط الحرجة لكثيرات الحدود وتقسم إلى ثلاثة أشكال

1) نقطة عظمى محلية: هي نقطة حرجة يكون منحنى الاقتران عن يسارها متزايدا وعن يمينها متناقصا (إشارة المشتقة تتغير من الموجب إلى السالب من اليمين إلى اليسار) 

2) نقطة صغرى محلية: هي نقطة حرجة يكون منحنى الاقتران عن يسارها متناقصا وعن يمينها متزايدا(إشارة المشتقة تتغير من السالب إلى الموجب من اليمين إلى اليسار) 

3) نقطة انعطاف أفقي: النقطة الحرجة التي يكون منحنى الاقتران حولها إما متزايدا وإما متناقصا (إشارة المشتقة إما موجبة وإما سالبة).

 

مثال:

إذا كان الاقتران $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x-1$ فاستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي:

1) النقاط الحرجة للاقتران f.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=x^2-5x+4 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ (x-4)(x-1)=0 \\ x=4 , x=1 \\ (4 , f(4\left)\right) , (1, f(1\left)\right) \\ \left(4 , \frac{-107}{3}\right) , \left(1 , \frac{-43}{6}\right) \end{gathered}$$

2) أصنف النقاط الحرجة إلى عظمى محلية أو صغرى محلية أو انعطاف أفقي.

x>4	$1<x<4$	x<1	الفترة
x=5	x=2	x=0	قيم الاختبار x
f'(4)>0	f'(2)<0	f'(0)>0	إشارة f'(x)
متزايد	متناقص	متزايد	سلوك الاقتران

إذن: النقطة $\left(1,-\frac{43}{6}\right)$ عظمى محلية، والنقطة $\left(4,\frac{-107}{3}\right)$ صغرى محلية

تصنيف النقاط الحرجة باستعمال اختبار المشتقة الثانية:

المشتقة الثانية هي الاقتران الذي نحصل عليه من اشتقاق الاقتران مرتين ويسمى باقتران المشتقة الثانية ويرمز له بالرمز f''(x)

يمكننا تحديد النقاط الحرجة في ما إذا كانت عظمة أو صغرى محلية باستعمال المشتقة الثانية بما يسمى اختبار المشتقة الثانية.

1) تكون النقطة الحرجة صغرى محلية إذا كانت المشتقة الثانية عند القيمة الحرجة موجبة (تعويض القيمة الحرجة في المشتقة الثانية يكون موجبا).

2) تكون النقطة الحرجة عظمى محلية إذا كانت المشتقة الثانية عند القيمة الحرجة سالبة (تعويض القيمة الحرجة في المشتقة الثانية يكون سالبا).

مثال:

إذا كان الاقتران $y=x^3-12x+2$ فأجد كل مما يأتي:

1) النقاط الحرجة للاقتران.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=3x^2-12 \\ 3x^2-12=0 \\ x=1 , x=-1 \\ \left(1,-9\right) , \left(-1,13\right) \end{gathered}$$

2) أصنف النقاط الحرجة إلى صغرى محلية أو عظمى محلية باستعمال المشتقة الثانية.

1) نجد المشتقة الثانية

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6x$

2) نعوض القيم الحرجة في المشتقة الثالثة

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=1} =6>0$

إذن: النقطة $\left(1,-9\right)$ قيمة صغرى محلية.

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=-1}=-6<0$

إذن: النقطة $\left(-1,13\right)$ قيمة عظمى محلية

تمثيل كثيرات الحدود بيانيا:

إيجاد النقاط الحرجة للاقتران وتحديد نوعها يعطي تصورا لشكل منحنى الاقتران لذلك يمكن أن نستعمل النقاط الحرجة في تمثيل كثيرات الحدود بيانيا.

مثال:

أمثل الاقتران $f\left(x\right)=x^4-2x^3$ بيانيا.

1) أجد النقاط الحرجة للاقتران.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4x^3-6x^2 \\ 4x^3-6x^2=0 \\ 2x^2\left(2x-3\right)=0 \\ 2x^2=0 or \left(2x-3\right)=0 \\ x=0 x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

عندما $x=\frac{3}{2}$ فإن $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{-27}{16}$.

عندما x=0 فإن f(0)=0

إذن: النقاط الحرجة هي: $\left(\frac{3}{2},\frac{-27}{16}\right) , \left(0,0\right)$.

2) أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2-12x$

3) أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية، لتصنيف النقاط الحرجة.

القيمة الحرجة الأولى: إذا كانت $x=\frac{3}{2}$ فإن:

$f\text{'}\text{'}\left(\frac{3}{2}\right)=9>0$

إذن: $\left(\frac{3}{2},\frac{-27}{16}\right)$ نقطة صغرى محلية.

القيمة الحرجة الثانية: إذا كانت x=0 فإن:

$f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

بما أن f''(0)=0، فإنه لا يمكنني تحديد نوع النقطة الحرجة باستعمال المشتقة الثانية؛ لذا، ألجأ إلى دراسة إشارة المشتقة الأولى حول النقطة لتحديد نوعها.

إذن: (0,0) نقطة انعطاف أفقي.

3) أحدد النقاط الحرجة في المستوى الإحداثي، وأصل بينها مراعيا في ذلك طبيعة كل نقطة وسلوك الاقتران حولها، كما يمكن اختيار نقاط أخرى لتمثيل الاقتران إضافة إلى النقاط الحرجة؛ للحصول على تمثيل بياني أكثر دقة للاقتران.

مثال:

يمثل الاقتران $f\left(t\right)=t^3-3t^2+10$، ارتفاع أفعوانية بالأمتار؛ حيث t الزمن بالثواني. أمثل بيانيا مسار الأفعوانية في الثواني الأربع الأولى من حركتها.

بما أن منحنى f(t) يمثل مسار الأفعوانية؛ إذن: أمثل منحنى الاقتران f(t) بيانيا في الفترة $0\le t\le 4$

1) أجد النقاط الحرجة للاقتران في الفترة $0<t<4$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)=3t^2-6t \\ 3t^2-6t=0 \\ 3t\left(t-2\right)=0 \\ 3t=0 or \left(t-2\right)=0 \\ t=0 t=2 \end{gathered}$$

عندما t=0 فإن f(0)=10

عندما t=2 فإن f(2)=6

إذن: النقاط الحرجة هي: $\left(0,10\right) ،\left(2,6\right)$، ولكن تستثنى النقطة (0,10) لأنها طرف فترة.

2) أجد المشتقة الثانية للاقتران.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6t-6$

3) أعوض القيم الحرجة في المشتقة الثانية، لتصنيف النقط الحرجة.

القيمة الحرجة: إذا كانت x=2 فإن: $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=6>0$

إذن: (2,6) نقطة صغرى محلية.

4) أجد إحداثيات نقطتي طرفي الفترة:

$$\begin{gathered} f\left(0\right)={\left(0\right)}^3-3{\left(0\right)}^2+10=10 \\ f\left(4\right)=4^3-3{\left(4\right)}^2+10=26 \end{gathered}$$

إذن: نقطتا طرفي الفترة $\left(4,26\right) ، \left(0,10\right)$.

5) أحدد نقطتي طرفي الفترة والنقطة الحرجة في المستوى الإحداثي، وأصل بينها مراعيا في ذلك طبيعة النقطة الحرجة وسلوك الاقتران حولها.