الزوايا في الدائرة.

تسمى الزاوية التي يكون رأسها في مركز الدائرة، وضلعاها نصفي قطرين للدائرة زاوية مركزية. ففي الشكل الآتي، AOB زاوية مركزية في الدائرة التي مركزها O، ويسمى القوس  $\stackrel{⏜}{AB}$  القوس المقابل 

تسمى الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة، ويكون ضلعاها وترين في الدائرة زاوية محيطية. ففي الشكل السابق، الزاوية ACB محيطية، والزاوية AOB مركزية، وهما مرسومتان على القوس $\stackrel{⏜}{AB}$. وعند قياس هاتين الزاويتين سنجد أن قياس الزاوية المركزية AOB يساوي مثلي قياس الزاوية المحيطية ACB

نظرية 

قياس الزاوية المركزية يساوي مثلي قياس الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه: 

$m\angle AOB=2m\angle ACB$

إذا رسمنا زاويا محيطية أخرى مقابلة للقوس AB سنجد أن لها القياس نفسه

نظرية 

جميع الزاويا المحيطية المرسومة على قوس واحد في دائرة لها القياس نفسه:

$m\angle ACB=m\angle A{C}_{1}B=m\angle A{C}_{2}B=m\angle A{C}_{3}B$

مثال 

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، فما قياس الزاويتين المشار إليهما بالحرفين a و b؟ 

المثلث OPQ متطابق الضلعين؛ لان $\overline{OQ}$ و $\overline{OP}$ نصفا قطرين في الدائرة ومجموع قياسات زاويا المثلث هو $180°$.إذن: 

$m\angle POQ+m\angle OQP+m\angle OPQ=180°$ نعوض قياسات الزوايا المعلومة: 

$$\begin{gathered} a+25°+25°=180° \\ a+50°=180° \\ a+50°-50°=180°-50° \\ a=130° \\ b=130°÷2 \\ =65° \end{gathered}$$

قد يكون قياس الزاوية المركزية أكبر من $180°$. ففي الشكل المجاور، الزاوية AOB مقابلة للقوس $\stackrel{⏜}{ADB}$، وقياسها $190°$، وهو ضعف قياس الزاوية المحيطية ACB

مثال 

إذا كانت النقطة O هي مركز  الدائرة في  الشكل المجاور، والنقطة P, Q, R على استقامة واحدة، فما قياس الزاوية a؟ 

$$\begin{gathered} m\angle PQT=180°-72°=108° \\ a+b=360° \\ b=2\times 108°=216° \\ a+216°=360° \\ a=360°-216°=144° \end{gathered}$$

إذا وقعت رؤوس مضلع رباعي على دائرة، فإنه يسمى رباعيا دائريا. وإذا حسبنا مجموع قياسي كل زاويتين متقابلتين فيه، فإنه يكون $180°$

نظرية 

مجموع قياسي كل زاويتين متقابلتين في المضلع الرباعي الدائري هو $180°$:

$b+d=180°,a+c=180°$

مثال 

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، فما قيمة كل من x و y؟ 

$$\begin{gathered} m\angle ACO=43° \\ y+m\angle ACO=90° \\ y+43°=90° \\ y=90°-43° \\ =47° \\ x+m\angle ADC=180° \\ m\angle ADC=y=47° \\ x+47°=180° \\ x=180°-47° \\ =133° \end{gathered}$$

في الشكل المجاور، $\overleftrightarrow{PQ}$ هو مماس للدائرة عند النقطة T، و $\overline{TA}$ هو وتر للدائرة. تسمى الزاوية المحصورة بين المماس والوتر المار بنقطة التماس الزاوية المماسية. وهذه الزاوية تحصر القوس $\stackrel{⏜}{TA}$، ويمكن ملاحظة أن قياس الزاوية المماسية PTA يساوي قياس الزاوية ABT المحيطية المرسومة على القوس $\stackrel{⏜}{TA}$ نفسه 

نظرية 

قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس: 

$m\angle ATP=m\angle ABT$

مثال:

في الشكل المجاور، $\overleftrightarrow{AB}$ مماس للدائرة في T. أجد قياس كل من الزاويتين ATS و TSR 

$$\begin{gathered} m\angle ATS=m\angle TRS=80°\left(\mathrm{القوس} \mathrm{في} \mathrm{مشتركتان} \mathrm{محيطية} و \mathrm{مماسية} \mathrm{زاويتان} \right) \\ m\angle TSR=m\angle BTR=70°\left(\mathrm{القوس} \mathrm{في} \mathrm{مشتركتان} \mathrm{محيطية} و \mathrm{مماسية} \mathrm{زاويتان} \right) \end{gathered}$$

$\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">m</span>}<span\; style="color:\#f93549;">\angle </span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">A</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">T</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">S</span>}<span\; style="color:\#f93549;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">m</span>}<span\; style="color:\#f93549;">\angle </span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">T</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">R</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">S</span>}<span\; style="color:\#f93549;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">80</span>}<span\; style="color:\#f93549;">°</span>زاويتان\; مماسية\; ومحيطية\; مشتركتان\; في\; القوس$

$\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">m</span>}<span\; style="color:\#f93549;">\angle </span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">T</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">S</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">R</span>}<span\; style="color:\#f93549;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">m</span>}<span\; style="color:\#f93549;">\angle </span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">B</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">T</span>}\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">R</span>}<span\; style="color:\#f93549;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\#f93549;">70</span>}<span\; style="color:\#f93549;">°</span>زاويتان\; مماسية\; ومحيطية\; مشتركتان\; في\; القوس$