الطاقة الميكانيكية

الشغل والطاقة Work and Energy
تعرّفتُ في الدرس السابق أنّه عندما تؤثّر قوّة خارجية في جسم، وتحرّكه

إزاحة معيّنة؛ فإنّها تبذل شغلً عليه.وأتساءل: ماذا يحدث لهذا الشغل

 المبذول على الجسم؟ يؤدي هذا الشغل إلى تغيير طاقة الجسم، أنظرُ 

 إلى الشكل المجاور  وتُعرف الطاقة Energy بأنّها مقدرة الجسم على بذل

شغل، وهي كمّية قياسية تُقاس بوحدةالجول ( joule (J حسب النظام الدولي

 للوحدات. فالرياح لها طاقة حركيةتُمكّنها من بذل شغل على شفرات المراوح

 عندما تصطدم بها،  وبناء على ما سبق، يُمكنني تعريف الشغل بأنّه إحدى طرائق

 نقل الطاقة بين الأجسام. للطاقة أشكال متعدّدة تنحصر في نوعين رئيسين، هما:

• الطاقة الحركية.
• الطاقة الكامنة (الوضع).

الشكل  (أ) يبذل محرّك السيّارة شغلً

  عليها يُغيّر طاقتها الحركية عندما تتسارع 

   على طريق أُفقي.

الطاقة الحركية Kinetic Energy
يمكن توليد الطاقة الكهربائية بالاستفادة من حركة الرياح؛ حيث تبذل الرياح شغلًا

 على المراوح (التوربينات) فتحرّكها؛ أي إنّ للرياح طاقة. أُلاحظ أن الأجسام المتحرّكة

قد تُحدث تغييرًا في الأجسام التي تصطدم بها، أنظرُ إلى الشكل  .

تُسمّى الطاقة المرتبطة بحركة جسم الطاقة الحركية Kinetic energy ورمزها ( KE )،

 وتعتمد على كلّ من:
     - كتلة الجسم ( m)

     - مقدار سرعته ( v)،

ويُعبّر عنها بالعلاقة الآتية:

                                         $KE =\frac{1}{2} m{v}^2$
تتناسب الطاقة الحركية لجسم طرديًّا مع كلّ من: كتلته ومربّع سرعته. 

فمثلً، الطاقة الحركية لسيّارةمتحرّكة بسرعة مقدارها ( v) أقل منها لشاحنة

متحرّكة بالسرعة نفسها؛ لأنّ كتلة الشاحنة أكبر. تُسمّى  الطاقة الحركية هذه

طاقة حركية خطّية، إذ إنّها ناتجة عن الحركة الخطّية للجسم. أمّا عند حركة الجسم

 حركة دورانية حول محور دوران؛ فإنّه يمتلك طاقة حركية دورانية. والشكل المجاور

 يوضح المراوح تتحرك حركة دورانية، 

الشكل ( 17 ): للمطرقة طاقة حركية
تُمكّنها من بذل شغل على المسمار
ودفعه في اللوح الخشبي.

مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية) Work - Kinetic Energy Theorem

عندما تؤثّر قوّة محصّلة في جسم وتُغيّر مقدار سرعته (تُغيّر طاقته الحركية)؛

 فإنّها تكون قد بذلت عليه شغلًا.يمكن إثبات ذلك عمليًّا، ولإثباته رياضيًّا أنظرُ

 إلى الشكل ( 18 )، الذي يوضّح عربة كتلتها ( m)،  تتحرّك بسرعة متجهة ابتدائية

 (v_i).أفترض أنّ قوّة محصّلة أفقية خارجية ( ΣF_ext ) قد أثّرت في العربة عندما

 كانت عند الموقع ( x_i ) بحيث قطعت إزاحة ( d = Δx ) تحت تأثير هذه القوّة،

 وأصبحت سرعتها   المتّجهة النهائية ( v_f )في نهاية الإزاحة عند الموقع (x_f).

 استنادًا إلى القانون الثاني لنيوتن، تتحرّك  العربة بتسارع (a) في اتّجاه القوّة 

  المحصّلة نفسه، حيث:

                            $\underset{ }{\sum F_{ext}=ma}$

 ويُعطى شغل القوّة المحصّلة الخارجية (الشغل الكلّي) خلال هذه الإزاحة بالعلاقة:

                               $W_{Total }= \Sigma F_{ext} . \Delta x = \Sigma F_{ext }\Delta x \cos 0˚ = ma\Delta x$

     وبإعادة ترتيب حدود معادلة الحركة بتسارع ثابت الآتية:

                                                                                       $v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$

             أتوصّل إلى معادلة حساب التسارع الآتية:

                                                                                                   $a=\frac{v_f^2- v_i^2}{ 2\Delta x}$

وبتعويض قيمة التسارع (a) من هذه المعادلة في معادلة حساب \

 الشغل السابقة؛ أحصل على ما يأتي:

                $$\begin{gathered} W_{Total} = \Sigma F_{ext} \Delta x = m ( \frac{v_f^2 - v_i^2}{2\Delta x} ) \Delta x \\ W_{Total} = \Sigma F_{ext} \Delta x = \frac{1}{ 2} m v_f^2 -\frac{1}{ 2} m v_i^2 = K{E}_f - K{E}_i \end{gathered}$$   

  يُمثّل الطرف الأيسر من المعادلة الشغل الذي بذلته القوّة المحصّلة

   على العربة، أما الطرف الأيمن منها  فيُمثّل التغيّر في الطاقة الحركية للعربة،

   أي إنّ: 

                                               $W_{Total} = ∆KE$

تُسمّى هذه العلاقة (مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية)

       Work – kinetic energy theorem ،

وتنص على أنّ:

 «الشغل الكلّي المبذول على جسم يساوي التغيّر في طاقته الحركية .» 

أستنتجُ من مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية) أنّ مقدار سرعة

  الجسم يزداد عندما يكون  الشغل الكلّي المبذول عليه موجبًا؛ حيث

 الطاقة الحركية النهائية أكبر من الطاقة الحركية  الابتدائية. وأنّ مقدار

سرعة الجسم يتناقص عندما يكون الشغل الكلّي المبذول عليه سالبًا؛

حيث الطاقة الحركية النهائية أقل من الطاقة الحركية الابتدائية.

الشكل ( 18 ): الشغل الكلّي المبذول

  على العربة يساوي التغيّر في طاقتها

   الحركية.

 مثال  محلول

تتحرّك سيّارة كتلتها ($8 \times {10}^2 kg$) نحو الشرق على طريق أُفقي بسرعة

 مقدارها (15m/s). ضغط  سائقها على دوّاسة الوقودكي يتجاوز سيّارة أخرى،

 بحيث أصبح مقدار سرعة السيارة ( 25m/s ) بعد قطعها إزاحة مقدارها ($2 \times {10}^2 m$)

 من لحظة ضغطه على الدواسة. أنظرُ إلى الشكل ( 19 )، أحسبُ مقدار ما يأتي:

          أ . الطاقة الحركية الابتدائية للسيّارة.

        ب. التغيّر في الطاقة الحركية للسيّارة خلال فترة الضغط على دوّاسة الوقود.

        ج. الشغل الكلّي المبذول على السيّارة خلال هذه الإزاحة.

        د . القوّة المحصّلة الخارجية المؤثّرة في السيّارة.

الحل

أ . أحسبُ الطاقة الحركية الابتدائية للسيّارة؛ باستعمال معادلة الطاقة الحركية،

 كما يأتي:

                             $K{E}_i = \frac{1}{2} m{v}_i^2 =\frac{1}{2}\times 8 \times {10}^2\times {\left(15\right)}^2 = 9\times {10}^4 J$

ب. أحسبُ التغيّر في الطاقة الحركية للسيّارة، كما يأتي:

            $$\begin{gathered} \Delta KE = K{E}_f - K{E}_i = \frac{1}{ 2} m v_f^2 -\frac{1}{ 2} m v_i^2 \\ \Delta KE = \frac{1}{ 2} m( v_f^2 - v_i^2 ) = \frac{1}{ 2}\times 8 \times {10}^2 \times [{\left(25\right)}^2 - {\left(15\right)}^2] \\ = 4 \times {10}^{2 }\times \left[400\right] \\ = 1.6 \times {10}^5 J \end{gathered}$$

ج. السيّارة تتحرّك على طريق أُفقي، وشُغل القوّة المحصّلة غيّر مقدار سرعتها؛

 لذا، فإنّ الشغل االكلي الذي بذلته القوّة المحصّلة الخارجية على السيارة يساوي

التغيّر في طاقتها الحركية، حسب مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية). 

                                               $W_{Total} =∆KE=1.6\times {10}^{5}J$           

د. أستعملُ مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية).
                                    $$\begin{gathered} W_{Total} = \Delta KE \\ = 1.6 \times 105 J \\ W_{Total} = \Sigma F_{ext} \Delta x = \Delta KE \\ \Sigma F_{ext} =\frac{ \Delta KE}{ \Delta x }=\frac{ (1.6 \times {10}^5)}{ (2 \times {10}^2 ) }= 8 \times {10}^2 N \end{gathered}$$

الشكل ( 19 ): قوّة محصّلة خارجية تؤثّر في

سيّارة تتحرّك نحو اليمين إزاحة مقدارها.

تمرين

أستعملُ المتغيّرات: سيّارة مخصّصة للسير على الرمال كتلتها ( 600 kg )، تتحرّك بسرعة

مقدارها ( 28 m/s) في مسار أُفقي، أنظرُ إلى الشكل ( 20 ).أثّرت فيها قوّة محصّلة خارجية

 لفترة زمنية مقدارها ( 5 s ) عملت على تباطؤها بمقدار (1.6 m/s²). أحسبُ مقدار:

 أ . الطاقة الحركية النهائية للسيّارة.

ب. التغيّر في الطاقة الحركية للسيارة خلال فترة تأثير القوّة المحصّلة الخارجية.

ج. شغل القوّة المحصّلة الخارجية المبذول على السيّارة، خلال فترة تأثير هذه القوّة.

الشكل ( 20 ):سيّارة مخصّصة للسير على الرمال.

الطاقة الكامنة (طاقة الوضع) Potential Energy
هي طاقة مختزنة في نظام مكوّن من جسمين أو أكثر تأخذ أشكالًا مختلفة؛ فقد تكون:

• طاقة وضع ناشئة عن الجاذبية: نتيجة موقع جسم بالنسبة إلى سطح الأرض.
• طاقة وضع كهربائية: نتيجة موقع جسم مشحون بالنسبة إلى جسم آخر مشحون.
• طاقة وضع مرونية: نتيجة تغيّر شكل الجسم؛ مثل الأجسام المرنة كالنابض.
• طاقة كيميائية: نتيجة تخزينها في الروابط الكيميائية داخل المادة نفسها. وغيرها...

وسنلقي الضوء هنا على طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية. ونُشير هنا إلى أنّه عند

 دراسة حركة نظام  مكوّنمن جسم والأرض؛ فإنّنا اختصارًا نذكر طاقة وضع الجسم بدلً

 من طاقة وضع نظام (الجسم - الأرض)

طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية Gravitational Potential Energy

يوضّح الشكل ( 21 ) نظامًا يتكوّن من الأرض وكتاب الفيزياء. عندما أُؤثّر بقوّة خارجية

( F_ext ) في الكتاب كتلته (m)،وأرفعه رأسيًّا إلى أعلى بسرعة ثابتة من الموقع الابتدائي ( y_i )

 إلى الموقع النهائي ( y_f )، بحيث يقطع إزاحة ( Δy )،فإنّني أبذل شغلً على الكتاب، يُعطى

 بالمعادلة الآتية:

                                                              ˚ $$\begin{gathered} W_F =F_{ext}∆y\cos \theta \\ =mg(y_f-y_i)=mg{y}_f -mg{y}_i \end{gathered}$$

 إذ مقدار القوّة الخارجية المؤثّرة في الكتاب يساوي مقدار وزنه؛ لأنّه رُفع بسرعة متّجهة ثابتة.

 ويُختزن شغل هذه القوّة على شكل طاقة وضع في نظام (الكتاب - الأرض). وفي حال سقوط

 الكتاب؛ تتحوّل هذه الطاقة  المختزنة إلى طاقة حركية، تُمكّنه من إنجاز شغل.

تُعرف طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية ،Gravitational potential energy بأنّها:

 الطاقة المختزنة في نظام (جسم - الأرض) نتيجة موقع الجسم في مجال الجاذبية،

 ورمزها PE ، يُعبّر عنها بالعلاقة:

                                                                     $PE=mgy$

أُلاحظ أنّه كي أحسبُ طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية لجسم عند موقع معيّن، يلزمني

 تحديد ارتفاعه الرأسي (y) عن مستوى الإسناد Reference level ، وهو مستوى مرجعي

 اختياري، أفترضُ أنّ طاقة  الوضع الناشئة عن الجاذبية لأيّ جسم عنده تساوي صفرًا،

  وأختاره بحيث يُسهّل حل المسألة، وعادة أختار سطح الأرض مستوى إسناد، أنظرُ إلى

الشكل(22). وبافتراض أنّ تسارع السقوط الحر ثابت تقريبًا قُرب سطح الأرض؛ فإنّ

طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية لجسم معيّن تعتمد فقط على ارتفاعه الرأسي

عن سطح الأرض (مستوى الإسناد). أمّا التغيّر في طاقة وضع هذا الجسم عند حركته

بين موقعين في  مجال الجاذبية؛ فيعتمد فقط على التغيّر في الارتفاع الرأسي بين

 الموقعين الابتدائي والنهائي (Δy) بناء  على ما سبق، يُمكنني إعادة كتابة معادلة شغل

 القوّة الخارجية  بدلالة التغيّر في طاقة الوضع عند حركة جسم بسرعة ثابتة كما يأتي:

                                                                     $W_F=∆PE=mg∆y$

   إذ يعمل شغل القوّة الخارجية على تغيير طاقة الوضع للجسم. 

الشغل الذي تبذله قوّة الجاذبية Work Done by The Force of Gravity

يُبيّن الشكل ( 23 )، طريقتين لرفع الثقل نفسه من الموقع الابتدائي ( y_i ) إلى

 الموقع النهائي ( y_f ).

الأولى: رفعه رأسيًّا إلى أعلى بسرعة متّجهة ثابتة، كما هو موضّح في الشكل (23 /أ).

الثانية: دفعه إلى أعلى مستوى مائل أملس بين الموقعين الرأسيين نفسيهما

   بسرعة متّجهة ثابتة، كما هو موضّح في الشكل ( 23 /ب). إنّ الشغل المبذول

   على الثقل يساوي التغيّر في طاقة وضعه الناشئة  عن الجاذبية، وبما إنّ التغيّر

  في طاقة الوضع في الحالتين هو نفسه؛ لذا، يلزمني بذل مقدار الشغل نفسه  

   على الثقل في الحالتين.

الشكل ( 21 ): قوّة خارجية تبذل

شغلًا على نظام (الكتاب - الأرض).

الشكل ( 22 ): مستوى الإسناد هو

  سطح الأرض،إذ طاقة الوضع لأيّ

جسم عنده تساوي صفرًا.

الشكل ( 23 ): طاقة الوضع المختزنة في

    الكرة في  الطريقتين متساوية.

أستنتجُ ممّا سبق،

 أنّ الشغل المبذول على جسم عند تحريكه بين موقعين في مجال الجاذبية،

يعتمد فقط على التغيّر في الارتفاع الرأسي بين الموقعين، ولا يعتمد على

 المسار الذي يسلكه الجسم بينهما.يُحسب الشغل  المبذول لنقل جسم

 بين موقعين مختلفين في الارتفاع في مجال الجاذبية من دون تغيير طاقته

 الحركية؛بمعرفة التغيّر في طاقة وضعه الناشئة عن الجاذبية؛ لأنّه أسهل

 بكثير من حسابه باستعمال معادلة  الشغل، وبخاصّة عند حركة الجسم في

مسارات متعرّجة. من أجل ذلك، أنظرُ إلى الشكل ( 24 ) الذي يُبيّن  رفع صندوق

  إلى أعلى بطريقتين:

الأولى عبر مسار متعرّج (الدرج).

الثانية عبر رفعه رأسيًّا إلى أعلى بحبل.

إنّ الشغل المبذول في الحالتين هو نفسه؛ لذا، أجد علاقة لحساب الشغل

  بدلالة التغيّر في طاقة وضع الصندوق كما يأتي:

 لرفع الصندوق رأسيًّا إلى أعلى بسرعة ثابتة بحبل، يلزمني التأثير فيه بقوّة

 شد (قوّة خارجية) إلى أعلى، تساوي وزنه في المقدار وتُعاكسه في الاتّجاه،

  إذ يُعطى مقدار شغل القوّة الخارجية عليه بالعلاقة :

                                                                        .$W_F=∆PE$

إنّ التغيّر في طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية في أثناء حركة الصندوق

 رأسيًّا   نحو الأعلى  يُعطى بالمعادلة:

                     $∆PE=P{E}_f - P{E}_i mg( y_f -y_i ) =mg∆y$

عمومًا، عند حركة جسم رأسيًّا إلى أعلى تكون إزاحته موجبة (Δy > 0)؛ لذا،

 يكون التغيّر في طاقة وضعه موجبًاأيضًا؛(ΔPE > 0) أمّا شغل قوّة الجاذبية

عليه خلال الإزاحة نفسها فيكون سالبًا؛ (Wg = - mgΔy)؛ لأنّ اتّجاه إزاحة 

  الجسم (إلى أعلى) يكون معاكسًا لاتّجاه تأثير قوّة   الجاذبية فيه (إلى أسفل).

 وإذا تحرك الجسم رأسيًّا إلى أسفل  فستكون (Δy < 0)؛ لذا،  يكون (ΔPE < 0)،

أمّا شغل قوّة الجاذبية عليه خلال الإزاحة نفسها فيكون موجبًا؛

                                                     $W_g = mg∆y$

لأنّ قوّة الجاذبية والإزاحة في الاتّجاه نفسه. أي إنّ شغل قوّة الجاذبية يساوي

 دائمًا سالب التغيّر في طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية: 

                                                                  $W_g = -∆PE$

الشكلُ ( 24 ): التغير في طاقة وضع

  الصندوق  بين الموقعين ( y_i ) و (y_f)

 لا يعتمد على المسارالذي يسلكه الجسم

 بينهما.

 مثال محلول

في الشكل ( 24 )، إذا كانت كتلة الصندوق ( 10kg )، ورفعتُه رأسيًّا إلى أعلى

 بسرعة ثابتة من سطح الأرض إلى ارتفاع (9m ) عنه، فأحسبُ مقدار ما يأتي

 علمًا بأنّ تسارع السقوط الحر ( 10m/s²):

أ . طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية للصندوق عند أقصى ارتفاع عن سطح الأرض.

ب. الشغل الذي بذلته قوّة الشد لرفع الصندوق إلى أقصى ارتفاع.

ج. التغيّر في طاقة وضع الصندوق عند رفعه من سطح الارض إلى أقصى ارتفاع.

د . الشغل الذي بذلته قوّة الجاذبية في أثناء رفع الصندوق إلى أعلى.

الحل
أختار سطح الأرض مستوى إسناد لطاقة الوضع.

 أ . أحسبُ طاقة الوضع النهائية للصندوق؛ باستعمال معادلة طاقة الوضع

  الناشئة عن الجاذبية،   كما يأتي:

                                                              $$\begin{gathered} P{E}_f = mg y_f \\ = 9\times 10 \times 10 \\ =9 \times {10}^2 J \end{gathered}$$
ب. الصندوق يتحرّك إلى أعلى بسرعة ثابتة، فتكون القوّة المحصّلة المؤثّرة فيه في

 الاتّجاه الرأسي صفرًا.

 أُطبّق القانون الثاني لنيوتن في الاتّجاه الرأسي لحساب مقدار قوّة الشد كما يأتي:

                                       $$\begin{gathered} \Sigma F_y = may = 0 \\ {F}_T - F_g = 0 \\ F_T = F_g = mg = 10 \times 10 = {10}^2 N \end{gathered}$$

 ثم أحسبُ الشغل الذي بذلته قوّة الشد على الصندوق، كما يأتي:

                                                 $$\begin{gathered} W_F = F_T \times \Delta y \times \cos \theta \\ =9 \times {10}^2 \times \cos 0˚ \\ = 9 \times {10}^2 J = \Delta PE \end{gathered}$$

 ج. شغل القوّة الخارجية (قوّة الشد) على الصندوق يساوي التغيّر في

 طاقة وضعه الناشئة عن الجاذبية، إذ إنّ طاقته الحركية لم تتغيّر في أثناء

  رفعه.

                                               $W_F = \Delta PE = 9 \times {10}^2 J$
د . رفعتُ الصندوق بسرعة ثابتة، وحسب مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية)؛

 فإنّ الشغل    الكلي المبذول على الصندوق يساوي التغيّر في طاقته الحركية،

   وهو هنا يساوي صفرًا:

                                  $$\begin{gathered} W_{Total} = \Delta KE = 0 \\ W_F + W_g = 0 \\ {W}_g = - W_F = - \Delta PE = -9 \times {10}^2 J \end{gathered}$$

تمرين

أستنتجُ: إصّيص أزهار كتلته (800g )، سقط من السكون من ارتفاع (250cm)

 عن سطح الأرض.  أحسبُ مقدار ما يأتي:

        علمًا بأنّ تسارع السقوط الحر ( 10m/s² ):

 أ . طاقة وضعه الناشئة عن الجاذبية عند أقصى ارتفاع عن سطح الأرض.

ب. التغيّر في طاقة وضعه الناشئة عن الجاذبية عند سقوطه.

 ج. شغل قوّة الجاذبية المبذول على الإصّيص.

الطاقة الميكانيكية Mechanical Energy

عرفتُ أنّ جسمًا يُمكن أن يكون له طاقة حركية ( KE ) أو طاقة وضع ( PE )

 أو كلاهما. يُسمّى مجموع الطاقة الحركية وطاقة الوضع: الطاقة الميكانيكية

                                                                  ( Mechanical energy (ME ،

ويُعبّر عنها بالمعادلة الآتية:

                               $ME = KE + PE$

   في  الشكل المقابل  المتحرك، ألاحظ أثناء هبوط السيارة للأسفل تزداد 

  الطاقة الحركية ( KE )  باللون  الأحمر  وتقل  طاقة  الوضع ( PE ) باللون الأزرق، 

 ومجموع طاقة الوضع وضع و الطاقة الحركية يساوي   الطاقة الميكانيكية  ( ME )

باللون الأخضر وهي  كما ألاحظ ذات  مقدار ثابت.

  
حفظ الطاقة الميكانيكية Conservation of Mechanical Energy

عندما تتحرّك كرة قريبًا من سطح الأرض، يكون مجموع الطاقة الحركية وطاقة

الوضع الناشئة عن

الجاذبية لنظام (الكرة - الأرض) محفوظًا عند إهمال مقاومة الهواء، ويساوي

 مقدارًا ثابتًا، حيث:

                        $ME = KE + PE =\mathit{ }constant$

 وبتغيّر ارتفاع الكرة عن سطح الأرض، تتحوّل طاقة الوضع إلى طاقة حركية عند

 حركتها إلى أسفل  (نحو الأرض)،أو تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع عند

 حركتها إلى أعلى، بينما تبقى الطاقة   الميكانيكية ثابتة ما دامت الكرة تتحرّك تحت

 تأثير قوّة الجاذبية فقط. ومن الأمثلة الأُخرى على

 حفظ الطاقة الميكانيكية،  حركة جُسيم مشحون في مجال كهربائي.

القوى المحافظة والقوى غير المحافظة

  Conservative and Nonconservative Forces

تُصنّف القوى إلى قوى محافظة وقوى غير محافظة. وللقوّة المحافظة خصيصتان،

 هما:

1. شغلها المبذول على جسم لتحريكه بين أيّ موقعين، لا يعتمد على المسار الذي

  يسلكه  الجسم بينهما.

2. شغلها المبذول على جسم لتحريكه عبر مسار مغلق يساوي صفرًا.

    عندما تعيق قوّة محافظة حركة جسم تزداد طاقة وضعه، أما عندما تُحرّك

    القوّة المحافظة  الجسم فتقلّ طاقة وضعه. وتُعدّ قوّة الجاذبية والقوّة

   المرونية والقوّة الكهربائية أمثلة على القوى المحافظة.وتُعدّ أيّ قوّة لم

  تُحقّق خصيصتَي القوى المحافظة السابقتين قوّة غير محافظة، إذ يعتمد

  شغلها على المسار.وعندما تؤثّر قوى غير محافظة في نظام وتبذل شغلً

  عليه؛ فإنّها تعمل على تغيير طاقته الميكانيكية.ويوضّح الشكل ( 25 ) اعتماد

 شغل القوّة غير المحافظة على المسار؛ فالشغل الذي تبذله قوّة الاحتكاك

  الحركي في أثناء حركة الكتاب بين الموقعين (A) و ( B) على سطح الطاولة

  الأُفقي الخشن، يكون أكبر عبر المسار المنحني؛ لأنّه أطول من المسار المستقيم؛

  لذا، لا تُعدّ قوّة الاحتكاك قوّة محافظة. وخلافًا للقوى  المحافظة فإنّ شغل قوّة

 الاحتكاك لا يُختزن، بل يتحوّل جزء كبير منه إلى طاقة حرارية. وتُعدّ قوّة الاحتكاك

 الحركي وقوّة الشدّ، أمثلة على القوى غير المحافظة.

للتوصّل إلى علاقة رياضية لحفظ الطاقة الميكانيكية؛ أدرس حركة جسم تحت تأثير

 قوّة محافظة فقط. يوضّح الشكل ( 26 ) نظامًا يتكوّن من كرة والأرض، إذ تسقط

الكرة سقوطًا حرًّا تحت تأثير قوّة الجاذبية  فقط عند إهمال مقاومة الهواء،

 وسأدرس شغل قوّة الجاذبية على الكرة. أُمسك الكرة على ارتفاع ( y_i ) بالنسبة

 إلى سطح الأرض، فتكون الطاقة الميكانيكية للكرة عند أقصى ارتفاع فقط طاقة

 وضع ناشئة عن الجاذبية، حيث الطاقة الحركية الابتدائية لها صفر؛ لأنّها ساكنة.

 بعد إفلات الكرة تسقط إلى أسفل، فتزداد طاقتها الحركية، بينما تقلّ طاقة وضعها،

 وعند وصول الكرة إلى الموقع النهائي (y_f ) تكون قوّة

 الجاذبية قدبذلت عليها شغلًا يُعطى بالعلاقة:

            $W_g =-∆PE ......................................1$
إنّ قوّة الجاذبية قوّة محافظة، وهي تساوي القوّة المحصّلة المؤثّرة في الكرة في

 أثناء سقوطها، وبتطبيق مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية) على الكرة، أتوصّل إلى

 أنّ الشغل الكلّي المبذول على الكرة في أثناء سقوطها  يساوي التغيّر في

  طاقتها الحركية:

                                                         $W_{Total}= W_g =∆KE .................................2$   

      وبمساواة  المعادلتين ( 1 ) و (2 )   السابقتين، أحصل عل

                                                                       $∆KE = -∆PE \Rightarrow ∆KE +∆PE =0$
               
     وبما أن الطاقة الميكانيكية  تعطى بالعلاقة :

                                                                                             $ME = KE + PE$ 

       لذا، فإنّ:                                            $$\begin{gathered} ∆ME = 0 \Rightarrow M{E}_f - M{E}_{i }=0 \\ \Rightarrow \mathit{M}{\mathit{E}}_{\mathbf{i}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{M}{\mathit{E}}_{\mathbf{f}} \end{gathered}$$    

                           
تصف العلاقة السابقة حفظ الطاقة الميكانيكية 

 Conservation of mechanical energy

  في ظل وجود قوى  محافظة فقط تبذل شغلًا، إذ تبقى الطاقة الميكانيكية للنظام ثابتة.

الشكل ( 25 ): يعتمد شغل القوّة غير

  المحافظة على المسار.

    الشكل ( 26 ):إسقاط كرة

   منالموقع (y_i) بالنسبة إلى

   سطح الأرض.

 مثال محلول

قذف لاعب كرة كتلتها ( 300g) رأسيًّا إلى أعلى عن سطح الأرض بسرعة

 مقدارها ( 20m/s )، أنظر إلى الشكل ( 27 ). أفترضُ أنّه لا يوجد قوى احتكاك،

وتسارع السقوط الحر ( 10m/s² )، فأحسبُ مقدار ما يأتي للكرة عند وصولها

إلى أقصى ارتفاع:

أ . طاقتها الميكانيكية.

ب. التغيّر في طاقة وضعها الناشئة عن الجاذبية.

ج. أقصى ارتفاع تصله عن سطح الأرض.

د . التغيّر في طاقتها الحركية.

هـ. الشغل الذي بذلته قوّة الجاذبية عليها.

الحل

أختار سطح الأرض مستوى إسناد لطاقة الوضع.بإهمال مقاومة  الهواء تؤثّر

 قوّة الجاذبية فقط في الكرة؛  لذا، فإنّ الطاقة الميكانيكية محفوظة، أنظرُ إلى

 الشكل ( 27 ).

أ . الطاقة الميكانيكية محفوظة؛ لا يوجد قوى غير محافظة تبذل شغلً. والطاقة

 الميكانيكية للكرة لحظة قذفها طاقة حركية فقط، حيث طاقة وضعها صفر؛

  لأنّها تقع على مستوى الإسناد لطاقة الوضع. أمّا طاقتها الميكانيكية عند أقصى

  ارتفاع ( y_f ) فهي طاقة وضع فقط، حيث مقدار سرعتها صفر عند هذا الموقع.

   أستعملُ معادلة حفظ الطاقة الميكانيكية كما يأتي:

                                      $$\begin{gathered} MEf = MEi = KEi + PEi \\ = \frac{1}{ 2} m{v }_i^2 + 0 \\ = \frac{1}{2} \times 0.3 \times {\left(20\right)}^2 = 60 J \end{gathered}$$

   ب. طاقتها الميكانيكية عند أقصى ارتفاع طاقة وضع ( حيث: $K{E}_f=0$ ) فقط: 

                                          $M{E}_f =K{E}_f + P{E}_f = 0 + 60 =60J$

        أحسبُ التغيّر في طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية للكرة عند وصولها إلى

        أقصى ارتفاع، كما يأتي:

                                                          $$\begin{gathered} \Delta PE = P{E}_f - PEi \\ = 60 - 0 = 60 J \end{gathered}$$

      ج. أحسبُ أقصى ارتفاع تصله الكرة ( h)؛ باستعمال التغيّر في طاقة وضعها

         كما يأتي:

                                                   $$\begin{gathered} \Delta PE = P{E}_f - PEi \\ 60 = mg\Delta y = mg (y_f - y_i) \\ 60 = 0.3 \times 10 \times (y_f - 0) \\ {y}_f = 20 m = h \end{gathered}$$

د. لا يوجد قوّة غير محافظة تبذل شغلً على الكرة؛ لذا، فإنّ التغيّر في طاقتها

   الحركية، يساوي سالب  التغيّر  في طاقة وضعها الناشئة عن الجاذبية:

                              $∆KE +∆PE =0 \Rightarrow ∆KE = -∆PE =-60J$

      إذ تتناقص طاقتها الحركية  ( تناقص السرعة ) في أثناء ارتفاعها.

هـ. الشغل الذي تبذله قوّة الجاذبية على الكرة في أثناء ارتفاعها إلى أعلى، يساوي

   سالب التغيّر في طاقة  وضعها الناشئة عن الجاذبية، ويساوي التغيّر في طاقتها الحركية:

                                              $W_g = ∆KE = -∆PE = -60J$

الشكل ( 27 ):قذف كرة رأسيًّا إلى أعلى.

تمرين

أحسبُ: في المثال السابق، إذا قُذِفت الكرة نفسها بسرعة ( 15 m/s ) رأسيًّا إلى

  أعلى عن سطح الأرض؛  فأحسبُ مقدار ما يأتي علمًا بأنّ تسارع السقوط الحر

  ( 10 m/s² )، وبإهمال قوى الاحتكاك:

أ . الطاقة الحركية الابتدائية للكرة.

ب. طاقة الوضع التي اكتسبتها الكرة، عند وصولها إلى أقصى ارتفاع عن سطح الأرض.

ج. سرعة الكرة لحظة عودتها إلى المستوى نفسه الذي قُذِفت منه.

شغل القوى غير المحافظة

 Work Done by Nonconservative Forces (W_nc)

لتحريك كتاب على سطح أُفقي خشن، يلزمني التأثير فيه بقوّة بشكل مستمر

 للمحافظة على حركته؛إذ تعمل قوّة الاحتكاك الحركي بين سطح الكتاب وسطح

الطاولة، على تحويل جزء كبير من الطاقة الحركية للكتاب إلى طاقة حرارية ترفع

درجة حرارة السطحين المتلامسين؛ لذا، يلزمني بذل شغل على الكتاب؛ لتعويض

الطاقة المبذولة في التغلب على قوّة الاحتكاك.عند تأثير قوّة غير محافظة في جسم

 وبذلها شغلً عليه؛ فإنّ طاقته الميكانيكية تصبح غير محفوظة، ويُعبّر عن شغل

 القوى غير المحافظة بالعلاقة الآتية:

                                                         $W_{nc}=∆ME$
حيث ( W_nc ) الشغل التي تبذله القوى غير المحافظة. فمثلً، يُعبّر عن شغل قوّة

الاحتكاك ( W_f )  بالعلاقة الآتية:

                                               $W_f=∆ME = -f_{k}d$

  حيث ( d) طول المسار الذي تحّركه الجسم تحت تأثير قوّة الاحتكاك الحركي. 

 مثال محلول

ذهبت حلا وصديقتها سُرى إلى مدينة الألعاب، حيث ركبتا لعبة الأُفعوانية

 ( Roller - coaster ).وعندما كانتعربة الأُفعوانية تتحرّك بسرعة مقدارها ( 2m/s )

  عند الموقع ( A)، هبطت فجأة عبر مسار منحدر خشن طوله ( 50m )، بحيث كان

  التغيّر في الارتفاع الرأسي عبر هذا المسارالمنحدر ( 45m )، ومقدار سرعة العربة

  (24m/s ) عند نهاية المسار الموقع (B) أنظرُ إلى الشكل ( 29 ). إذا علمتُ أنّ كتلة

 عربة الأُفعوانية مع ركّابها 3x10²kg )، وتسارع السقوط الحر (10m/s²)؛ فأحسبُ

   مقدار ما يأتي عند حركة عربة الأُفعوانية من الموقع ( A) إلى (B):

 أ. التغيّر في طاقة وضعها الناشئة عن الجاذبية.

ب. التغيّر في طاقتها الحركية.

ج. التغيّر في طاقتها الميكانيكية.

د . الشغل الذي بذلته قوّة الاحتكاك الحركي على العربة، في أثناء حركتها على

      هذا المسار.

 هـ. قوّة الاحتكاك الحركي المؤثّرة في العربة، في أثناء حركتها على هذا المسار.

الشكلُ ( 29): حركة عربة الأُفعوانية

  عبر مسار منحدر خشن.

الحل

أختار أدنى مستوى لحركة الأُفعوانية -وهو الموقع ( B)- مستوى إسناد لطاقة

 الوضع. تؤثّر في الأُفعوانية قوّة غير محافظة (قوّة الاحتكاك الحركي) تبذل

  شغلً عليها؛ لذا، الطاقة الميكانيكية غير محفوظة.

  أ . أحسبُ التغيّر في طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية لعربة الأُفعوانية، بافتراض

    موقعها عند ( A) الموقع  الابتدائي( y_i )، وموقعها عند ( B) الموقع النهائي ( y_f )،

    كما يأتي:

              $$\begin{gathered} \Delta PE = P{E}_f - P{E}_i = mg (y_f - y_i) \\ = 3 \times {10}^2 \times 10 \times (0 - 45) = -1.35 \times {10}^5 J \end{gathered}$$

          تُشير الإشارة السالبة إلى حدوث نقصان في طاقة الوضع. 

     ب. أحسبُ التغيّر في الطاقة الحركية لعربة الأُفعوانية، كما يأتي:

                                      $$\begin{gathered} \Delta KE = K{E}_f - K{E}_i =\frac{ 1}{ 2} m(v_f^2 -v_i^2 ) \\ = \frac{1}{2} \times 3 \times {10}^2 \times [{\left(24\right)}^2 - {\left(2\right)}^2] = 8.58 \times {10}^4 J \end{gathered}$$
    التغيّر في الطاقة الحركية موجب، إذ تزداد الطاقة الحركية للعربة في أثناء هبوطها

  إلى أسفل المنحدر.

   ج. أحسبُ التغيّر في الطاقة الميكانيكية كما يأتي:

                                            $$\begin{gathered} \Delta ME = \Delta KE + \Delta PE \\ = 8.58 \times {10}^4 + (-1.35 \times {10}^5) \\ = -4.92 \times {10}^4 J \end{gathered}$$
أُلاحظ أنّ الطاقة الميكانيكية غير محفوظة؛ لوجود قوّة الاحتكاك.

د. أستعملُ العلاقة الآتية لحساب شغل قوّة الاحتكاك الحركي وهي قوّة غير محافظة:

                                                          $$\begin{gathered} W_{nc} = \Delta ME \\ W_f = \Delta ME = -4.92 \times {10}^4 J \end{gathered}$$

   هـ. أحسبُ مقدار قوّة الاحتكاك الحركي، كما يأتي:

                                                           $$\begin{gathered} W_f = \Delta ME = -f_k d \\ -4.92 \times {10}^4 = -f_k \times 50 \\ {f}_k = 9.84 \times {10}^2 N \end{gathered}$$

 مثال محلول

يسحب عمر صندوقًا كتلته ( 60kg) من السكون على أرضية أُفقية خشنة

 بقوّة شدّ مقدارها ( 200N ) بحبليصنع زاوية ( 37˚ ) على الأُفقي، إزاحة مقدارها

 ( 50m ) جهة اليمين، إذ كانت سرعة الصندوق في نهاية الإزاحة ( 5m/s )، أنظرُ إلى

الشكل ( 30 ). إذا كان مقدار قوّة الاحتكاك الحركي المؤثّرة في الصندوق ( 100N)،

 والحبل مهمل الكتلة وغير قابل للاستطالة، و cos 37˚ = 0.8 ،

  فأحسبُ مقدار ما يأتي:

   أ. شغل قوّة الاحتكاك الحركي.

  ب. التغيّر في الطاقة الميكانيكية للصندوق. 

  ج. شغل قوّة الشدّ.

الحل

أختار سطح الأرض مستوى إسناد لطاقة الوضع. تؤثّر في الصندوق قوى

غير محافظة تبذل شغلً عليه وهي:

قوّة الاحتكاك الحركي وقوّة الشد؛ لذا  الطاقة الميكانيكية غير محفوظة.

أ . تؤثّر قوّة الاحتكاك الحركي بعكس اتّجاه إزاحة الصندوق، وأحسبُ شغلها كما يأتي:

                                   $$\begin{gathered} W_f = f_k d \cos 180˚ \\ =f_k d (-1 ) = - f_k d = -100 \times 50 \\ = -5000 J = -5 \times {10}^3 J \end{gathered}$$

ب. طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية لا تتغيّر؛ لأنّ الحركة على مسار أُفقي؛

 ( ΔPE = 0  ). ويكون التغيّر  في

  الطاقة الميكانيكية نتيجة تغيّر طاقتة الحركية فقط، وأحسبُ التغير كما يأتي:

                             $$\begin{gathered} \Delta ME = \Delta KE + \Delta PE \\ = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2) + 0 \\ = \frac{1}{2} \times 60 \times [{\left(5\right)}^2 - {\left(0\right)}^2] = 7.5 \times {10}^2 J \end{gathered}$$

أُلاحظ أنّ الطاقة الميكانيكية غير محفوظة؛ فقد ازدادت.

ج. تبذل قوّة الشد شغلً على الصندوق، وأحسبُ شغلها بالمعادلة الآتية:

                                          $$\begin{gathered} W_{nc} = \Delta ME \\ {W}_F + W_f = \Delta ME \\ W_F = \Delta ME - W_f \\ {W}_F = 7.5 \times {10}^2 - (-5 \times {10}^3) \\ {W}_F = 5.75 \times {10}^3 J \end{gathered}$$

استُنفِدَ جزء من شغل قوّة الشد للتغلّب على قوّة الاحتكاك الحركي،

 والجزء الآخر منه أكسب الصندوق طاقة حركية.

الشكل ( 30 ): سحب صندوق

  على أرضية أُفقية خشنة.

تمرين

أستنتجُ: ينزلق طفل بدءًا من السكون من الموقع ( A) عن قمّة منحدر

  أملس، كما هو موضّح في الشكل. إذا علمتُ أنّ كتلة الطفل ( 25 kg )،

 وتسارع السقوط الحر ( 10 m/s2 )؛ فأحسب مقدار ما يأتي:

أ . سرعة الطفل عند الموقع (B)

ب. الطاقة الحركية للطفل عند الموقع (C)

ج. شغل قوّة الجاذبية المبذول على الطفل في أثناء انزلاقه من الموقع (A) إلى الموقع (C).