العملياتُ على المقاديرِ الجذريةِ

العملياتُ على المقاديرِ الجذريةِ

Operations with Radical Expressions

فكرةُ الدرسِ : • تبسيطُ المقاديرِ الجذريةِ.

                       • إجراءُ العملياتِ على المقاديرِ الجذريةِ.

 

أولًا : تبسيطُ المقاديرِ الجذريةِ باستعمالِ خاصيةِ الضربِ

يُطلَقُ على المقاديرِ العدديةِ أوِ المقاديرِ الجبريةِ التي تحوي جذورًا اسمُ المقاديرِ الجذريةِ ، التي يكونُ كلٌّ منْها في أبسطِ صورةٍ إذا توافرَتْ فيهِ الشروطُ الآتيةُ :
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ مجذورٍ عواملَ (ما عدا العددَ 1) يُمكِنُ كتابتُها في صورةِ قوى دليلِ الجذرِ.
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ مجذورٍ كسورًا.
· ألّا يتضمَّنَ أيُّ كسرٍ مقامًا يحوي جذورًا.

مفهومٌ أساسيٌّ (خاصيةُ ضربِ الجذورِ)

لأيِّ عددينِ حقيقيينِ a و b، ولأيِّ عددٍ صحيحٍ n ، حيثُ : n > 1 : 1) إذا كانَ n عددًا زوجيًّا ، وكانَ $a\ge 0 , b\ge 0$ ، فإنَّ : $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ 2) إذا كانَ n عددًا فرديًّا ، فإنَّ : $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ مثالانِ : $\sqrt{4\times 5} = \sqrt{4 }\times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} , \sqrt[3]{27\times 4} = \sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{4} = 3 \sqrt[3]{4}$

 

•• إذا أُريدَ تبسيطُ جذرٍ زوجيٍّ لمقدارٍ جبريٍّ أُسُّهُ زوجيٌّ ، وكانَ أُسُّ المقدارِ الجبريِّ الناتجُ منَ التبسيطِ فرديًّا، فإنَّهُ يتعيَّنُ أخذُ القيمةِ

المُطلَقةِ للناتجِ، وبذلكَ لا يكونُ الجوابُ عددًا سالبًا؛ لأنَّ الجذورَ الزوجيةَ لا تكونُ سالبةً ، مثلَ:

 

$\sqrt{x^2} = \left|x\right| , \sqrt{x^4} = x^2 , \sqrt[4]{x^{12}} = | x^3| , \sqrt[6]{{(x-5)}^6} = |x-5|$

 

••أتعلَّمُ : · إذا كانَ n عددًا فرديًّا ، فإنَّ :  $\sqrt[n]{a^n}= a$ . إذا كانَ n عددًا زوجيًّا، فإنَّ : $\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|$

 

مثال 1 : 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورة :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{50 x^6 y^3} , x>0 , y > 0 \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[4]{625{(x+2)}^{20}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[5]{w^{15}{u}^6}$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{50 x^6 y^3} , x>0 , y>0$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$\sqrt{50 x^6 y^3} =\sqrt{5^2\times 2 \times x^4\times x^2\times y^2\times y}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$=\sqrt{5^2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{x^4}\times \sqrt{x^2} \times \sqrt{y^2}\times \sqrt{y}$
بالتبسيطِ	$= 5\times \sqrt{2}\times x^2 \times \left|x\right| \times \left|y\right| \times \sqrt{y}$
$x>0 , y>0$	$= 5 x^2 \times x \times y \times \sqrt{2y}$
بالتبسيطِ	$= 5x^{3}y\sqrt{2y}$

 

•• أتعلَّمُ :
إنَّ تحليلَ ما يُمكِنُ تحليلُهُ في المقدارِ الجبريِّ إلى عواملَ مُربَّعةٍ يُسهِّلُ عمليةَ تبسيطِ المقدارِ الجذريِّ التربيعيِّ.

•• أتعلَّمُ : وردَ في الفرع 1  أنَّ $x>0 , y>0$   ؛ لذا لا توجدُ ضرورةٌ لكتابةِ رمزِ القيمةِ المُطلَقةِ.

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[4]{625{(x+2)}^{20}}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 4	$\mathbf{ }\sqrt[4]{625{(x+2)}^{20}}\mathbf{ }=\sqrt[4]{5^4 \times ({{(x+2)}^5)}^4}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[4]{5^4} \times \sqrt[4]{({(x+2)}^5{)}^4}$
بالتبسيطِ	$= 5 \left|{(x+2)}^5\right|$

 

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[5]{w^{15}{u}^6}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 5	$\sqrt[5]{w^{15}{u}^6} = \sqrt[5]{{\left(w^3\right)}^5 \times u^5\times u}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[5]{{\left(w^3\right)}^5} \times \sqrt[5]{u^5} \times \sqrt[5]{u}$
بالتبسيطِ	$= w^{3}u \sqrt[5]{u}$
•• أتعلَّمُ : لا أستعملُ القيمةَ المُطلَقةَ في هذهِ المسألةِ ؛ لأنَّ دليلَ الجذرِ فرديٌّ.

 

 

---

 

 

 

ثانيًا : تبسيطُ المقاديرِ الجذريةِ باستعمالِ خاصيةِ القسمةِ
 

مفهومٌ أساسيٌّ (خاصيةُ قسمةِ الجذورِ التربيعيةِ)

لأيِّ عددينِ حقيقيينِ a و b، حيثُ: b ≠ 0 ، ولأيِّ عددٍ صحيحٍ n، حيثُ: n > 1 ، فإنَّ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$  إذا كانَتْ جميعُ الجذورِ مُعرَّفةً. مثالانِ :  $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} , \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

 

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المقدارَ الجذريَّ يكونُ في أبسطِ صورةٍ إذا لمْ يحتوِ أيُّ مقامٍ فيهِ على جذورٍ. والآنَ سأتعلَّمُ كيفَ يُمكِنُ التخلُّصُ

منَ الجذرِ الذي في المقامِ عنْ طريقِ عمليةٍ تُسمّى إنطاقَ المقامِ  ، وتتضمَّنُ ضربَ البسطِ والمقامِ في مقدارٍ جذريٍّ، بحيثُ لا

يحوي ناتجُ الضربِ جذورًا في المقامِ كما في الجدولِ الآتي :

مثالٌ	ضربُ البسطِ والمقامِ في	المقامُ
$\frac{7}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$	$\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$
$\frac{7}{\sqrt[3]{5}}\times \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{7\sqrt[3]{5^2}}{5}$	$\sqrt[n]{a^{n-x}}$	$\sqrt[n]{a^x}$

 

 

مثال 2 : 

أكتبُ كُلًّا ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{\frac{3x}{y^5}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{\frac{3y}{8m}}$

 

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3\times 2^2}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{\sqrt{5}}{ 2\sqrt{3}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{15}}{2\times 3}$
بالتبسيطِ	$= \frac{\sqrt{15}}{6}$

 

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{\frac{3x}{y^5}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt{\frac{3x}{y^5}} = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{y^5}}$
بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$= \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2\times y}}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}\times \sqrt{y}}$
بالتبسيطِ	$= \frac{\sqrt{3x}}{ y^2\times \sqrt{y}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{\sqrt{3x}}{ y^2\times \sqrt{y}} \times \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{y} \times \sqrt{y} = y$	$= \frac{\sqrt{3xy}}{ y^3 }$

 

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{\frac{3y}{8m}}$

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt[3]{\frac{3y}{8m}} = \frac{\sqrt[3]{3y}}{\sqrt[3]{8m}}$
بإنطاقِ المقامِ	$= \frac{\sqrt[3]{3y}}{\sqrt[3]{8m}} \times \frac{\sqrt[3]{{\left(8m\right)}^2}}{\sqrt[3]{{\left(8m\right)}^2}}$
بالتبسيط	$= \frac{\sqrt[3]{3y}}{\sqrt[3]{8m}} \times \frac{\sqrt[3]{8^2{m}^2}}{\sqrt[3]{8^2{m}^2 }}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \frac{\sqrt[3]{3y \times 8^2{m}^2}}{\sqrt[3]{8m\times 8^2{m}^2}}$
بالتبسيط	$= \frac{\sqrt[3]{192y{m}^2}}{\sqrt[3]{8^3{m}^3 }}$
$\sqrt[3]{8^3{m}^3} = 8m$	$= \frac{ \sqrt[3]{192y{m}^2}}{8m}$

 

 

---

 

 

ثالثًا : العملياتُ على المقاديرِ الجذريةِ

يُطلَقُ على الجذورِ التي لها الدليلُ نفسُهُ والمجذورُ نفسُهُ اسمُ الجذورِ المُتشابِهةِ، ويُمكِنُ جمعُ المقاديرِ الجذريةِ وطرحُها بطريقةٍ

مُشابِهةٍ لطريقةِ جمعِ المقاديرِ الجبريةِ وطرحِها.

مثال 3 : 

أُبسِّطُ كلَّ مقدارٍ جذريٍّ ممّا يأتي، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :   

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt[3]{128}\mathbf{ }+ \sqrt[3]{2} \mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[4]{48y} - \sqrt[4]{243y}$

 

الحل : 

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 3	$\mathbf{ }\sqrt[3]{128}\mathbf{ }+ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4^3\times 2} + \sqrt[3]{2}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[3]{4^3} \times \sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{2}$
بالتبسيطِ	$= 4 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}$
بجمعِ الجذورِ المُتشابِهةِ	$= 5 \sqrt[3]{2}$

 

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \sqrt[4]{48y} - \sqrt[4]{243y}$

بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مرفوعةٍ إلى الأُسِّ 4	$\sqrt[4]{48y} - \sqrt[4]{243y} = \sqrt[4]{2^4\times 3y} - \sqrt[4]{3^4\times 3y}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[4]{2^4}\times \sqrt[4]{3y} - \sqrt[4]{3^4}\times \sqrt[4]{3y}$
بالتبسيطِ	$= 2 \sqrt[4]{3y} - 3 \sqrt[4]{3y}$
بجمعِ الجذورِ المُتشابِهةِ	$= - \sqrt[4]{3y}$

 

---

 

•• يُمكِنُ ضربُ المقاديرِ الجذريةِ وقسمتُها بطريقةٍ مُشابِهةٍ لطريقةِ ضربِ المقاديرِ الجبريةِ وقسمتِها.

مثال 4 : 

أُبسِّطُ كُلًّ منَ المقاديرِ الجذريةِ الآتيةِ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ حقيقيةٌ موجبةٌ :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt[4]{48} \times \sqrt[4]{27} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{250} ÷ \sqrt{2} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{)} (2\sqrt{3} -5)(3\sqrt{3} +\sqrt{2}) \mathbf{4}\mathbf{)} 5\sqrt[4]{8y^2{m}^4} \times 3\sqrt[4]{2y^3{m}^{ }}$

 

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt[4]{48} \times \sqrt[4]{27}$

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$\sqrt[4]{48} \times \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{48 \times 27}$
بالتحليلِ إلى العواملِ الأوَّليةِ	$= \sqrt[4]{2^4\times 3 \times 3^3}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ الأس 4	$= \sqrt[4]{2^4\times 3^4}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{3^4}$
بالتبسيطِ	$= 2 \times 3 = 6$

 

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\sqrt{250} ÷ \sqrt{2}$

 

خاصيةُ قسمةِ الجذورِ	$\sqrt{250} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{250}{2}}$
بالتبسيطِ	$=\sqrt{125}$
بتحليلِ ما يُمكِنُ تحليلُهُ إلى عواملَ مُربَّعةٍ	$= \sqrt{5^2\times 5}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= \sqrt{5^2} \times \sqrt{5}$
بالتبسيطِ	$= 5\sqrt{5}$

 

---

 

$\mathbf{3}\mathbf{)} (2\sqrt{3} -5\left)\right(3\sqrt{3} +\sqrt{2})$

باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ	$(2\sqrt{3} -5)(3\sqrt{3} +\sqrt{2}) = (2\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}) +(2\sqrt{3} \times \sqrt{2}) -(5\times 3\sqrt{3}) -(5\times \sqrt{2})$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= 6 \times 3 + 2\sqrt{3\times 2} - 15\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$
بالتبسيطِ	$= 18 + 2\sqrt{6} - 15\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$

 

---

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} 5\sqrt[4]{8y^2{m}^4} \times 3\sqrt[4]{2y^3{m}^{ }}$

 

خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$5\sqrt[4]{8y^2{m}^4} \times 3\sqrt[4]{2y^3{m}^{ }} = 5\times 3 \times \sqrt[4]{8y^2{m}^4 \times 2y^{3}m}$
بتحليلِ الثوابتِ	$= 15 \times \sqrt[4]{2^3 y^2 m^4 \times 2 y^{3}m}$
بتجميعِ العواملِ في صورةِ الأس 4	$= 15 \times \sqrt[4]{2^4 \times y^4 \times y \times m^4 \times m}$
خاصيةُ ضربِ الجذورِ	$= 15 \times \sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{y^4} \times \sqrt[4]{y} \times \sqrt[4]{m^4} \times \sqrt[4]{m}$
بالتبسيطِ	$= 15 \times 2 \times y \times \sqrt[4]{y} \times m \times \sqrt[4]{m}$
بالتبسيطِ	$= 30 ym\sqrt[4]{ym}$

 

 

---

 

•• يُسمّى كلٌّ منْ $a\sqrt{b}-c\sqrt{d} و a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$  مُرافِقًا للآخرِ ؛ لأنَّ ناتجَ ضربِهِما لا يحوي جذورًا. فمثلًا ، كلٌّ منْ $3-\sqrt{2} و 3+\sqrt{2}$

هوَ مُرافِقٌ للآخر ؛ لأنَّ : 

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2}) = {\left(3\right)}^2 -{\left(\sqrt{2}\right)}^2$
${\left(3\right)}^2 = 9 , {\left(\sqrt{2}\right)}^2 = 2$	$= 9 - 2$
$\mathrm{بالتبسيط}$	$= 7$

 

•• يُستعمَلُ المُرافِقُ لإنطاقِ بعضِ المقاماتِ في المقاديرِ الجذريةِ، وذلكَ بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ، ثمَّ تبسيطِ

الناتجِ.

مثال 5 : 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ، علمًا بأنَّ جميعَ المُتغيِّراتِ أعدادٌ حقيقيةٌ موجبةٌ : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{4}{5+\sqrt{8} } \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{x}{9 - \sqrt{x}}$

الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{4}{\sqrt{x} + 5}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{4}{5 + \sqrt{8}} = \frac{4}{ 5 + \sqrt{8}}\times \frac{ 5 - \sqrt{8}}{ 5 - \sqrt{8} }$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$= \frac{4( 5 - \sqrt{8} )}{{\left(5\right)}^2 - {\left(\sqrt{8}\right)}^2}$
${\left(5\right)}^2 = 25 , {\left(\sqrt{8}\right)}^2 = 8$	$= \frac{4(5- \sqrt{8})}{25 - 8}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$= \frac{20 - 4\sqrt{8}}{17}$

 

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{x}{9 - \sqrt{x}}$

بضربِ البسطِ والمقامِ في مُرافِقِ المقامِ	$\frac{x}{9 - \sqrt{x}} = \frac{x}{9 - \sqrt{x}} \times \frac{ (9 + \sqrt{x})}{ (9 + \sqrt{x})}$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$	$= \frac{x(9 + \sqrt{x})}{{\left(9\right)}^2 - {\left(\sqrt{x}\right)}^2 }$
$\left(9\right) = 81 , {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$	$= \frac{x(9 + \sqrt{x})}{81 - x}$
باستعمالِ خاصيةِ التوزيعِ، والتبسيطِ	$= \frac{9x + x\sqrt{x}}{81 - x}$