العلاقاتُ التناسُبيةُ

فكرةُ الدرسِ
أتعرفُ علاقةَ التناسبِ،وأمثلُها في المستوى الإحداثيِّ.

المصطلحاتُ
علاقةُ التناسُبِ :هِيَ علاقةٌ بينَ كمّيتَينِ لجميعِ نسبِهِما معدَّلُ الوحدةِ نفسُهُ. ويُمكنُ تحديدُ ذلكَ باستخدامِ جدولٍ يمثّلُ تلكَ العلاقةَ.

 

مثال 1: منَ الحياةِ: سجلَتْ سلوى الدقائقَ الّتي تحتاجُها لقراءةِ عددٍ مِنَ الصفحاتِ في الجدولِ المجاورِ، هلْ توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ بينَ عددِ الصفحاتِ والزمنِ بالدقائقِ؟ 

عدد الدقائق	2	6	18
عدد الصفوف	5	15	45

 

 

لتحديدِ وجودِ علاقةِ تناسُبٍ بينَ عددِ الصفحاتِ والزمنِ بالدقائقِ، أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ في الجدولِ:

$\frac{\mathrm{الصفحات} \mathrm{عدد} }{\mathrm{الدقائق} \mathrm{عدد} }\Rightarrow \frac{5}{2} =2.5 , \frac{15}{6}=2.5 ,\frac{45}{18}=2.5$ 

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ بينَ عددِ الصفحاتِ والزمنِ بالدقائقِ.

 

*** ويُمكنُنا أيضًا تحديدُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ كمّيتَينِ تمثلُ علاقةَ تناسُبٍ بإنشاءِ جدولٍ لتنظيمِ قيمِ العلاقةِ، وإيجادِ معدَّلِ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ في الجدولِ.

 

مثال 2 : من الحياة-رياضة : اشتركَ باسلٌ في سباقٍ للدرّاجاتِ الهوائيةِ، فكانَ يقطعُ   $\mathit{m}\mathit{k}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{12}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$h  أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ المسافةِ الّتي يقطعُها باسلٌ وعددِ الساعاتِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ أَمْ لا. 

كلُّ مدةٍ زمنيةٍ تزيدُ عَنِ الّتي قبلَها بمقدارِ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{h}$ وكذلكَ تزيدُ كلُّ مسافةٍ مقطوعةٍ عَنِ الّتي قبلَها بمقدارِ $\mathbf{12}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{Km}$

الْخُطْوَةُ 1 أُنشئُ جدولً يربطُ بينَ المسافةِ المقطوعةِ وعددِ الساعات:

عدد الساعات (h)	$\frac{1}{2}$	$1$	$1\frac{1}{2}$	$2$
المسافة المقطوعة (Km)	$12\frac{1}{2}$	$25$	$37\frac{1}{2}$	$50$

الْخُطْوَةُ 2 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍِ:

$\frac{\mathbf{المقطوعة}\mathbf{ }\mathbf{المسافة}}{\mathbf{الساعات}\mathbf{ }\mathbf{عدد}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{12{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\mathbf{ }=25 , \frac{25}{2}=25 ,\frac{37{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1{\displaystyle \frac{1}{2}}}=25,\frac{50}{2}=25$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، العلاقةُ بينَ المسافةِ المقطوعةِ والزمنِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ.

 

مثال 3: منَ الحياةِ- منتجعٌ: إذا كانَ سعرُ تذكِرةِ الدخولِ لأحدِ المُنتجَعاتِ السياحيةِ العائليةِ 7JD للفردِ إضافةً إلى 3JD بدلَ خدماتٍ للعائلةِ، أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ المبلغِ وعددِ أفرادِ العائلةِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ.

الْخُطْوَةُ 1 أُنشئُ جدولً يربطُ بينَ عددِ أفرادِ العائلةِ والمبلغِ:

عدد الأفراد	1	2	3	4
المبلغ (JD)	10	17	24	31

 

 

الْخُطْوَةُ 2 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ:

$\frac{\mathrm{المبلغ}}{\mathrm{الأفراد} \mathrm{عدد}}\Rightarrow \frac{10}{{\displaystyle 1}} =10, \frac{17}{2}=8.5 ,\frac{24}{3}=8,\frac{31}{4}=7.25$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غيرُ متساويةٍ، إذنْ، العلاقةُ بينَ المبلغِ وعددِ أفرادِ العائلةِ لا تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ.

 

***يُمكنُنا أيضًا تحديدُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ كمّيتَينِ علاقةَ تناسُبٍ بتمثيلِها في المستوى الإحداثيِّ، فتكونُ العلاقةُ علاقةَ تناسُبٍ إذا كانَ تمثيلُها البيانيُّ مستقيمًا يمرُّ في نقطةِ الأصلِ.

 

مثال 4: منَ الحياةِ -ماءٌ: يَصُبُّ صُنبورٌ في خزّانِ ماءٍ بمعدَّلِ 6L كلَّ دقيقةٍ. هلْ تمثّلُ العلاقةُ بينَ عددِ الدقائقِ وكمّيةِ الماءِ المُضافةِ إلى الخزّانِ علاقةَ تناسُبٍ؟

الْخُطْوَةُ 1 أُنشئُ جدولً يربطُ بينَ كمّيةِ الماءِ والزمنِ:

الزمن (min)	1	2	3	4	5
كمية الماء(L)	6	12	18	24	30

 

 

الْخُطْوَةُ 2 أكتبُ النِّسبَ في الجدولِ على شكلِ أزواجٍ مرتَّبةٍ:

الأزواجُ المرتبةُ: (1,6) , ( 2,12) , ( 3,18) , ( 4,24) ,(5,30)

الْخُطْوَةُ 3 أمثّلُ الأزواجَ المرتَّبةَ في المستوى الإحداثيِّ، وأَصِلُ بينَها بِمستقيمٍ.

بما أنَّ التمثيلَ البيانيَّ مستقيمٌ يمرُّ في نقطةِالأصلِ، إذنْ، العلاقةُ بينَ كمّيةِ الماءِ والزمن تمثّلُ تناسُبًا.