مدرسة جواكاديمي

هنا يمكنك تصفح مدرسة جو اكاديمي، المنهاج، اسئلة، شروحات، والكثير أيضاً

الضرب القياسي

رياضيات - الصف العاشر

فهرس الكتاب

الشرح

النتاجات

الملخص

أوراق العمل

حل اسئلة الدرس

الضرب القياسي

تعرفت سابقًا العمليات على المتجهات، مثل ضرب متجه في عدد ثابت ، وسأتعرف في هذا الدرس كيفية إيجاد ناتج ضرب متجهين .
الضرب القياسي هو عملية جبرية بين متجهين، تنتج منها كمية قياسية يرمز لها بالرمز $v \cdot w$ وتقرأ v dot w

مفهوم أساسي

الضرب القياسي

إذا كان $w = < w_{1}, w_{2} > و v = < v_{1}, v_{2} >$ فإن $v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2}$

مثال

إذا كان $w = < - 5, 4 > و v = < 2, 8 >$ فأجد v .w :

صيغة الضرب القياسي $v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2}$

بالتعويض $= 2 (- 5) + 8 (4) = - 10 + 32 = 22$

تعرفت سابقا انه اذا كان $w = (w_{1}, w_{2}) و ، v = (v_{1}, v_{2})$ ، فان طول المتجه المرسوم باللون الاخضر في الشكل المجاور هو $|w - v|$ ،

حيث: $w - v = (w_{1} - v_{1}, w_{2} - v_{2})$ وباستعمال قانون جيوب التمام، فان:

${| w - v |}^{2} = {| w |}^{2} + {| v |}^{2} - 2 | w | | v | \cos θ {(w_{1} - v_{1})}^{2} + {(w_{2} - v_{2})}^{2} = {| w |}^{2} + {| v |}^{2} - 2 | w | | v | \cos θ = {w_{1}}^{2} + {w_{2}}^{2} + {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} - 2 | w | | v | \cos θ {w_{1}}^{2} - 2 w_{1} v_{1} + {v_{1}}^{2} + {w_{2}}^{2} - 2 w_{2} v_{2} + {v_{2}}^{2} = {w_{1}}^{2} + {w_{2}}^{2} + {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} - 2 | w | | v | \cos θ - 2 w_{1} v_{1} - 2 w_{1} v_{1} = - 2 | w | | v | \cos θ w_{1} v_{1} + w_{2} v_{2} = | w | | v | \cos θ v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} = | v | | w | \cos θ v \cdot w = | v | | w | \cos θ \cos θ = \frac{v \cdot w}{| v | | w |}$

مفهوم أساسي

يمكن ايجادالضرب القياسي للمتجهين aوb باستمعال الصيغة الاتية:

$a \cdot b = | a | | b | \cos θ$ ، حيث $0 ° \leq θ \leq 180 °$ الزاوية المحصورة بين المتجهين

مثال

اجد قياس الزاوية $θ$ المحصورة بين المتجهين $b = (3, 4) و ، a = (6, 8)$

الخطوة 1: اجد مقدار المتجه a

$|a| = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$

الخطوة 2: اجد مقدارة المتجه b

$|b| = \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

الخطوة 3: اجد الضرب القياسي بين aوb

$a \cdot b = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} = 6 \times 3 + 8 \times 4 = 18 + 32 = 50$

الخطوة 4: اعوض القيمة الناتجة من الخطوة السابقة في الصيغة الاخرى لقانون الضرب القياسي

$\cos θ = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{50}{10 \times 5} = 1 θ = \cos^{- 1} (1) = 0 °$

بما ان قياس الزاوية بين المتجهين aوb صفر، فهما متوازيان

اذا كان a و b متجهين غير صفريين، وكانت الزاوية المحصورة بينهما قائمة، فان المتجهين يكونان متعامدين، ويكون ناتج الضرب القياسي بينهما صفرا، لان $\cos 90 ° = 0$

مثال

احدد اذا كان المتجهان $u = (2, 3) و ، v = (- 6, 4)$ متعامدين ام لا

$u \cdot v = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} = 2 \times - 6 + 3 \times 4 = - 12 + 12 = 0$

بما ان $u \cdot v = 0$ ، فان المتجهين متعامدين

توجد تطبيقات عملية عدة على الضرب القياسي للمتجهات، اهمما حساب الشغل W الناتج من تاثير قوة ثابتة F بزاوية محددة $θ$ على جسم ما؛ لتحريكه من نقطة الى اخرى مسافة مقدارها d و حدة. فالشغل هو كمية قياسية تساوي ناتج الضرب القياسي لمتجه القوة في متجه لازاحة، ووحدة قياسة هي جول (J). يمكن ايجاد مقدار الشغل باستعمال الصيغة الاتية:

$W = |F| |d| \cos θ$

مثال : من الحياة

فيزياء: سحب عامل صندوقا بقوة مقدارها F=13N، وبذل شغلا مقدره W=20J، لسحب الصندوق مسافة افقية مقدارها d=18m. ما قياس الزاوية المحصورة بين قوة السحب واتجاه المسافة المقطوعة (باهمال قوة الاحتكال) لاقرب جزء من عشرة؟

$W = |F| |d| \cos θ 20 = 13 \times 18 \times \cos θ 20 = 234 \times \cos θ \frac{20}{234} = \cos θ θ = \cos^{- 1} (0.0855) θ = 85.1$

مدرسة جواكاديمي

الضرب القياسي

رياضيات - الصف العاشر

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS