مدرسة جواكاديمي

هنا يمكنك تصفح مدرسة جو اكاديمي، المنهاج، اسئلة، شروحات، والكثير أيضاً

الضرب القياسي

رياضيات - الصف التوجيهي علمي

فهرس الكتاب

الشرح

النتاجات

الملخص

أوراق العمل

حل اسئلة الدرس

نعلم أن الضرب القياسي لمتجهين في المستوى الإحداثي يعرف بالقاعدة التالية:

إذا كان $\overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2} >, \overset{⇀}{w} = < w_{1}, w_{2} >$ متجهين فإن:

$\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . c o s θ$

وهي كمية قياسية (قيمة عددية) . حيث $θ$ الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{w}$

و يمكن تعميم الضرب القياسي للمتجهين في الفضاء $\overset{⇀}{w} = < w_{1}, w_{2}, w_{3} > و \overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2}, v_{3} >$ بالطريقة ذاتها، فيكون:

$\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = v_{1} . w_{1} + v_{2} . w_{2} + v_{3} . w_{3} \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . c o s θ$

حيث $θ$ هي الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$ عند رسمها من النقطة نفسها لاحظ الشكل:

ويمكن كتابة: $θ = c o s^{- 1} \frac{\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w}}{|\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}|}$ .حيث $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$ متجهان غير صفريين .

إذا كان $\overset{⇀}{v} = < - 2, 4, 1 >, \overset{⇀}{u} = < 1, - 1, 2 >, \overset{⇀}{w} = < - 3, 3, - 6 >, \overset{⇀}{a} = < - 1, 2, - 10 >$ فجد كل مما يلي:

$1) \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} S o l u t i o n : \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = < - 2, 4, 1 > . < - 3, 3, - 6 > = (- 2) (- 3) + (4) (3) + (1) (- 6) = 6 + 12 - 6 = 12$

$2) \overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v} المتجهين بين الزاوية قياس S o l u t i o n : \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ 12 = \sqrt{4 + 16 + 1} . \sqrt{9 + 9 + 36} . \cos θ 12 = \sqrt{21} . \sqrt{54} \cos θ θ = \cos^{- 1} (\frac{12}{\sqrt{21} \sqrt{54}}) \Rightarrow θ \approx 15 ° الحاسبة الآلة باستخدام$

$3) \overset{⇀}{u} و \overset{⇀}{w} المتجهين بين الزاوية قياس S o l u t i o n : \overset{⇀}{u} . \overset{⇀}{w} = < 1, - 1, 2 > . < - 3, 3, - 6 > = - 3 + - 3 + - 12 = - 18 |\overset{⇀}{u}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} |\overset{⇀}{w}| = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} \overset{⇀}{u} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{u}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ : باستخدام - 18 = \sqrt{6} \sqrt{54} . \cos θ : \overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{u} بين الزاوية θ حيث \cos θ = \frac{- 18}{\sqrt{324}} = - 1 θ = 180 ° فإن \cos θ = - 1 أن بما$

وهذا يعني أن المتجهين $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{u}$ متعاكسان في الاتجاه (أي أنهما متوازيان)

$4) \overset{⇀}{a} و \overset{⇀}{v} المتجهين بين الزاوية قياس S o l u t i o n : \overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v} = < - 1, 2, - 10 > . < - 2, 4, 1 > = 2 + 8 + - 10 = 0 : فإن β هي \overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a} بين الزاوية أن وبفرض, |\overset{⇀}{v}| \neq 0 و |\overset{⇀}{a}| \neq 0 ولأن c o s β = \frac{\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{v}|} = 0 \Rightarrow β = 90 °$

أي أن المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a}$ متعامدان.

لاحظ أنه:عندما تكون الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a}$ قائمة فإنَّ: $\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{v}| . \cos 90 ° = 0$

يمكن استنتاج شرط تعامد متجهين غير صفرين ، هو أن ناتج ضربهما القياسي يساوي صفراً.

يمكن إيجاد قياس الزاوية بين أي مستقيمين في الفضاء عن طريق إيجاد قياس الزاوية بين اتجاهيهما باستعمال الضرب القياسي للمتجهات.

جد قياس الزاوية الحادة (مقربة إلى أقرب درجة) بين المستقيمين التي معادلتيهما المتجهة:

$L_{2} : \overset{⇀}{r} = - \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{R} + s (- \hat{i} - 4 \hat{j} - 2 \hat{R}), L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 1, - 3, 4 > + t < 1, 3, - 4 >$

الحل:

بإيجاد الضرب القياسي لمتجهي اتجاه المستقيمين:

$\overset{⇀}{a} = < 1, 3, - 4 > : L_{1} المستقيم اتجاه \overset{⇀}{b} = < - 1, - 4, - 2 > : L_{2} المستقيم اتجاه \overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{b} = - 1 + - 12 + 8 = - 5 : |\overset{⇀}{b}| و |\overset{⇀}{a}| من كل بإيجاد |\overset{⇀}{a}| = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} |\overset{⇀}{b}| = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$

باستخدام صيغة الزاوية بين المتجهين : $θ وهي, \overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{a}$ :

$\cos θ = \frac{\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{b}}{|\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{b}|} \cos θ = \frac{- 5}{\sqrt{26} \sqrt{21}} θ = \cos^{- 1} \frac{- 5}{\sqrt{26} \sqrt{21}} \Rightarrow θ \approx 102 ° الحاسبة الآلة باستخدام \Rightarrow 180 ° - 102 ° = 78 °$

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مساحة مثلث في الفضاء عُلمت إحداثيات رؤوسه.

لاحظ الشكل المجاور:

لإيجاد مساحة المثلث ABC:

أولاً: نجد متجهين لهما نقطة البداية نفسها مثل: $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$ .

ثانياً : نجد قياس الزاوية $θ$ بينهما عن طريق الضرب القياسي وصيغة الزاوية بين المتجهين.

ثالثاً : نستخدم صيغة مساحة المثلث: $A r e a = \frac{1}{2} |\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}| . s i n θ$

جد مساحة المثلث ABC حيث: $A (0, 1, 3), B (1, - 2, 3), C (- 2, 1, 4)$

الحل:

أولاً: نجد متجهين لهما نقطة البداية نفسها وهما: $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$ :

$\overset{⇀}{A B} = < 1 - 0, - 2 - 1, 3 - 3 > = < 1, - 3, 0 > \overset{⇀}{A C} = < - 2 - 0, 1 - 1, 4 - 3 > = < - 2, 0, 1 >$

ثانياً : نجد قياس الزاوية $θ$ بينهما عن طريق الضرب القياسي وصيغة الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$ :

$\overset{⇀}{A B} . \overset{⇀}{A C} = < 1, - 3, 0 > . < - 2, 0, 1 > = - 2 + 0 + 0 = - 2 |\overset{⇀}{A B}| = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10} |\overset{⇀}{A C}| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} θ = \cos^{- 1} \frac{\overset{⇀}{A B} . \overset{⇀}{A C}}{|\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}|} θ = \cos^{- 1} \frac{- 2}{\sqrt{10} \sqrt{5}} θ \approx 106.4 ° : الحاسبة الآلة باستخدام A r e a = \frac{1}{2} |\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}| . \sin θ : وبذلك = \frac{1}{2} (\sqrt{10} \sqrt{5}) (\sin 106.4 °) A r e a \approx 3.4$

مسقط العمود من النقطة p الواقعة خارجه المستقيم L هي نقطة تقاطع العمود من p على L مع المستقيم L لاحظ الشكل أدناه:

وإذا كانت النقطة p تقع على المستقيم L فمسقط العمود هو نفس النقطة P

و يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L باستخدام شرط تعامد متجهين.

وكذلك يمكن إيجاد أقصر مسافة في الفضاء بين نقطة ومستقيم وذلك بإيجاد البعد بين النقطة p ومسقط العمود منها على المستقيم L.

إذا كانت $\overset{⇀}{r} = < 1, - 1, 2 > + t < 1, 4, - 1 >$ تمثل معادلة متجهة للمستقيم L والنقطة $p (2, 2, - 3)$ لا تقع عليه.

فجد بُعد النقطة P عن المستقيم L

الحل:

أولاً: سنجد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L . لاحظ الشكل المجاور :

بكتابة $\overset{⇀}{O F} و \overset{⇀}{O P} بدلالة \overset{⇀}{P F}$ باستخدام قاعدة المثلث في جمع المتجهات:

$\overset{⇀}{P F} = \overset{⇀}{P O} + \overset{⇀}{O F} = - \overset{⇀}{O P} + \overset{⇀}{O F} : O (0, 0, 0) P (2, 2, - 3) F (1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t)$

ولأن F تقع على المستقيم L إذن F تحقق معادلته المتجهة وهي:

$\overset{⇀}{r} = < 1, - 1, 2 > + t < 1, 4, - 1 > \overset{⇀}{P F} = - < 2, 2, - 3 > + < 1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t > = < t - 1, 4 t - 3, - t + 5 >$

بما أن $\overset{⇀}{P F}$ يعامد المستقيم L فإن $\overset{⇀}{P F}$ يعامد اتجاه المستقيم L أي أن:

$< 1, 4, - 1 > يعامد \overset{⇀}{P F} \overset{⇀}{P F} . < 1, 4, - 1 > = 0 (التعامد شرط) إذن < t - 1, 4 t - 3, - t + 5 > . < 1, 4, - 1 > = 0 (t - 1) + 4 (4 t - 3) + - 1 (- t + 5) = 0 t - 1 + 16 t - 12 + t - 5 = 0 18 t - 18 = 0 \Rightarrow t = 1$

لتحديد النقطة F نعوض t=1 في متجه موقع النقطة F

$\overset{⇀}{O F} = < 1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t > = < 2, 3, 1 >$

فيكون مسقط العمود من p على المستقيم L هو النقطة $F (2, 3, 1)$

ثانياً :سنجد بُعد النقطة p عن المستقيم L

وذلك بإيجاد طول المتجه $\overset{⇀}{P F}$ لكن: $F (2, 3, 1), p (2, 2, - 3)$ فيكون:

$\overset{⇀}{P F} = < 2 - 2, 3 - 2, 1 - - 3 > = < 0, 1, 4 > |\overset{⇀}{P F}| = \sqrt{0 + 1 + 16} = \sqrt{17} : إذن$

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد قياسات بعض الزوايا والأضلاع في مستويات مائلة ضمن أشكال ثلاثية الأبعاد

يظهر الشكل المجاور الهرم ABCDE ، قاعدته المربعة ABCD والنقطة M منتصف $B C$

حيث: $A (2, 01), B (10, - 2, - 1), C (10, - 8, 5), D (2, - 6, 7), E (10, 5, 9)$

جد قياس الزاوية AME مقربة إلى أقرب عُشر درجة

الحل:

نفرض أن الزاوية $θ = ∢ A M E$

الزاوية $θ$ محصورة بين المتجهين $\overset{⇀}{M E} و \overset{⇀}{M A}$ ولهما نقطة البداية نفسها (M) .

إحداثيات النقطة M منتصف $B C$ هي:

$M (\frac{10 + 10}{2}, \frac{- 2 - 8}{2}, \frac{- 1 + 5}{2}) M (10, - 5, 2) A (2, 0, 1), E (10, 5, 9), M (10, - 5, 2) : النقط \overset{⇀}{M E} = < 10 - 10, 5 - - 5, 9 - 2 > = < 0, 10, 7 > \overset{⇀}{M A} = < 2 - 10, 0 - - 5, 1 - 2 > = < - 8, 5, - 1 > : θ الزاوية قياس لإيجاد القياسي الضرب نستخدم \overset{⇀}{M E} . \overset{⇀}{M A} = |\overset{⇀}{M E}| . |\overset{⇀}{M A}| . \cos θ < 0, 10, 7 > . < - 8, 5, - 1 > = \sqrt{0 + 100 + 49} . \sqrt{64 + 25 + 1} . \cos θ 0 + 50 + - 7 = \sqrt{149} . \sqrt{90} \cos θ 43 = \sqrt{149} \sqrt{90} \cos θ \cos θ = \frac{43}{\sqrt{149} \sqrt{90}} θ = \cos^{- 1} \frac{43}{\sqrt{149} \sqrt{90}} \Rightarrow θ \approx 68.2 ° : الحاسبة الآلة باستخدام 68.2 ° تقريبا تساوي A M E الزاوية قياس : إذن$

مدرسة جواكاديمي

الضرب القياسي

رياضيات - الصف التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS