الشرط الأولي

الدرس الثاني: الشرط الأولي : صفحة (15-21)

 

سنتعرف في درس الشرط الأولي إلى:

1) مفهوم الشرط الأولي.

2) إيجاد قيمة ثابت التكامل C ، وقاعدة الاقتران.

3) استعمال الشرط الأولي في المواقف الحياتية والعملية.

 

أولًا:  مفهوم الشرط الأولي:

 

الشرط الأولي هو: النقطة المعطاة في المسألة -عادة- والتي تحقق الاقتران الأصلي عند تعويضها، وتستخدم لإيجاد قيمة ثابت التكامل C.

حيث يتطلب حل بعض المسائل إيجاد ثابت التكامل ، لإيجاد الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحققه.

 

سؤال : إذا علمتَ أنّ $f\mathbf{ }\mathit{َ}\left(x\right) = 2x +3$ ، ويمر منحناه بالنقطة$\left(2 , 5\right)$ ، فحدّد الشرط الأولي بالمسألة.

الـحـل : الشرط الأولي هو النقطة $(2 , 5)$ وتعني أن $f\left(2\right)=5$

 

---

ثانيًا: إيجاد قيمة ثابت التكامل، وقاعدة الاقتران:

للاقتران عدد لا نهائي من الاقترانات الأصلية التي يمكن التعبير عنها بالصور الآتية:

                         $G\left(x\right) = F\left(x\right) + C$

         حيث :             $f\left(x\right) =F َ \left(x\right)$

 

ولكن لإيجاد قاعدة الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحقق المسألة عليك اتباع الخطوات الآتية:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(1): جد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ إذا كان $f \mathit{َ}\left(x\right) = 2x + 3$ ، ويمر منحناه بالنقطة $\left(2, 5\right)$

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $f \mathit{َ}\left(x\right)$

$f\left(x\right) = \int \left(2x + 3\right) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \frac{2x^2}{2}+3x + C \\ = x^2 +3x + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت

 

الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$ 

$f\left(x\right) = x^2 +3x + C$	قاعدة الاقتران
$5 = 2^2 +3\left(2\right) + C$	بتعويض $x=2 , f\left(x\right)= 5$
$$\begin{gathered} 5 = 4 +6 + C \\ 5 = 10 + C \\ \to -5 = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة لــ $C$

 

                                                  الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران

            $f\left(x\right) = x^2 +3x - 5$

 

 

---

ثالثًا:استعمال الشرط الأولي في المواقف الحياتية والعملية:

يستعمل الشرط الأولي لتحديد اقترانات تنمذج مواقف علمية وحياتية، مثل:

 

1) التكلفة الحدية: وهي مشتقة اقتران التكلفة ، وترتبط بالتكاليف التي تتغير بتغير الإنتاج.

مثال(2): يمثل الاقتران $C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = 2 + 60 x -6x^2$ التكلفة الحديّة (بالدينار) لكل قطعة ينتجها مصنع للأثاث، حيث $x$ عدد القطع المنتجة ، و $C \left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار .

جد اقتران التكلفة $C \left(x\right)$ ، علمًا بأن تكلفة إنتاج 5 قطع من الأثاث هي 575 JD.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right)$

$C\left(x\right) = \int (2+60x-6x^2) dx$	$C\left(x\right) = \int C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} C\left(x\right) = 2x + \frac{60 x^2}{2}-\frac{6x^3}{3}+K \\ =2x + 30 x^2 - 2x^3 +K \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
ملاحظة: بما أنّ $C$ يمثل اقتران التكلفة، فتم استعمال $K$ للتعبير عن ثابت التكامل.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $K$

$C\left(x\right)=2x + 30 x^2 - 2x^3 +K$	قاعدة الاقتران
$575=2\left(5\right) + 30 \left(5^2\right) - 2\left(5^3\right) +K$	بتعويض $x=5 , C\left(x\right)= 575$
$$\begin{gathered} 575=10 + 30 \left(25\right) - 2\left(125\right) +K \\ 575=10 + 750 - 250 +K \\ 575=510 +K \\ \to 65 = K \end{gathered}$$	بحل المعادلة لــ$K$

الخطوة الثالثة: اكتب اقتران التكلفة

      $C\left(x\right)=2x + 30 x^2 - 2x^3 +65$

---

 

2) الحركة في مسار مستقيم: وهو إيجاد موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم إذا عُلم أحد الاقترانات الآتية: 

1) اقتران السرعة المتجهة.

2) اقتران التسارع.

وذلك باتباع الخطوات الآتية:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تذكر أنّ:

1) اقتران الموقع هو الاقتران الأصلي لاقتران السرعة المتجهة :$s\mathit{َ}\left(t\right) = v \left(t\right)$

     أي أنّ: مشتقة اقتران الموقع تعطي اقتران السرعة المتجهة

                وتكامل اقتران السرعة المتجهة يعطي اقتران الموقع

 

2) اقتران السرعة المتجهة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع:     $v\mathit{َ}\mathbf{ }\left(t\right) = a \left(t\right)$

     أي أنّ: مشتقة اقتران السرعة المتجهة  تعطي اقتران التسارع

                وتكامل اقتران التسارع يعطي اقتران السرعة المتجهة

 

ويمكن تلخيص ذلك بالمخطط الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(3): يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v\left(t\right) = 9t^2 - 2t$ حيث $t$ الزمن بالثواني ،

و $\mathit{v}$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو $\mathbf{10}\mathbf{ }\mathit{m}$ ، فجد موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع $s\left(t\right)$

$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$= \int \left(9t^2 - 2 t\right) dt$	بتعويض $v\left(t\right) = 9t^2 - 2t$
$$\begin{gathered} = \frac{9 t^3}{3} -\frac{ 2t^2}{2}+ C \\ =3 t^3 - t^2 + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت

 

                                            الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل $C$

بما أن الموقع الابتدائي للجُسيم هو $10 m$، فإن $s\left(0\right) = 10$ ، وهو الشرط الأولي لإيجاد ثابت التكامل $C$ :

$s\left(t\right)=3 t^3 - t^2 + C$	اقتران الموقع
$s\left(0\right)=3 {\left(0\right)}^3 - {\left(0\right)}^2 + C$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right) = 10$
$10 = C$	بحل المعادلة

                                    الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الموقع $s\left(t\right)$اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: $s\left(t\right)=3 t^3 - t^2 + 10$الخطوة الرابعة: جد موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة

 

$s\left(t\right)=3 t^3 - t^2 + 10$	اقتران الموقع
$s\left(5\right)=3 {\left(5\right)}^3 - {\left(5\right)}^2 + 10$	بتعويض $t=5$
$$\begin{gathered} =3 \left(125\right) - 25 + 10 \\ =375 -25 +10 \\ =360 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة هو: $360 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

مثال(4): يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران $a\left(t\right)= 12 t - 6$ حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع.

إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو $5 m$ وكانت سرعته المتجهة هي $2 m/s$ بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فجد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة $v\left(t\right)$

$v\left(t\right) = \int a\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران التسارع
$= \int \left(12t - 6\right) dt$	بتعويض $a\left(t\right)= 12 t - 6$
$$\begin{gathered} = \frac{12 t^2}{2}- 6t +C_1 \\ =6t^2- 6t +C_1 \end{gathered}$$	تكامل الفرق، تكامل الثابت ، تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت

 

الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل الناتج من تكامل التسارع $C_1$

$v\left(t\right)=6t^2- 6t +C_1$	اقتران السرعة المتجهة
$2=6{\left(1\right)}^2- 6\left(1\right) +C_1$	بتعويض $t=1 ,v\left(t\right)= 2$  (تم استنتاج المعلومة من سرعة الجسم المتجهة بعد ثانية واحدة من بدء حركته)
$$\begin{gathered} 2=6\left(1\right)- 6 +C_1 \\ 2=C_1 \end{gathered}$$	بحل المعادلة
$v\left(t\right)=6t^2- 6t +2$	اقتران السرعة المتجهة

 

الخطوة الثالثة: جد اقتران الموقع

$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$=\int \left(6t^2- 6t +2\right) dt$	بتعويض $v\left(t\right)=6t^2- 6t +2$
$$\begin{gathered} =\frac{6t^3}{3} - \frac{6t^2}{2}+2t +C_2 \\ =2t^3- 3t^2 +2t +C_2 \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، تكامل الثابت

الخطوة الرابعة: جد قيمة ثابت التكامل $C_2$

$s\left(t\right)=2t^3- 3t^2 +2t +C_2$	اقتران الموقع
$5=2{\left(0\right)}^3- 3{\left(0\right)}^2 +2\left(0\right) +C_2$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right) = 5$ (تم استنتاج المعلومة من موقع الجسم الابتدائي)
$5=C_2$	بحل المعادلة
$s\left(t\right)=2t^3- 3t^2 +2t +5$	اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة

الخطوة الخامسة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة

$s\left(t\right)=2t^3- 3t^2 +2t +5$	اقتران الموقع
$s\left(3\right)=2{\left(3\right)}^3- 3{\left(3\right)}^2 +2\left(3\right) +5$	بتعويض $t=3$
$$\begin{gathered} =2\left(27\right)- 3\left(9\right) +6 +5 \\ =54-27+11 \\ =38 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو:$38 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---